Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Числовые и функциональные ряды. Сборник задач (практикум)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Федеральное агентство морского и речного транспорта Московская государственная академия водного транспорта– филиал Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования «Государственный университет морского и речного флота имени адмирала С.О. Макарова»

Логинов В.А.

Числовые и функциональные ряды

Сборник задач

Альтаир-МГАВТ Москва 2019

УДК 514

Л-69

Логинов В.А. Числовые и функциональные ряды. Сборник задач (практикум), 2019. — 41 с.

Практикум предназначен для проведения практических занятий по дисциплине «Математика» (раздел «Числовые и функциональные ряды») с обучающимися всех направлений подготовки и специальностей МГАВТ.

В пособии приведены темы занятий и задачи по разделу «Числовые и функциональные ряды», рекомендации по самостоятельной работе обучающихся при подготовке к практическим занятиям, а также приведен список литературы, позволяющий обеспечить более углубленное изучение предмета.

Рецензенты:

-кандидат физ.-мат. наук, доцент, зав. кафедрой теоретической механики МГАВТ Исаков А.В.;

-кандидат технических наук, доцент, зав. кафедрой информатики и компьютерных технологий МГАВТ Иванов М.И..

Рекомендовано к изданию Учебно-методическим советом МГАВТ. Рассмотрено и рекомендовано к использованию в учебном процессе на за-

седании кафедры ЕНМД (протокол №2 от 22.10.18)

Ответственность за оформление и содержание передаваемых в печать материалов несут авторы кафедры академии, выпускающие учебнометодические материалы.

©МГАВТ., 2019 ©Логинов В.А., 2019

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Общие рекомендации по подготовке к практическим занятиям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Предисловие

Практические занятия являются обязательной и важной частью учебных планов и рабочих программ по дисциплине «Математика» для обучающихся Московской Государственной академии водного транспорта. Учебная дисциплина «Математика» входит в базовую часть учебных планов по всем специальностям, по которым готовят выпускников Академии, и служит основой для изучения дисциплин математического, естественнонаучного и профессионального циклов.

Основной целью проведения практических занятий при изучении дисциплины «Математика» является умение использовать теоретические знания, полученные на лекциях, для решения практических задач, а также при изучении других дисциплин и в профессиональной деятельности после окончания Академии.

Дисциплина «Математика» содержит большое количество разделов. На портале Федеральных государственных образовательных стандартов Национальным исследовательским технологическим университетом «МИСиС» опубликован «Сборник примерных программ математических дисциплин цикла М и ЕН Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования 3-го поколения». На основании этого документа в МГАВТ в учебных программах представлены следующие основные разделы:

1.Линейная алгебра и аналитическая геометрия;

2.Дифференциальное исчисление;

3.Интегральное исчисление;

4.Дифференциальные уравнения;

5.Числовые и функциональные ряды;

6.Теория вероятностей и математическая статистика.

Структура настоящего сборника такова. В разделе 2 приведен список литературы, изучение которой поможет обучающимся подготовиться к практическим занятиям.

В разделе 3 даны общие рекомендации по подготовке к практическим занятиям.

Основным разделом является раздел 4, в котором по каждой теме (всего их 5) даны формулировки задач и конкретные рекомендации. По каждой теме дается краткая теоретическая справка (особо актуальная для заочного обучения), приведен ряд задач с подробным решением и задачи для проведения практических занятий. Приведены формулировки задач и ответы к ним.

Общие рекомендации по подготовке к практическим занятиям

При подготовке к практическим занятиям основным является изучение теоретического материала. Как правило, такой материал дается на одной из последних лекций, так что обучающиеся вполне подготовлены к решению задач. К каждой теме дается краткая теоретическая справка, которая также позволяет подготовиться к практическим занятиям.

Кроме того, самостоятельная работа студентов заключается в разборе задач с решениями.

Задачи

Тема 1. Числовой ряд. Ряды с положительными членами. Необходимый признак сходимости ряда. Достаточные признаки сходимости: признаки сравнения, признак Даламбера, признак Коши, интегральный признак Коши

Краткая теоретическая справка

1. Числовым рядом называется выражение

u1 u2 ... u n ...,

где u1 ,u2 ,...,un ,…— некоторые числа (могут быть как действительными, так и комплексными).

Для сокращенной записи ряда используют знак суммы:

u1 u2 ... u n ...= un .

n 1

un — общий член ряда.

Для любого ряда вводят также понятие частичной суммы (n-ой

	n
частичной суммы):	sn uk . Если предел n-ой частичной суммы су-
	k 1

ществует и конечен, то ряд называется сходящимся (в противном

случае — расходящимся). Предел lim sn s называется суммой ряда.

2. Если ряд un

n 1

вольного числа с ряд

Если ряды an

n 1

сходится и его сумма равна s, то для произ-

сun также сходится и его сумма равна cs.

n 1

и bn сходятся и их суммы равны соответ-

n 1


ственно s1 и	s2 , то сходятся и ряды an bn	и их суммы равны s1 s2 .
	n 1

Другими словами, сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать.

Следствие. Сумма (разность) сходящегося и расходящегося рядов есть расходящийся ряд.

Если в ряде добавить или отбросить конечное число членов, то полученный ряд сходится или расходится одновременно с данным.

3. Необходимое условие сходимости числового ряда

Условие это выглядит так: если ряд сходится, то

lim u

0 .

Доказательство весьма

простое: поскольку

ряд сходится, то

lim

s s ; при n также и

n 1 , поэтому и

lim

n 1

s .

Но un sn sn 1 , так что

lim un lim

sn lim

sn 1

s s 0 .

Надо четко понимать смысл необходимого условия: если ряд сходит-

ся, то lim un 0 . Это означает следующее: если lim un 0

, то необходимое

условие не выполняется и ряд расходится. Например, ряд

n 1

рас-

n 1 1000n

ходится, т.к. для него не выполняется необходимое условие:

	lim	n 1	1	0 .
	lim			0 .
	n 1000n		1000
Если же lim un 0	, то это еще не означает, что ряд сходится. В
n
качестве примера покажем,		что гармонический ряд 1			1	1	1	...

					2	3	4
					2	3	4

расходится, несмотря на то, что необходимое условие для него вы-

полняется: lim 1 0 .

n n

В самом деле, объединим члены этого ряда в группы следующим образом:

	1	1	1	1	1	1	1	1		1
1									...		... ,
1									...		... ,
	2	3	4	5	6 7 8			9		16

включив в первые скобки два слагаемых, во вторые — четыре, в третьи — восемь и т.д.

Тогда, т.к.	1	1		1			1	1	,	1	1		1	1	1	1			1	1	1	и т.д., мы по-
Тогда, т.к.									,													и т.д., мы по-
	3	4	4				4	2		5	6		7	8	8	8			8	8	2
лучаем, что

					1	1		1		1	1	..., т.е.			lim		1	.
						1						..., т.е.			lim			.
			n 1 n					2		2	2				n n

Таким образом, гармонический ряд расходится.

Из приведенных рассуждений ясно, что по большому счету необходимый признак сходимости позволяет выявить только расходящие-

ся ряды и не является инструментом для опознания рядов сходящихся. Очевидно, таким инструментом должен быть достаточный при-

знак сходимости ряда.

4. Достаточные признаки сходимости числового ряда

4.1. Признак сравнения Пусть даны два ряда с неотрицательными членами:


un	,	(1)
n 1

vn ,		(2)

ипусть un vn 0 . Тогда из сходимости ряда (1) с большими чле-

нами следует сходимость ряда (2) с меньшими членами, а из расходимости ряда (2) с меньшими членами следует расходимость ряда (1) с большими членами.

Следует обратить внимание на две тонкости.

Во-первых, если исследуется вопрос о сходимости конкретного ряда, то для сравнения нужен еще один ряд, сходимость которого уже исследована. Чаще всего (но совсем не обязательно!) в качестве такого ряда выбирают сходящийся ряд геометрической прогрессии (см. решение задачи 1) или расходящийся гармонический ряд.

Во-вторых, надо четко понимать, что если у нас имеется некоторый сходящийся ряд с положительными членами, то сходится любой другой ряд, члены которого положительны и не превосходят соответствующих членов первого ряда. Про ряды с большими членами ничего утверждать нельзя! Точно так же, если имеется некоторый расходящийся ряд с положительными членами, то можно лишь утверждать, что любой другой ряд с большими членами также расходится, про ряды с меньшими членами ничего не ясно!

Таким образом, требуется особая внимательность при подборе рядов для сравнения с исследуемым.

4.2. Предельный признак сравнения


Пусть даны два ряда un	и	vn	с положительными членами и
n 1		n 1
при этом
		9

lim	un	A является конечным числом.	Тогда оба ряда сходятся
lim		A является конечным числом.	Тогда оба ряда сходятся
n vn
или расходятся одновременно.
4.3. Признак Даламбера
				un 1
Пусть дан ряд un с положительными членами и пусть lim				un 1		.
Пусть дан ряд un с положительными членами и пусть lim						.
		n 1	n u		n
		n 1			n

Тогда, если 1 , то ряд сходится, если 1 , то ряд расходится. Случай 1 требует дополнительного исследования.

Заметим, что в данном признаке используются только свойства членов исследуемого ряда, никакой дополнительный ряд не нужен.

4.4. Признак Коши Этот признак также использует только свойства одного исследу-

емого ряда.


Пусть дан ряд un с положительными членами и пусть	lim n un .
n 1	n
n 1

Тогда, если 1 , то ряд сходится, если 1 , то ряд расходится. Случай 1 требует дополнительного исследования.

4.5. Интегральный признак Коши Пусть дан ряд


			f n ,	(3)
			n 1
где f n	— положительная невозрастающая функция. Тогда ряд
(3) и несобственный интеграл

			f x dx
			1
сходятся или расходятся одновременно.

Напомню, что несобственный интеграл вида				f x dx понимается
				a
		A
как предел:	f x dx	lim f	x dx . Если этот предел существует и ко-
	a	A a

нечен, то несобственный интеграл называется сходящимся; если же предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл расходится.

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]