Физика. Практика решения физических задач. Учебное пособие

Ветви цепи соединены параллельно, следовательно, напряжение на конденсаторе UC равно напряжению на резисто-

ре R1, т.е. UC = UR1 = I  R1. С другой стороны, UC = E  d. Поле в конденсаторе

зависит от величины R2.

Задача  2.8. В представленной на рисунке  2.8 электрической цепи известны параметры всех ее элементов: ЭДС источника e = 16 В, внутреннее сопротивление источника r = 6 Ом, сопротивления резисторов R1 = 60 Ом и R2 = 40 Ом, емкость конденсатора C = 2200 мкФ. Найдите заряд q конденсатора.

Рисунок  2.8 – К задаче  2.8

71

Решение. В установившемся режиме работы цепи ток через резистор R2 и конденсатор не протекает. По правилам для параллельного соединения ветвей цепи напряжения на ветвях равны, т.е. UC = UR1 (рисунок  2.9).

Рисунок  2.9 – Зарядка конденсатора С до заряда q

иток I, протекающий через резистор R1

Сдругой стороны, напряжение на резисторе R1 равно: UR1 = I  R1, где I – ток, текущий в цепи. Найдем его по закону Ома:

72

Задача  2.9. В конденсатор посередине между его обкладками влетает пылинка массой m = 1 нг, несущая положительный заряд. Параметры конденсатора: длина пластин l = 15 см, расстояние между ними d = 4 см, напряженность поля E = 0,3 МВ/м. Для того чтобы пролететь через конденсатор насквозь, пылинка должна обладать скоростью, не менее v = 14 м/с. Считая систему находящейся в вакууме и пренебрегая гравитацией, определите заряд q пылинки в этих условиях.

Решение. Изобразим на рисунке  2.10 схематично движение заряженной пылинки в электрическом поле конденсатора. Выберем направление осей Ox и Oy вправо и вниз соответственно, а начало координат для удобства поместим в точке входа пылинки в конденсатор.

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

Рисунок  2.10 – Попадание пылинки в конденсатор и ее движение в поле конденсатора

Пользуясь принципом независимости движений, рассмотрим отдельно перемещения пылинки по осям Ox и Oy с течением времени. Из данных условия задачи следует, что пылинка к моменту влета в конденсатор обладает таким значением скорости v, которое позволяет ей достигнуть края одной из обкладок (в нашем случае нижней, заряженной отрицательно).

73

По оси Ox пылинка будет двигаться равномерно со ско-

→

ростью v→ = v→0x = const и к моменту времени tx пройдет вдоль этой оси путь, равный длине обкладок l конденсатора. По оси Oy пылинка будет двигаться с ускорением без начальной

→

скорости v→0y = 0 и через время ty пройдет путь, равный половине расстояния между обкладками, т.е. d / 2. С тем чтобы пылинка, участвуя одновременно в двух движениях, достигла края нижней обкладки, должно выполняться равенство времен tx и ty друг другу. Имеем

Поскольку действием силы тяжести на пылинку мы

новской силой FК = |q|  E, где E – вектор напряженности элек-

трического поля конденсатора. Проекция ускорения пылинки на ось Oy:

ay = FmК.y = q mEy = qmE.

Подставим это выражение в формулу для проекции перемещения sy = d / 2 пылинки по оси Oy:

Выразим отсюда заряд q пылинки, имея в виду, что по условию он положительный q > 0:

74

d = q E l2 , m v2

q E l2 =d m v2,

q = d m v2 . E l2

Вычислим заряд:

Задача  2.10. Колебательный контур характеризуется амплитудными значениями: тока в катушке индуктивности Im = 50 мА и напряжения на конденсаторе Um = 45 В. В некоторый момент времени t через катушку течет ток I = 18 мА. Считая контур идеальным, найдите напряжение U на конденсаторе в тот же момент времени t.

Решение. В идеальном колебательном контуре джоулевы потери энергии отсутствуют, поскольку в нем нет активного сопротивления. Поэтому при электрических колебаниях энергия электрического поля конденсатора WC переходит в энергию магнитного поля катушки WL, и наоборот. Для максимальных значений энергии

WCm = 12 C Um2 = 12 L Im2 =WLm.

Энергия контура в произвольный момент времени t с учетом записанного выше

75

12 C U(t)2 + 12 L I(t)2 = 12 C Um2 = 12 L Im2 =const.

Тогда, исходя из данных в условии задачи величин, получаем систему

Тогда искомое напряжение на конденсаторе в момент времени t:

Вычислим его значение:

2

U =45 1− 18 =45 1−0,1296 =45 0,933 =42 (В).

50

76

Задача  2.11. Расстояние d между обкладками вертикально ориентированного плоского воздушного конденсатора равно 20 см, разность потенциалов Dj на обкладках составляет 220 В. В конденсатор ровно посередине между обкладками из состояния покоя попадает пылинка массой m = 0,3 г и зарядом q = 5,6 мкКл. Далее под действием силы тяжести она падает вглубь конденсатора. Найдите расстояние h на длине одной из обкладок, отсчитываемое от начального уровня пылинки (края обкладки) до места соударения пылинки с обкладкой. Сопротивление воздуха не учитывать.

Решение. Исходя из данных условия, покажем на рисунке  2.11 конденсатор, положительно заряженную пылинку в ее начальном положении и возможную траекторию движения пылинки внутри конденсатора. Введем систему координат xOy, направив оси Ox и Oy соответственно влево и вниз.

d

Рисунок  2.11 – Перемещение заряженной пылинки под действием силы тяжести и кулоновской силы

77

На пылинку в ходе ее движения действуют две силы:

вектор ускорения свободного падения. Причем эти силы направлены перпендикулярно друг другу вдоль осей Ox и Oy. Следовательно, движение пылинки вдоль каждой из выбранных осей координат будет равноускоренным. Проекции ускорений пылинки на оси положительные: ax = a, ay = g.

Рассмотрим каждое из них независимо друг от друга. Пусть при движении по оси Ox пылинка достигает отрица-

тельно заряженной обкладки конденсатора за время tx. Имея→

в виду, что пылинка стартует из состояния покоя (v→0x = 0), за время tx она должна будет преодолеть путь sx, равный d / 2. Аналогично будем считать, что перемещение sy пылинки по оси Oy, равное искомой величине h, осуществляется ею за вре-

→

мя ty. При этом начальная скорость отсутствует: v→0y = 0. Очевидно, что в месте соударения пылинки с обкладкой конденсатора времена ее движения по осям Ox и Oy выравниваются. Следовательно, получаем следующую систему уравнений:

Определим ускорение пылинки по оси Ox. По 2-му зако-

   →    

ну Ньютона m  a→ = q  E. В проекциях на ось Ox: m  ax = q  Ex. Отсюда ax = q mEx . В свою очередь напряженность E электри-

78

ческого поля пропорциональна разности потенциалов Dj и обратно пропорциональна расстоянию d между обкладками, т.е.

E = Djd = Ex. Тогда проекция ускорения пылинки на ось Ox: ax = qmDjd =a.

Подставим это в выражение для расстояния h = 2g da , полученное выше. Тогда расстояние на длине обкладки

h= g d2 m. 2 q Dj

Произведем вычисления:

=4,77(3) 10−5 103 ≈4,77 10−2 (м)=4,77 (см).

Ответ: h = g d2 m =4,77 (см). 2 q Dj

Задача  2.12. В однородном магнитном поле с индукцией B = 0,25 Тл движется проводник длиной l = 45 см. Начальная скорость проводника v0 = 30 см/с. После перемещения проводника на расстояние s = 2 м ЭДС индукции в проводнике становится равной e = 67,5 мВ. Определите ускорение a проводника в магнитном поле, считая, что магнитное поле направлено перпендикулярно проводнику и его скорости.

Решение. Изобразим систему: движущийся проводник и окружающее его магнитное поле (рисунок  2.12). Исходя

ная скорость проводника, l – длина проводника.

79

B = const

Рисунок  2.12 – Ориентация проводника относительно внешнего магнитного поля при прохождении проводником расстояния s

Величина электродвижущей силы на концах проводника в конце его перемещения s пропорциональна мгновен-

ной скорости проводника в данный момент времени, т.е. ei =

= n  B  l  sin( Bn) = n  B  l  sina. В нашем случае a = 90°, следо-

→ →

вательно, ЭДС индукции максимальна при фиксированных значениях индукции поля, длины проводника, его скорости

ния тела с его ускорением при равноускоренном движении

a = v2 −v02 . 2 s

С учетом выражения для скорости v проводника к моменту прохождения им расстояния s, окончательно имеем для ускорения

80