Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Эконометрия. Методическое пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

711 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

										ЭКОНОМЕТРИЯ
Пример 12
Решить транспортную задачу методом потенциалов.
пункт назначения										Запасы	Пла-
	B1		B2		B3		B4		B5	Запасы	Пла-
пункт отправления	B1		B2		B3		B4		B5	ai	теж ai
10	10 8		8	6	9	5	6	4	5
A1	17		8							25	0
	-		+
8	5	6	6	4	4	3	3	2	8
A2	+		-13		19					32	-2
9	9	7	7	5	5	4	4	3	3
A3					22		14		4	40	-1
14	14 12		10 10		8	9	8	8	8
A4									20	20	4
Заявка b	17		21		41		14		24	117
Платеж bj	10		8		6		5		4

Построив опорный план методом «северо-западного угла», добавим к транспортной таблице снизу строку для платежей bj, а справа столбец платежей ai.~

Псевдостоимости c ij=ai+bj запишем в левом верхнем углу каждой клетки. Один из платежей, например ai, выбираем произвольно, скажем, равным нулю. Для каждой базисной клетки псевдостои-

мость должна равняться истинной стоимости:

cij=c ij=ai+bj

Полагая a1=0, находим все остальные платежи из условий:

+ β = 10

0 + β = 10

= 10

α1 + β2 = 8

+ β2 = 8

β2 = 8

+ β = 6

+ 8 = 6

α = −2

2 + β3 = 4

−2 + β3 = 4

β3 = 6

+ β3 = 5

+ 6 = 5

α3 = −1

α3

+ β = 4

−1

+ β

= 5

α3 + β5 = 3

−1

+ β5 = 3

β5 = 4

+ β5 = 8

+ 4 = 8

α4

= 4

α4

Полученный план не является оптимальным, так как существуют свободные клетки, в которых псевдостоимости больше стоимостей. Улучшим план перевозок с помощью циклов с отрицательной це-

О.В.БРАИЛОВА

ной. Возьмем клетку, в которой c ij>cij, например, (2,1). Цена цикла,

соответствующего этой клетке, и будет равняться c ij–cij. В нашем случае v1=5-8=-3 Перенесем по этому циклу min{17,13}=13 еди-

ниц товара. Тогда общая стоимость плана перевозок уменьшится на 13.3=39 ден. единиц.

Перейдем к следующей таблице:

пункт назначения											Запасы	Пла-
		B1		B2		B3		B4		B5	Запасы	Пла-
пункт отправления		B1		B2		B3		B4		B5	ai	теж a
пункт отправления											ai	теж a	i
													i
		10		8	9	9	8	6	7	5
A1		4		21				+			25	0
		-						+
		-	3	6		4	3	3	2	8
		5	3	6		4	3	3	2	8
A2		13 +				19-					32	-5
A	6	9	4	7		5		4		3	40	-4
A						22		14		4	40	-4
	3					+		-
	11	14 9		10 10		8	9	8		8
A4										20	20	1
Заявка bj		17		21		41		14		24	117
Платеж bj		10		8		9		8		7

Посчитаем новые платежи и псевдостоимости для свободных кле-

ток. В клетке (1,4) c 14>c14, то есть ей соответствует цикл с отрицательной ценой v2=6-8=-2. Перенесем по этому циклу min{4,19,14}=4

единицы товара. Перейдем к следующей таблице:

пункт назначения											Запасы	Пла-
		B1		B2		B3		B4		B5	Запасы	Пла-
пункт отправления		B1		B2		B3		B4		B5	ai	теж a
пункт отправления											ai	теж a	i
													i
	8	10		8	7	9		6	5	5
A1				21				4			25	0
		5	5	6		4	3	3	2	8
A2		17				15					32	-3
A	6	9	6	7		5	4	10		3	40	-2
A	3					26		10		4	40	-2
	3					-			+
	11	14 11		10 10		8	9	8		8
A4						+			-	20	20	3
A4									-	20	20	3
Заявка bj		17		21		41		14		24	117
Платеж bj		8		8		7		6		5

ЭКОНОМЕТРИЯ

Полученный план дешевле предыдущего на 8 ден. единиц, но еще

не оптимален, так как c 43>c43. Клетке (4,3) соответствует цикл ценой v3=8-10=-2 ден. единиц. По нему перенесем min{26,20}=20

единиц товара. Получим новую таблицу:

пункт назначения										Запасы	Пла-
	B1		B2		B3		B4		B5	Запасы	Пла-
пункт отправления	B1		B2		B3		B4		B5	ai	теж a
пункт отправления										ai	теж a	i
												i
3	10 8		8	7	9	5	6	4	5
A1			21				4			25	0
	5	5	6			3	3	2	8
A2	17				15					32	-3
6	9	6	7		5		4		3
A3					6		10		24	40	-2
9	14 9		10		8	7	8	6	6
A4					20					20	1
Заявка bj	17		21		41		14		24	117
Платеж bj	8		8		7		6		5

Посчитав платежи и псевдостоимости свободных клеток, убедимся, что полученный план является оптимальным, так как во всех свободных клетках псевдостоимости не превосходят истинных стоимостей.

Посчитаем общую стоимость наименьшего плана перевозок:

Lmin=21.8+4.6+17.5+15.20+6.5+10.4+24.3+20.8=639 де-

нежных единиц.

Тема 8. Двойственная задача к ОЗЛП

Постановка двойственной задачи. Теорема минимакса. Экономическая интерпретация двойственных переменных.

Постановка двойственной задачи

Пусть задана основная задача линейного программирования.

Найти такой неотрицательный n-мерный вектор неизвестных

x=(x1,x2,...,xn)>0,что


a	1x1 a12 x2 ... a1n xn		b1

123am1x1		am2 x2 ... amn xn	bm .
a	1x1	a22 x2 ... a2n xn	b2

...

F c0 c1x1 c2 x2 ... cn xn

О.В.БРАИЛОВА

min .

В матричном виде задача записывается так:

Ax b

c0 (c, x) min .

Двойственная задача ставится таким образом.

Найти такой неотрицательный m-мерный вектор неизвестных

y=(y1,y2,...,ym )>0, что

a11 y1 a21 y2 ... am1 ym							c1
a11 y1 a21 y2 ... am1 ym							c1
1231n 1	2n		2	mn		m	n .
a12 y1 a22 y2				... am2 ym			c2
...
a y a		y		... a	y		c
Ф c0	b1 y1			b2 y2 ... bm ym max .

В матричном виде двойственная задача записывается так:

AT yc

c0 (b, y) max .

Теорема минимакса

Если одна из пары двойственных задач имеет решение, то и другая имеет решение, причем оптимальные значения их целевых функций равны:

Fmin Фmax .

Пример 13

Задана задача линейного программирования.

F 1 3x1 2x2 min					.
123	1	2			.
7x1	2x2		14
4x1	5x2		20
x1 – x2		5
x1 – x2		5
x (x , x )				0

Тогда двойственная ставится следующим образом.

Ф 1 14 y1				20 y2 5y3 max			.
123		1	2	3
7 y1		4 y2	y3		3
	y1	5y2 – y3			2

y ( y , y , y )						0

ЭКОНОМЕТРИЯ

О.В.БРАИЛОВА

ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ И ОФОРМЛЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Студент должен выполнить одну контрольную работу по курсу «Эконометрия», которая предусмотрена учебным планом. Вариант контрольного задания выбирается из таблицы:

№ последней цифры		Номера задач для
№ последней цифры	Вариант	контрольного выпол-
Зачетной книжки	Вариант	контрольного выпол-
Зачетной книжки		нения
		нения
1,2	1	1,6,11,16,21
3,4	2	2,7,12,17,22
5,6	3	3,8,13,18,23
7,8	4	4,9,14,19,24
9,0	5	5,10,15,20,25

При выполнении контрольной работы надо строго соблюдать указанные ниже правила:

1.Работу следует выполнять в отдельной тетради синими или черными чернилами, оставляя поля.

2.В заголовке контрольной работы должны быть написаны фамилия и инициалы студента, номер зачетной книжки, вариант.

3.Решение задач следует располагать в порядке номеров, указанных в задании.

4.Перед решением каждой задачи надо полностью выписать ее условие.

5.Решения задач излагать подробно, аккуратно, объясняя все действия.

6.Контрольные работы, выполненные не по своему варианту, не зачитываются.

7.После получения рецензированной работы (как зачтенной, так

инезачтенной) студент должен исправить в ней все ошибки и недочеты.

В случае незачета работы и отсутствия прямого указания рецензента на то, что студент может ограничиться повторным представлением поправленных решений отдельных задач, вся контрольная работа должна выполняться заново.

На экзамен студент допускается только с зачтенной контрольной работой.

ЭКОНОМЕТРИЯ

ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

1-5. Решить систему уравнений по правилу Крамера:

	123	1	2	4x3 9				1	2	3
1.		x1	3x2	4x3 9
1.	4x		11x		1
		2	3
2.	7x – 5x – 1						4x x – 3x – 1
2.	x 2x x 8					4.	123
	123	x1 – 5x2 3x3 46						1	2	3
		x1 – 5x2 3x3 46					x1 x2 – x3 – 1
	1		2		3		x1 x2 – x3 – 1
	1		2		3		x1 −4x2 −2x3 = 0
	x1 – 7x2 – 2x3 5						x1 −4x2 −2x3 = 0
	2x1 − x2 +				5x3 = 27	5.	3x1 −5x2 −6x3 = −21
	2x1 − x2 +				5x3 = 27
3. 5x1 + 2x2 +13x3 = 70							3x1		+ x2	+ x43 = −4
			− x3 = −2
	3x1		− x3 = −2

6-10. Пользуясь методом исключения неизвестных, решить систему линейных уравнений:

	4x1 –17x2 – 6x3– 5x4 – 17				5x1 – 6x2 4x3 x4 13
	123x1 x2 1	3x4 28			5x1 – 6x2 4x3 x4 13
	43x1 24x2 – x3	3x4 28
6. x2 2x3 x4 9					5x1 – 5x2 2x3 1
	8x1 5x2 –10x3	– 3x4 37		9.	1234x1		–14x2	– 2x4 – 16
	123x1 – 2x2 – 2x3 x4			9.	7x1		– 24x2	x3 – 3x4 – 22
	123x1 – 2x2 – 2x3 x4		– 2	10.	4x1 – 9x2 10x3 3x4 12
7.	x1 5x2 3x3	2x4	13		123	x1 –10x2 – 4x4 – 26
	x1 x2 5					x1 –10x2 – 4x4 – 26


	x1 – 9x2 – 4x3–	3x4 – 6				x1 – 7x2 – x4 – 14
	x1 – 9x2 – 4x3–	3x4 – 6
	123				x1 5x2 – 2x3 9
8.	x1 – 7x2 – 2x3– x4 – 4
8.	7x1 – 6x2 2x3 2

7x1 –17x2 x3 – 2x4 14

О.В.БРАИЛОВА

11-15. Найти матрицу, обратную данной
a11	a12	a13
A a21	a22	a23
a31	a32	a33

Проверить результат, используя определение обратной матрицы.

	6	7	3
11. A	3	1	0			3	3	1
	2	2	1
				14.	A	7	6	2
	9	9	5
						7	9	2
12. A	4	–1	–5
						2	–3	4
	14	13	7
				15.	A	0	–1	2
	–2	3	4
						5	2	–2
13. A	3	–1 –3

	–1	2	2

16-20. Построить на плоскости область решения системы линейных неравенств

123	1	2
a11x1	a12 x2			b1
a21x1 a22 x2				b2
a31x1 a32 x2				b3
a31x1 a32 x2				b3
x (x , x )			0
x (x , x )			0

и геометрически найти наименьшее значение линейной функции f(x1,x2)=c1x1+c2x2 в этой области.

Построить к этой задаче линейного программирования двойственную задачу и решить ее симплекс-методом.

ЭКОНОМЕТРИЯ

	– x1 x2						3
	– x1 x2						3
	123
16.	5x1			3x2					97					123	1	2
	x1 7x2					77								6x1	– 5x2				17
																			17

	f	3x1 4x2										min	19.	x1 2x2			34
													19.	x1 2x2			34
														–4x 9x							17
	123													–4x 9x							17
	123		1	2											1	2
		x1 – x2				9								f 5x1		3x2						min
17.		x1 3x2							50					f 5x1		3x2						min
17.		x1 3x2							50					–3x 14x								78
	– x 4x										19			–3x 14x								78
														123	2
	f	x		5x								min	20.	5x1	– 6x2					26
	f	x		5x								min	20.	5x1	– 6x2					26
			1		2									x 4x				26
	x		4x2					53						x 4x				26


	123		1	2										f 5x1 7x2								min
18.	x – x2				3
	7x 3x									71
	f	9x1 2x2										min

21-25. На трех базах A1,A2,A3 находится соответственно a1,a2,a3 единиц некоторого однородного товара. Его нужно перевезти в пять пунктов назначения B1,B2,B3,B4,B5, которым требуется соответственно b1,b2,b3,b4,b5 единиц товара. Стоимость перевозок единицы товара из пунктов отправления (базы) в пункты назначения указаны в таблице (матрица стоимостей):

пункт назначения											Запасы
	B1		B2		B3		B4		B5		Запасы
пункт отправления	B1		B2		B3		B4		B5		ai
пункт отправления

A1	c11		c12		c13		c14		c15		a1
A2	c21		c22		c23		c24		c25		a2
A3	c31		c32		c33		c34		c35		a3
Заявки bj	b	1	b	2	b	3	b	4	b	5

Спланировать перевозки так, чтобы общая их стоимость была минимальной.

О.В.БРАИЛОВА
		21
пункт назначения						Запасы
	B1	B2	B3	B4	B5	Запасы
пункт отправления	B1	B2	B3	B4	B5	ai
пункт отправления						ai
A1	9	6	17	11	8	200
A2	13	4	9	5	7	250
A3	6	7	14	10	6	150
Заявки bj	120	180	105	90	105
		22
пункт назначения						Запасы
	B1	B2	B3	B4	B5	Запасы
пункт отправления	B1	B2	B3	B4	B5	ai
A1	5	13	18	17	8	350
A2	6	10	15	6	3	400
A3	24	21	9	16	17	250
Заявки bj	175	225	230	170	200
		23
пункт назначения						Запасы
	B1	B2	B3	B4	B5	Запасы
пункт отправления	B1	B2	B3	B4	B5	ai
пункт отправления						ai
A1	13	7	16	4	11	250
A2	20	9	6	10	9	250
A3	2	4	7	3	6	200
Заявки bj	120	110	85	195	190
		24
пункт назначения						Запасы
	B1	B2	B3	B4	B5	Запасы
пункт отправления	B1	B2	B3	B4	B5	ai
пункт отправления						ai
A1	14	11	9	13	18	250
A2	6	5	14	4	14	180
A3	7	19	11	6	13	270
Заявки bj	160	120	100	150	170

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]