Эконометрия. Методическое пособие

ЭКОНОМЕТРИЯ

Длина вектора

Длиной n–мерного вектора a=(a1,a2,...,an) называется число

n

a (a, a) Rai2 .

i 1

Линейная комбинация векторов a1,a2,....,am одинаковой размерности n с числами c1,c2,...,cm есть вектор атой же размерности

m, вычисленный по формуле:

a=c1a1+c2a2+...+cmam

Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов

Система векторов a1,a2,....,am называется линейно-зависимой,

если существует такой набор чисел c1,c2,...,cm, одновременно не

n

равный нулю Rci2=/ 0, с которыми линейная комбинация дает нуле-

i 1

вой вектор. В противном случае система векторов будет линейно-

независимой.

Определение векторного пространства

Векторным пространством En размерности n называется множество векторов одинаковой размерности n, обладающее свойствами:

1)любой вектор из этого множества, умноженный на любое число, принадлежит этому множеству;

2)сумма любых двух векторов из этого множества есть вектор, принадлежащий этому множеству.

Базис векторного пространства

Любая совокупность линейно-независимых векторов из данного

множества, число которых равно размерности n, называется базисом векторного пространства En.

Теорема. Любой вектор из векторного пространства можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса, причем единственным образом.

11

О.В.БРАИЛОВА

Тема 3. Система линейных неравенств

Совместимость и несовместимость системы линейных неравенств. Геометрическая интерпретация решения системы линейных неравенств.

Совместимость и несовместимость системы линейных неравенств

Неравенство называется линейным, если оно содержит неиз-

вестные только в первой степени.

a1x1+a2x2+...+anxn>b.

Решением системы линейных неравенств называется такая совокупность чисел c1,c2,...,cn, которая при подстановке их вместо неизвестных x1,x2,....,xn, удовлетворяет каждое неравенство.

Система линейных неравенств называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, иначе система будет несовместной.

Геометрическая интерпретация решения системы линейных неравенств

Если система содержит только два неизвестных x1,x2, то ее решение можно интерпретировать геометрически на плоскости.

Пример 6

Решить систему линейных неравенств геометрически.

12

ЭКОНОМЕТРИЯ

Тема 4. Система линейных уравнений

Элементарные преобразования системы m линейных уравнений с n неизвестными. Запись системы в матричном виде. Решение системы линейных уравнений методом исключения неизвестных (метод Жордано-Гаусса, метод Гаусса). Теорема о совместимости системы линейных уравнений (КронекераКапелли).

Элементарные преобразования системы m линейных уравнений с n неизвестными

Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными:

Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются:

1)умножение обеих частей уравнения на любое не равное нулю число;

2)прибавление к обеим частям уравнения линейной комбинации других уравнений;

3)перестановка местами уравнений.

Для решения системы линейных уравнений используется метод исключения неизвестных, который имеет две разновидности.

Метод Жордано-Гаусса (метод полного исключения)

В качестве первого ведущего неизвестного выберем x1, а в качестве первого ведущего уравнения – любое уравнение, содержащее x1. С помощью элементарных преобразований исключим x1 из всех остальных уравнений.

В качестве второго ведущего неизвестного возьмем x2, а вторым ведущим уравнением будем считать любое уравнение, содержащее x2, кроме первого ведущего уравнения, и т.д.

13

О.В.БРАИЛОВА

Врезультате получим решение системы линейных уравнений (1)

ввиде:

если ранг матрицы коэффициентов системы обозначить через r, то А) при r=n:

Если же r<n, получаем бесконечное множество решений:

Здесь x1,x2,...xr называются базисными переменными, а их совокупность – базисом. Остальные переменные xr+1,xr+2,...,xn свободные.

Совокупность (*) называется общим решением системы. Базисным решением называется такое частное решение систе-

мы линейных уравнений, в которых все свободные переменные равны нулю.

14

ЭКОНОМЕТРИЯ

Пример 7

Решить систему линейных уравнений методом Жордано-Гаусса.

x1 4x2 – 2x3 11

3x – 2x 4x 11

.

С помощью элементарных преобразований приведем матрицу коэффициентов исходной системы к единичной матрице:

Таким образом, получим решение:

Ответ: x=(3,1,1).

Метод Гаусса (метод неполного исключения)

Этот метод разрешает исключать ведущие неизвестные только из тех уравнений, которые не были ведущими на предыдущих шагах. Тогда система (1) преобразуется к виду:

А) при r=n система имеет единственное решение, легко получаемое из системы треугольного вида:

...

15

О.В.БРАИЛОВА

В) при r<n система имеет бесконечное множество решений, в

котором x1,x2,...xr – базисные переменные, а xr+1,xr+2,...,xn – свободные.

Пример 8

Решить систему методом Гаусса:

3x1 + 2x2 + x3 = 52x1 + 3x2 + x3 = 12x1 + x2 + 3x3 = 11.

Приведем матрицу коэффициентов системы к треугольному виду с помощью элементарных преобразований:

Получили систему:

x1 − x2 = 4x2 − x3 = −5x3 = 3

или

Ответ: x=(2,-2,3).

Теорема Кронекера-Капелли

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы коэффициентов системы равен рангу расширенной матрицы.

16

ЭКОНОМЕТРИЯ

ГЛАВА 2. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Тема 5. Примеры задач линейного программирования

Задача о пищевом рационе. Задача о распределении ресурсов. Задача о пищевом рационе

Имеются четыре продукта питания П1,П2,П3,П4 по цене соответственно C1,C2,C3,C4. Из этих продуктов требуется составить пищевой рацион, содержащий: белков, не менее чем в1 единиц, жиров, не менее чем в2 единиц и углеводов, не менее чем в3 единиц. Содержание элемента в единице каждого продукта указано в таблице:

Составить пищевой рацион из этих продуктов минимальной стоимости.

Обозначим количество продуктов, входящих в рацион соот-

ветственно x1,x2,x3,x4. Тогда общая стоимость рациона равна

L=c1x1+c2x2+c3x2+c4x4.

Общее количество белков, содержащихся в рационе, составляет

a11x1+a12x2+a13x3+a14x4. Их должно быть не менее в1 единиц. Общее количество жиров рациона есть a21x1+a22x2+a23x3+a24x4,

что не превосходит в2 единиц.

Общее количество углеводов в рационе есть

a31x1+a32x2+a33x3+a34x4, что не должно превосходить в3 единиц. Эти условия представляют собой неравенства-ограничения, кото-

рые накладываются на неизвестные. Возникает следующая задача: найти такой неотрицательный вектор x=(x1,x2,x3,x4)>0, который

удовлетворяет системе неравенств-ограничений

a11x1 + a12 x2 + a13 x3 + a14 x4 ≥в1a21x1 + a22 x2 + a23 x3 + a24 x4 ≥в2a31x1 + a32 x2 + a33 x3 + a34 x4 ≥в3

17

О.В.БРАИЛОВА

и обращает линейную функцию в минимум:

L=c1x1+c2x2+c3x3+c4x4—>min.

Задача о распределении ресурсов

Имеются ресурсы (например сырье, рабочая сила, оборудование) R1,R2,R3 в количестве b1,b2,b3 единиц. С помощью этих ресурсов

производятся три вида товаров T1,T2,T3. Для производства товара Tj необходимо aij единиц ресурса Ri(i=1,2,3, j=1,2,3). Единица ресурса Ri стоит di рублей (i=1,2,3). Единица товара Tj может быть реализована по цене cj рублей (j=1,2,3). По каждому виду това-

ра количество производимых единиц ограничивается спросом. Из-

вестно, что рынок не может реализовать более чем Kj единиц товара Tj(j=1,2,3). Составить план производства товаров, приносящий

максимальную прибыль.

Обозначим через x1,x2,x3 количество товаров T1,T2,T3, которые надо запланировать к производству. Условия спроса налагают ограничения:

Ресурсов должно хватить, следовательно, возникают ограничения:

Составим прибыль L как функцию от переменных x1,x2,x3.

Себестоимость Sj единицы товара Tj равна

Sj=a1jd1+a2jd2+a3jd3(j=1,2,3).

Прибыль от единицы товара Tj есть

qj=cj-Sj(j=1,2,3).

18

ЭКОНОМЕТРИЯ

Общая прибыль производства составляет

L=q1x1+q2x2+q3x3—>max.

Итак, сформулируем задачу линейного программирования. Найти такой неотрицательный вектор x=(x1,x2,x3)>0, который бы удовлетворял системам неравенств-ограничений

k1

k2 k3 .

и обращал бы линейную функцию в максимум:

L=q1x1+q2x2+q3x3—>max.

Тема 6. Основная задача линейного программирования (ОЗЛП)

Постановка ОЗЛП. Допустимое и оптимальное решения ОЗЛП. Геометрическая интерпретация ОЗЛП. Опорное решение. Симплекс-метод решения ОЗЛП.

Постановка ОЗЛП

Рассмотрим задачу линейного программирования с огра- ничениями-равенствами.

Найти такой неотрицательный вектор x=(x1,x2,...,xn)>0, который удовлетворяет системе уравнений-ограничений:

и обращаeт линейную функцию в минимум

L=c1x1+c2x2+...+cnxn—>min.

19

О.В.БРАИЛОВА

Допустимое и оптимальное решения ОЗЛП

Допустимым решением задачи называют любой неотрицательный вектор x=(x1,x2,...,xn)>0, удовлетворяющий системе (1).

Оптимальным решением называют такое допустимое решение, при котором линейная функция L=c1x1+c2x2+...+cnxn обращается в минимум.

Если число неизвестных больше числа линейно-независимых уравнений-ограничений на два, то решение задачи можно рассмотреть на плоскости.

И имеем две свободные переменные, скажем, x1,x2. Выразим остальные базисные переменные x3,x4,...,xn через свободные:

L=v0+v1x1+v2x2.

Очевидно, что линейная функция L`=v1x1+v2x2 достигает своего минимального значения при тех же x1,x2, что и L=v0+v1x1+v2x2 .

Построим прямую L`=0 и будем перемещать ее параллельно самой себе в направлении уменьшения. Итак, прямая v x +v x =0

имеет угловой коэффициент -v_1. 1 1 2 2

v2

20