Цифровые технологии математического образования в техническом вузе. Учебное пособие

профессиональной направленности преподавания дисциплин математического цикла позволит достичь необходимого уровня освоения компетенций, предусмотренных рабочей программой дисциплины; повысить мотивацию и интерес к изучению таких довольно абстрактных математических дисциплин, как, например, теория функций комплексного переменного, операционное исчисление.

Следует отметить, что разбор прикладных задач всегда практиковался в обучении математическим дисциплинам. В книге Л.Д. Кудрявцева говорится о необходимости «усиления прикладной направленности курса математики и повышения уровня фундаментальной математической подготовки»32.

Все сказанное выше можно спроецировать и на гуманитарные специальности. Дело в том, что в настоящее время математические модели лежат в основе практически всех областей науки, независимо от раздела знаний, к которому они относятся. Наблюдается явная тенденция к взаимодействию и взаимопроникновению различных областей науки, кроме того, создаются отрасли, находящиеся «на стыке» знаний.

В Концепции развития математического образования в РФ подчеркивается, что успех нашей страны в XXI веке зависит от состояния «математической науки, математического образования и математической грамотности населения, от эффективного использования современных математических методов»33. Однако даже студенты технических специальностей сталкиваются с большими трудностями при овладении соответствующими компетенциями, имеющими в основе математические знания. Гораздо сложнее обстоит дело со студентами так называемых гуманитарных специальностей. Под термином «гуманитарные специальности» будем понимать нетехнические специальности, которые так или иначе связанны с бизнесом, например, «Гости-

ничное дело» (43.03.03), «Сервис» (43.03.01), «Туризм» (43.03.02), «Реклама и связи с общественностью» (42.03.01), «Технология

32Там же.

33Концепция развития математического образования в РФ: утверждена распоряжением Правительства РФ от 24 декабря 2013 г. № 2506-р. – URL: https://www.garant.ru/products/ipo/prime/doc/70452506/ (дата обращения 21.06.2021).

51

продукции и организация общественного питания» (19.03.04), «Ме-

неджмент» (38.03.02), «Торговое дело» (38.03.06).

Отметим, что изучение общеобразовательных дисциплин, среди которых математика, предшествует изучению дисциплин специальности, поэтому на них накладываются определенные требования. С одной стороны, они должны закладывать знания, умения и навыки, необходимые для будущей профессии, с другой стороны, показывать практические приложения основных математических понятий и законов в выбранной сфере деятельности. Но это только одна из проблем, связанных с обучением математике. Гораздо более существенной проблемой, с нашей точки зрения, является выработка мотивации для обучения каждой конкретной специальности. Стандартного подхода и стандартных примеров с учетом быстро меняющихся реалий для этого может оказаться недостаточно. Связано это как раз с тем, что математические дисциплины преподаются на младших курсах, когда еще далеко не все студенты осознали цель своего обучения по выбранной специальности. Даже для студентов технических вузов такая проблема (осознание необходимости математики) стоит довольно остро, а на гуманитарных специальностях преподаватели порой наталкиваются просто на явное нежелание некоторых студентов осваивать математические дисциплины.

Переход к компетентностному подходу в высшем образовании потребовал перестройки всего процесса обучения. Изменения коснулись практически всех предметов и привели к сокращению программ обучения и аудиторных часов для математических дисциплин у студентов рассматриваемых специальностей, что предъявляет дополнительные требования к отбору материалов, позволяющих дать представление о фундаментальных основах математики, на которых базируется современный вариант их специальности.

Переход к новой модели обучения подразумевает развитие у студентов навыков самостоятельной работы по индивидуальной траектории обучения. Но успешной такого рода познавательная деятельность может быть только при правильной мотивации студентов, поэтому именно мотивационные аспекты должны ставиться во главу угла при разработке конкретных курсов математики в вузе. Это очень важно для студентов гуманитарных специальностей, особенно на младших курсах, где, собственно, и проходит изучение основ математики. Поэтому изучение мотивационных аспектов обучения в вузе математике

52

студентов гуманитарных специальностей, так или иначе связанных с бизнесом, становится актуальной задачей и требует тщательного и системного исследования.

Широко известно, что изучение математики развивает у студента навыки обобщения, анализа, систематизации, нахождения закономерностей, установления причинно-следственных связей, рассуждения и прочего. Важность этих характеристик для специалистов различных областей осознается ими все глубже, и по окончании учебы такие специалисты будут востребованы на рынке труда. В связи с этим можно отметить появление некоторого нового тренда при отборе специалистов, т. е. на рынке труда возникает запрос на специалистов, умеющих мыслить и воспринимать сложные современные технологии, причем слово «технологии» надо понимать в самом широком смысле. Весьма сложно достичь этого и стать грамотным специалистом без знания математики практически в любой сфере бизнеса. К сожалению, студенты младших курсов нередко не осознают этого, и одной из базовых задач, стоящих перед преподавателями, является доведение до студентов важности математики в современных условиях.

В принципе, математика является междисциплинарной наукой, тесно связанной с естественнонаучными дисциплинами; можно сказать, что социология и экономика неотделимы от математики, кроме того, многие выводы даже привычно гуманитарных наук, таких как лингвистика, журналистика, опираются на математические и логические модели и понятия. Осознание этих связей студентами может помочь им понять роль математических закономерностей в выбранной специальности. На самом деле связь математики и гуманитарных дисциплин гораздо глубже, чем это может показаться с первого взгляда. Создатель математических основ специальной теории относительности А. Пуанкаре считал, что математик должен обладать интуицией: «Интуиция чистых логических форм как раз озаряет и направляет математиков. Она-то и позволяет им не только доказывать, но еще и изобретать. Через нее-то они и подмечают сразу общий план логического здания»34. С точки зрения А. Пуанкаре, интуиция должна иметь существенное место

34 Пуанкаре А. О науке (под ред. Л.С. Понтрягина). – М.: Наука, 1989. – «Ценность науки. Математические науки» (пер. с фр. С.Г. Суворова). –

С. 205–218.

53

и в преподавании математических наук: «Без нее молодые умы не могли бы проникнуться пониманием математики; они не научились бы любить ее и увидели бы в ней лишь пустое словопрение; без нее особенно они никогда не сделались бы способными применять ее»35. Выработка хотя бы в какой-то мере основ подобной интуиции может кардинально повлиять на мировоззрение человека независимо от того, в какой области он работает. Так, например, известный советский и российский кинокритик (в 2003–2011 г. президент Гильдии киноведов и кинокритиков России) В. Э. Матизен, который закончил математический факультет НГУ, в частной беседе как-то сказал, что именно математическое образование позволило ему сформировать свой оригинальный взгляд на киноискусство и кинокритику, хотя область, более далекую от математики, сложно себе представить. Об этом же говорит опыт многочисленных выпускников математических факультетов, работающих в биологии, менеджменте, банковском деле и т. д.

На основе сказанного выше выделим следующие педагогические задачи, требующие первостепенного решения.

Подбор профессионально-ориентированных задач, имеющих довольно прозрачную практическую трактовку, установка связи математических понятий с их практическим применением в профессиональной деятельности будущих специалистов.

Установка межпредметных связей для выявления профессиональной направленности изучения математики.

Разработка педагогических методик обучения математике, стимулирующих самостоятельную познавательную деятельность.

Внедрение информационных образовательных технологий и электронных систем управления обучением.

Перечисленные проблемы соответствуют задачам развития математического образования в РФ. Грамотное решение этих педагогических ситуаций позволит повысить мотивацию, интерес к учебе и выбранной специальности, уровень освоения компетенций, а внедрение информационно-коммуникационных технологий и электронной образовательной среды сделает процесс обучения гибким и эффективным.

35 Пуанкаре А. О науке (под ред. Л.С. Понтрягина). – М.: Наука, 1989. – «Ценность науки. Математические науки» (пер. с фр. С.Г. Суворова). –

С. 205–218.

54

4.2. ПРИКЛАДНАЯ НАПРАВЛЕННОСТЬ КУРСА МАТЕМАТИКИ

НА ТЕХНИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЯХ

Рассмотрим примерную основную образовательную программу направления подготовки 24.03.04 «Авиастроение» для бакалавриата, размещенную на Портале Федеральных государственных образовательных стандартов высшего образования36, в которой обозначены следующие общепрофессиональные компетенции выпускников и индикаторы их достижения:

«ОПК-1. Способен применять естественнонаучные и общеинженерные знания, методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования в профессиональной деятельности. ОПК-1.1. Знать теорию и основные законы в области естественнонаучных и общеинженерных дисциплин. ОПК-1.2. Уметь применять методы математического анализа и моделирования в профессиональной деятельности».

Формулировка обязательной профессиональной компетенции выпускников из рассматриваемой образовательной программы следующая:

«ПКО-12. Способен разрабатывать физические и математические модели исследуемых процессов, явлений и объектов, относящихся к профессиональной сфере деятельности».

Как видно из приведенных компетенций и индикаторов их достижения, преподаватель должен увязывать содержание математических дисциплин с профильной деятельностью студентов, пересмотреть цели и технологии обучения. Естественно, разработка таких задач требует высокой квалификации преподавателя, отслеживания тенденций в современном наукоемком производстве, в частности внедрения математических методов в прикладные инженерные задачи. В Концепции развития математического образования в РФ среди проблем мотиваци-

36 Портал Федеральных государственных образовательных стандартов высшего образования. – URL: http://fgosvo.ru

55

онного и содержательного характера развития математического образования выделяют и кадровые проблемы: «Преподаватели образовательных организаций высшего образования в большинстве своем оторваны как от современных направлений математических исследований, включая прикладные, так и от применений математики в научных исследованиях и прикладных разработках своей образовательной организации высшего образования»37. Безусловно, студентам целесообразно принимать участие в решении задач на всех ее этапах, еще лучше, если сами студенты разрабатывают модели явлений и процессов, связанных с их профессиональной деятельностью. Для успешного привлечения первокурсников к обсуждению решаемых задач необходимо проводить практические занятия с небольшой группой студентов. К сожалению, нередко в группах первого курса около 25…30 человек, что не способствует совместному обсуждению прикладных аспектов изучаемых математических понятий. Кроме того, формат обсуждений в виде круглого стола еще не нашел должного отклика у студентов младших курсов. Как правило, учащиеся готовы высказывать свою позицию по обсуждаемому вопросу конкретно преподавателю, чье мнение по умолчанию имеет больший вес и является более авторитетным, чем мнение однокурсников. В результате несколько студентов постоянно вовлечены в работу, а остальные превращаются в пассивных слушателей. Этому же способствует и то обстоятельство, что на младших курсах базовая подготовка студентов весьма разная. На занятиях можно наблюдать как студентов, с трудом осваивающих базовые понятия, так и участников олимпиад, интересующихся прикладными аспектами математики.

Интеграция естественнонаучных и профессиональных дисциплин характерна в настоящее время для инновационных преобразований системы образования, – компетентностного подхода, который нацеливает обучающихся на самостоятельное решение задач и организацию познавательной деятельности. Очевидно, что реализация компетентностного подхода должна быть основана на существенной переориен-

37 Концепция развития математического образования в РФ: утверждено распоряжением Правительства РФ от 24 декабря 2013 г. № 2506-р. – URL: https://www.garant.ru/products/ipo/prime/doc/70452506/#16 (дата обращения: 24.06.2021).

56

тации всего учебного процесса, направленного на профессиональное саморазвитие учащегося.

Например, на факультете летательных аппаратов НГТУ студентам образовательной программы 24.03.05 «Баллистика и гидроаэродинамика» профиля «Гидроаэродинамика» интересны прикладные аспекты аэро- и гидродинамики, возникающие при решении проблемы флаттера, или задачи обтекания тонких крыловых профилей произвольной формы. Наглядным примером приложения теории функций комплексного переменного может быть создание кумулятивных зарядов, действие которых можно продемонстрировать с использованием видеоряда. Для студентов образовательной программы 13.03.02 «Электроэнергетика и электротехника» при изучении операционного исчисления можно сделать акцент на переходных процессах в цепях. Например, в случае переходного процесса напряжения и токи цепи (на отдельных ее элементах) существенно превышают значения в установившемся режиме. Это может быть причиной выхода из строя некоторых элементов цепи, к тому же на ЛЭП эта проблема окончательно не решена, поэтому будет актуально продемонстрировать видеосюжет.

На образовательных программах факультета автоматики и вычислительной техники НГТУ изучение рядов Фурье целесообразно связать, например, с аппроксимацией изображений. Классический формат хранения рисунков в jpeg использует ряды Фурье, и при больших степенях сжатия отбрасываются члены ряда высшего порядка, вклад которых в формирование изображения минимален. Например, демонстрация серии рисунков в формате jpeg при различных значениях параметров сжатия показывает, что чем выше уровень сжатия, тем больше данных отбрасывается и тем ниже качество, поэтому восстановить рисунок в формате jpeg обратно до последнего пикселя невозможно. Студентам образовательной программы 13.03.02 «Электроэнергетика и электротехника» следует обратить внимание на применение рядов Фурье в электротехнике. Будущему инженеруэлектротехнику понятие рядов Фурье нужно применять, например, для расчетов периодических несинусоидальных процессов. На образовательных программах факультета радиотехники и электроники НГТУ изучение рядов Фурье лучше связать с задачами вычисления спектра сигнала, который задается в виде суммы гармонических функций (синусоид или косинусоид).

57

Студентам, связанным с разработкой программного обеспечения, информационной безопасностью, робототехникой, следует говорить о том, что управление мобильным роботом осуществляется на основе теории дифференциальных уравнений, например, нетривиальные динамические эффекты (заносы на поворотах, неустойчивость прямолинейного движения и пр.) описываются нелинейными системами дифференциальных уравнений.

Еще один пример неочевидного применения в инженерной практике общеизвестных понятий связан с представлением графиков функций в логарифмическом масштабе, используемом для отображения на одном графике значений величин разных порядков. Это позволяет связать понятие логарифма, которое, как правило, плохо осваивается студентами, с задачей визуализации результатов измерений или вычислений.

Значительную роль в реализации прикладной направленности обучения математическим дисциплинам играют межпредметные связи. Например, на первом курсе факультета летательных аппаратов изучение темы «Дифференциальные уравнения» по дисциплине «Математический анализ» идет параллельно с проведением лабораторных работ по информатике, на которых студенты реализуют численные методы решения дифференциальных уравнений. В таком тандеме решение дифференциальных уравнений увязывается с созданием соответствующих программ, что позволяет продемонстрировать единство аналитических, геометрических и вычислительных методов научного исследования.

4.3. О ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ СТУДЕНТАМ ГУМАНИТАРНЫХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ

Наряду с требованием обеспечить новый уровень преподавания математики, сформулированным в Концепции развития математического образования, в высших учебных заведениях вводятся новые Федеральные государственные образовательные стандарты «ФГОС 3+», а затем и «ФГОС 3++», в которых значительно сокращается аудиторная нагрузка по всем дисциплинам.

Прежде всего следует упомянуть, что требования «ФГОС 3++» к балаквариату носят весьма общий характер. Например, для специальностей 38.03.06 «Торговое дело» и 38.03.02 «Менеджмент» компе-

58

тенции, связанные с показателями профессиональной подготовки, сформулированы следующим образом: «Способен осуществлять поиск, критический анализ и синтез информации, применять системный подход для задач. Способен определять круг задач в рамках поставленной цели и выбирать оптимальные способы их решения, исходя из действующих правовых норм, имеющихся ресурсов и ограничений»38. Связано это, по-видимому, с тем, что такая общность формулировок дает возможность непрерывного мониторинга конкретных потребностей регионального рынка труда, а также позволяет работодателям давать дополнительные рекомендации по вопросам формирования профессиональных компетенций. Однако, как правило, рабочие программы также ограничиваются общими формулировками. Например, одна из типовых рабочих программ по математике для специальности 38.03.06 «Торговое дело» предусматривает развитие у студентов способности «применять основные методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования; владения математическим аппаратом при решении профессиональных проблем»39. Поэтому основная нагрузка по адаптации курса математики к проблемам и потребностям конкретной специальности ложится на преподавателя и, соответственно, получает еще бо´льшую вариативность.

Компетенции, рассматриваемые в рабочих программах по математике на младших курсах, как, например, сформулированные выше для специальности 38.03.06, должны послужить одной из ступеней, на которых впоследствии будет основана реальная компетентность специалиста, связанная с освоением всего комплекса математических дисциплин. Это накладывает еще бо´льшую ответственность на преподавателя математики (дисциплина, как уже отмечалось, изучается на первом курсе), поскольку междисциплинарный подход используется, как правило, гораздо позже, на выпускающих кафедрах.

38Приказ № 963 от 12.08.2020 Минобрнауки России об утверждении федерального государственного образовательного стандарта высшего образования – бакалавриат по направлению подготовки 38.03.06 «Торговое дело». – URL: https://legalacts.ru/doc/prikaz-minobrnauki-rossii-ot-12082020-n-963-ob- utverzhdenii/ (дата обращения 21.06.2021).

39Там же.

59

Нужно отметить, что учебный процесс в вузе выстроен так, что лишь специальные дисциплины имеют в основе профессиональную ориентированность, а вопросам профессиональной направленности обучения дисциплинам, которые являются базовыми для подготовки специалиста и читаются на младших курсах, не уделяется должного внимания. С одной стороны, необходима профессиональная направленность обучения математическим дисциплинам, с другой стороны, для внедрения профориентации в курс математики для каждой из специальностей отсутствуют соответствующие технологии. Очевидно, что разрешить эту проблему можно, наполняя содержание математических курсов профессионально ориентированными задачами с учетом современного состояния специальности, мотивов, уровня подготовки студентов. Здесь остро встает вопрос развития мотивационной составляющей в обучении студентов, чтобы в дальнейшем у них не возникало проблем с освоением материалов, в основе своей имеющих математические законы. Это требует тщательного формирования базового курса математики с учетом конкретной специальности, чтобы показать студентам возможности, которые математика открывает перед ними в дальнейшем и в то же время, учитывая уровень подготовки, не отпугнуть их излишней сложностью. Об этом говорится и в статье Н. Г. Тактарова: «Необходим тщательный отбор материала и его умелая методическая проработка. Надо отчетливо различать математику как науку, и как преподаваемую дисциплину для «пользователей»40.

Надо признать, что создание такого курса – достаточно сложное мероприятие, особенно с учетом проблемы преподавания математики в вузе на «гуманитарных» направлениях в условиях новых образовательных стандартов и сокращения часов, выделенных на изучение дисциплины. Предлагаются варианты повышения качества освоения материала студентами на основе применения дистанционных образовательных технологий и индивидуального подхода к каждому студенту. Но такой подход опять же ограничен количеством часов и количеством студентов. Нередко в учебной группе около 30 студентов, что существенно затрудняет индивидуальный подход. Усугубляет эту ситуацию психологическая неготовность студентов к восприятию слож-

40 Тактаров Н.Г. О преподавании математики для гуманитариев // Успехи современного естествознания. – 2004. – № 1. – С. 52–54.

60