Эконометрия. Методическое пособие

21

О.В.БРАИЛОВА

Координаты точки М найдем из условия:

Lmin L(x1* , x2* ) L(0,1) 2=0 1 1 .

Ответ: линейная форма L принимает минимальное значение в точке (0,1) и равна 1.

Симплекс-метод решения основной задачи линейного программирования

Рассмотрим систему из m линейных уравнений с n неизвестными (1). Пусть первые k=n-m переменных свободные, а m последних

– базисные. С помощью метода Жордано-Гаусса выразим базисные переменные xk+1,xk+2,...,xn через свободные x1,x2,....,xk:

.

Если bk+1,bk+2,...,bn>0, то частное решение

...

является допустимым.

Если существует b<0, то, с помощью табличного алгоритма замены переменных, можно либо прийти к допустимому решению, либо убедиться, что оно не существует.

Пусть (2) – допустимое решение. Оно будет оптимальным, если обращает линейную форму L=c1x1+c2x2+...+cnxn—>min в мини-

мум. Выразим ее через свободные переменные x1,x2,...,xk.

L=L(x1,x2,...,xk)=c0-(c1x1+c2x2+...+ckxk).

22

ЭКОНОМЕТРИЯ

L будет минимальным, если все коэффициенты c1,c2,...ck будут неотрицательны. В противном случае, с помощью табличного алгоритма замены переменных нужно поменять свободную на базисную переменную так, что либо получим оптимальное решение, либо убедимся, что оно не существует.

Пример 10

Решить задачу симплекс-методом:

L 5x1 – x2 min

Пусть x1,x2 – базисные переменные, x3,x4 – свободные переменные.

Выразим базисные переменные и целевую функцию через свободные переменные и запишем в стандартном виде:

x 2 – (2x – 3x ) 123x1 1– (2x3) 4

2 4

L 10 – (11x3 – 15x4 ) min .

Получим опорное решение L(2,1,0,0)=10, его можно записать в симплекс-таблицу:

Это решение не является оптимальным, так как коэффициент при x3 в целевой функции положительный (он равен 11). Чтобы уменьшить L, сделаем замену базисной на свободную переменную x3<—>x1 с помощью табличного алгоритма замены переменных. Получим новую симплекс-таблицу:

23

О.В.БРАИЛОВА

Переход к новому опорному решению L(0,1,1,0)=-1 уменьшил значение целевой функции с 10 до (-1), однако, это еще не оптимальное решение, так как коэффициент при свободной переменной

Получили оптимальное решение задачи.

Lmin=L(0,0,7/4,1/2)=-7/4.

Тема 7. Транспортная задача линейного программирования (ТЗЛП)

Постановка ТЗЛП. Построение опорного плана ТЗЛП методом «северо-западного угла». Нахождение оптимального плана распределительным методом. Определение цикла и его цены. Решение ТЗЛП методом потенциалов. Критерий оптимального плана ТЗЛП.

Постановка ТЗЛП

Классическая транспортная задача формулируется следующим образом.

Имеется m пунктов отправления A1,A2,...,Am, в которых сосредоточены запасы некоторого однородного товара в количестве соответственно a1,a2,...,am единиц. Также имеется n пунктов назначения B1,B2,...,Bn, подавших заявки соответственно на b1,b2,...bn единиц этого товара. Предполагается, что сумма всех запасов равна сумме всех заявок:

24

ния Bj, где i=1,m,j=1,n. Неизвестные назовем перевозкой. Всего их mxn. Они должны быть неотрицательны и удовлетворять следующим условиям:

1. Общее количество перевозок из любого пункта отправления во все пункты назначения должно равняться запасу товара в данном

пункте отправления. Это дает m ограничений-равенств по запасам:

n

R xij ai , i 1, m.

j 1 .

2. Общее количество перевозок товара, доставляемого в каждый пункт назначения изо всех пунктов отправления, должно равняться за-

явке данного пункта. Это дает еще n ограничений-равенств по заявкам:

m

R xij ai , j 1, n.

i 1

Общая стоимость перевозок должна быть минимальной:

Метод решения транспортной задачи сводится к операциям над транспортной таблицей, где записано условие:

25

О.В.БРАИЛОВА

Ранг системы из m+n уравнений-ограничений по запасам и заявкам равен r=m+n-1, где m – число пунктов отправления, а n – число пунктов назначения. Значит, в любом опорном плане, включая

оптимальный, будут базисными и строго положительными не более (m+n-1) перевозок.

Построение опорного плана ТЗЛП распределительным методом «северо-западного угла»

Рассмотрим метод «северо-западного угла» на примере. Пусть задана транспортная задача (пока без стоимости перевозок):

Начнем заполнять таблицу перевозками, начиная с левой верхней ячейки (северо-западного угла таблицы).

Пункт B1 подал заявку на 18 ед. груза, удовлетворим ее за счет запаса 48 из A1 и запишем перевозку 18 в клетку (1,1). После того, как заявка пункта A1 удовлетворена, в пункте A1 осталось 80 единиц груза. Удовлетворим за его счет заявку пункта A2 – 27 единиц. Запишем 27 ед. в клетку (1,2). Оставшиеся 3 ед. пункта A1 назначим в

26

ЭКОНОМЕТРИЯ

пункт A3. В заявке пункта A3 осталось неудовлетворенными 39 единиц груза. Из них 30 единиц выделим из пункта A2 и 9 единиц из пункта A3. Из оставшихся 18 единиц пункта A3 12 единиц отправим в пункт A4, 6 единиц – в пункт A5, что вместе с 20 единицами пункта A4 удовлетворит заявку A5. Таким образом, все заявки удовлетворены, все запасы исчерпаны.

Нахождения оптимального плана распределительным методом

При составлении опорного плана не учитываются стоимости перевозок, указанные в правом верхнем углу каждой клетки транспортной таблицы. Стоимость общего плана перевозок в предыду-

щем примере есть:

L=18.10+27.8+3.5+30.8+9.10+12.8+16.7+20.8=1039

(денежных единиц).

Попробуем улучшить этот план, то есть удешевить его. Перенесем 18 ед. груза из клетки (1,1) в клетку (2,1) и , чтобы не нарушить баланса, перенесем те же 18 единиц из (2,3) в (1,3). Получим новый

план перевозок, стоимость которого равна:

L2=27.8+21.5+18.6+12.8+9.10+12.8+6.7+2.8=913 (де-

нежных единиц), то есть на 126 д.ед. меньше, чем предыдущий.

27

О.В.БРАИЛОВА

Такая перестановка без нарушения баланса называется циклической.

Ценой цикла называется изменение стоимости общего плана перевозок при перемещении одной единицы груза по этому циклу.

Цена цикла вычисляется как алгебраическая сумма стоимостей вершин цикла, причем стоимости, стоящие в положительных вершинах (то есть, где перевозка увеличивается), берутся со знаком (+), в отрицательных вершинах (то есть, где перевозка уменьшается) – со знаком (–). Например, цена цикла в примере v=6-8+5-10=-7. При перемещении по циклу k единиц груза стоимость перевозок изменится на k v ден. единиц. Чтобы при циклической перестановке общая стоимость плана перевозок уменьшилась, нужно использовать только циклы с отрицательной ценой.

Критерий оптимального плана

В транспортной таблице нет циклов с отрицательной ценой.

План называется невырожденным, если число базисных перевозок равно m+n-1.

Теорема. В невырожденном плане каждой свободной клетке соответствует один и только один цикл.

Количество единиц груза k, которое можно переместить по циклу, определяется минимальным количеством перевозок, стоящих в отрицательных вершинах цикла.

Пример 11

Найти оптимальный план для транспортной задачи линейного программирования распределительным методом.

28

Стоимость этого плана есть

L1=22.10+9.7+25.6+23.5+18.6+20.7=796 ден. единиц.

Число базисных клеток r=m+n-1=3+4-1=6, значит план невырожденный. Будем улучшать план, составив цикл для сво-

бодной клетки (2,4) с минимальной стоимостью 4. Это будет цикл

(2,4)—>(2,3)—>(3,3)—>(3,4).

Цена этого цикла v1=4-7+6-5=-2. По этому циклу переместим

min{23,20}=20 единиц груза.

Получим новый улучшенный план, стоимость которого есть

L2=796+20(-2)=756 ден. единиц.

Теперь составим цикл для свободной клетки (2,1) стоимостью 5

ден. единиц: (2,1)—>(1,1)—>(1,2)—>(2,2).

Цена его v2=7-6+5-10=-4 ден. едениц.

29

Попробуем дальше улучшить этот план, подсчитывая цены всех циклов. Они положительны или равны нулю. Следовательно, им соответствующие циклы либо увеличат стоимость общего плана перевозок, либо не изменят его. Таким образом, полученный план оптимальный.

Решение ТЗЛП методом потенциалов

Распределительный метод неудобен тем, что нужно каждый раз подсчитывать цены всех циклов. Метод потенциалов позволяет автоматически находить циклы с отрицательной ценой.

Пусть каждый из пунктов отправления Ai платит за вывоз единицы товара ai ден. единиц. В свою очередь, каждый пункт назначения Bj платит за привоз единицы товара bj ден. единиц. Величины a и bj называются платежами.

Обозначим

~ — — ai+bj= c ij(i=1,m~ ,j=1,n)

и назовем c ij псевдостоимостью единицы груза из пункта отправления Ai в пункт назначения Bj.

Пусть план {xij} невырожденный.

~

Теорема. План является оптимальным, если c ij=cij для базисных

~

клеток (xij>0) и c ij<cij для свободных клеток (xij=0).

Оптимальный план называется потенциальным, а соответствующие ему платежи (ai,bj) – потенциалами пунктов Ai и Bj.

30