Эконометрия. Методическое пособие

УДК–33.0

ББК–65в6

Рецензент:

кандидат технических наук, доцент кафедры продюсерского мастерства и менеджмента ВГИК Л.А.Фунберг

Б–872 Ольга Владимировна Браилова.

Эконометрия. Методическое пособие – М.: ВГИК, 2009.

Предмет «Эконометрия» входит в состав федерального компонента ГОС по специальности «Менеджмент организации» в рамках изучения дисциплины «Математика». Настоящее пособие, включающее в себя контрольные задания, дает как теоретический, так и практический материал для того, чтобы студенты могли овладеть необходимыми приемами решения задач в области прикладной математической экономики.

Пособие предназначено для студентов заочного отделения факультета продюсерства и экономики ВГИК.

©Всероссийский государственный университет кинематографии имени С.А.Герасимова (ВГИК)

Всероссийский государственный университет кинематографии имени С.А.Герасимова (ВГИК)

Факультет продюсерства и экономики

ЭКОНОМЕТРИЯ

Методическое пособие для студентов заочной формы обучения по специальности «Менеджмент организации»

Утверждено на заседании кафедры продюсерского мастерства и менеджмента 15 октября 2008 г.

(протокол № 1) зав. кафедрой, профессор В. И. Сидоренко

Москва – 2009

4

ЭКОНОМЕТРИЯ

ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Тема 1. Матрицы и определители

Определение и свойства определителя. Вычисление определителя по правилу Крамера. Матрицы и их классификация. Линейные операции над матрицами. Умножение матриц. Обратная матрица и ее нахождение. Ранг матрицы и его свойства. Матричные уравнения.

Определение и свойства определителя

Учение об определителях возникло в связи с решением системы линейных уравнений, имеющей вид:

(1).

Коэффициенты при неизвестных в этой системе составляют прямоугольную таблицу

(2), называемую матрицей порядка mxn.

Если m=n, то такую матрицу называют квадратной. Определителем квадратной матрицы n-го порядка называется

алгебраическая сумма n! слагаемых, состоящих из всевозможных произведений элементов матрицы, взятых по одному и только одному из каждого столбца и каждой строки, причем если сомножители расположить так, что их первые индексы будут в порядке возраста-

5

О.В.БРАИЛОВА

ния, то это слагаемое берется со знаком +, если перестановка вторых индексов четная, и со знаком -, если она нечетная.

Определитель второго порядка вычисляется по формуле:

.

Определитель высшего порядка можно вычислить методом понижения порядка.

Алгебраическим дополнением Аij элемента аij матрицы А называется определитель, полученный из исходной матрицы вычеркиванием i-той строки и j-того столбца и взятый со знаком (-1)i+j.

Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (или столбца) квадратной матрицы на алгебраическое дополнение этого элемента.

Пример1

Вычислить определитель второго порядка:

Пример 2

Вычислить определитель третьего порядка:

Вычисление определителя по правилу Крамера

Решением системы n линейных уравнений с n неизвест-

ными является вектор x=(x1,x2,...xn), каждая компонента которого вычисляется по формуле: xi=DiD,i=1,2,...,n.

Знаменатель D есть определитель матрицы коэффициентов системы линейных уравнений

6

Di(i=1,2,...,n) есть определитель матрицы, полученной из матрицы коэффициентов системы заменой i-того столбца на столбец из свободных членов b=(b1,b2,...,bn).

Пример 3

Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера:

2x1 −4x2 + 3x3 = 1

x1 −2x2 + 4x4 = 33x1 − x2 + 5x3 = 2

Найдем определитель матрицы коэффициентов системы

Ответ: x=(-1,0,1).

Линейные операции над матрицами

1.Транспонированием матрицы АT называется перемена мест

еестрок и столбцов.

——

2.Суммой двух матриц А= {aij} и В= {bij}, где i=1,m, j=1,n,

одного порядка mxn называется матрица того же порядка, каждый

элемент которой равен сумме соответствующих элементов слагаемых матриц A+B={aij+bij}.

7

О.В.БРАИЛОВА

3. Произведением матрицы на число называется матрица того же порядка, каждый элемент которой умножен на это число.

λA = {λaij }, i = 1, m, j = 1, n

4. Произведением матрицы A={aik} порядка m×p на матрицу

B={bkj} порядка p×n называется матрица C={cij} порядка m×n, каждый элемент которой вычисляется по формуле:

p

cij Raik bkj , i 1, m, j 1, n .

k 1

Пример 4

Перемножить матрицы:

Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю.

Квадратная матрица A-1 называется обратной к матрице A, если

выполнено условие:

A-1A=AA-1=E, где Е– единичная матрица.

Теорема. Для того, чтобы матрица имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.

Обратную матрицу можно найти по формуле:

A-1 = С / D, где D = det A,

а С– матрица, присоединенная к матрице А. Она имеет вид:

8

ЭКОНОМЕТРИЯ

где Аij – алгебраическое дополнение элемента aij матрицы А.

Пример 5

Найти матрицу, обратную данной:

Вычислим определитель исходной матрицы:

D = det A = 1·(3-6) – (-1)(6-5) + 1·(12-5) = 5 ≠ 0.

Следовательно, матрица Аневырожденная, а, значит, имеет себе обратную.

Найдем алгебраические дополнения всех элементов матрицы А.

Получим присоединенную матрицу С:

По формуле A-1= С / D имеем:

9

О.В.БРАИЛОВА

Ранг матрицы и его свойства

Минором к-того порядка называется определитель, полученный из матрицы Ана пересечении любых кстрок и кстолбцов.

Рангом матрицы Аназывается наибольший из порядков всех ненулевых миноров этой матрицы.

Свойства ранга матрицы. Ранг матрицы не меняется:

1.При транспонировании;

2.При перестановке строк или столбцов;

3.При умножении всех элементов строки или столбца матрицы на любое не равное нулю число;

4.Если к одной строке (столбцу) прибавить линейную комбинацию других строк (столбцов);

5.Если удалить нулевую строку (столбец);

6.Если удалить строку (столбец), являющуюся линейной комбинацией других строк (столбцов).

Тема 2. Векторы и векторное пространство

Определение вектора и операции над ним: умножение на число, сложение, скалярное произведение. Длина вектора. Линейная комбинация векторов. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов. Определение векторного пространства. Базис векторного пространства.

Определение вектора и операции над ним: умножение на число, сложение, скалярное произведение

Вектором называются n чисел, записанных в определенном порядке. Каждое из этих чисел называется компонентой вектора, а n – размерностью вектора.

Вектором можно назвать матрицу, имеющую только одну строку или только один столбец. Поэтому операции над векторами совпадают с операциями над матрицами.

10