Физика. Практика решения физических задач. Учебное пособие

дый из контуров вращается в одном и том же направлении, то магнитные моменты от каждой из сторон вращающейся рамки направлены по оси Ox. В проекциях на ось Ox

pm = pm(AD) + pm(AB) + pm(DC) + pm(BC).

Чтобы найти магнитный момент всей рамки, определим магнитные моменты от каждой из сторон рамки, вращающейся относительно оси AD. Сторона рамки AD проходит через ось вращения, следовательно, площадь контура S, образованного вращением зарядов на этой стороне относительно оси вращения, равна нулю. Таким образом, магнитный момент стороны AD рамки отсутствует: pm(AD) = 0.

Выделим на стороне AB рамки бесконечно малый элемент длины dx, находящийся на расстоянии x от оси вращения рамки. На этот элемент приходится элементарный заряд dq = t   dx, где t – заряд, приходящийся на единицу длины. Электрический ток I, возникающий при вращении заряда dq, равен отношению этого заряда к периоду T его обращения по окружности радиусом x:

I = T1 dq = 2wpdq = 2w ptdx.

Элементарный магнитный момент, создаваемый этим током I, равен

dpm = 2w ptdx S = 2w ptdx p x2 = w2t x2dx,

где S = p   x2 – площадь контура (витка), образованного вращением заряда dq по окружности радиусом x. Магнитный момент, создаваемый всей стороной AB рамки:

61

В силу симметрии сторон AB и DC рамки относительно оси вращения аналогичные рассуждения будут справедливы и для отыскания магнитного момента от стороны DC рамки, т.е.

pm(DC) = 16 w t l3.

Все элементы dx, принадлежащие стороне BC рамки, расположены на одинаковых расстояниях l от оси вращения, следовательно, вращаются по окружностям радиуса l. Заряд стороны BC равен qBC = t   l. Ток I, обусловленный вращением заряда qBC, равен отношению этого заряда к периоду T его обращения по окружности радиусом l:

I = T1 qBC = 2wp qBC = w2 tpl.

Магнитный момент, создаваемый всей стороной BC рамки:

pm(BC) = w2 tpl S = w2 tpl p l2 = 12 w t l3.

Искомый магнитный момент рамки

pm = 16 w tl3 + 16 w tl3 + 12 w tl3 =

=w tl3 1 + 1 = 5 w tl3.

3 2 6

Ответ: pm = 56 w t l3; pm ↑↑w.

Задача  2.3. К одной и той же аккумуляторной батарее подключаются независимо друг от друга сначала резистор R1 = 4 Ом, затем резистор R2 = 16 Ом. Мощности, выделяе-

62

мые в этих сопротивлениях, равны. Найдите внутреннее сопротивление r аккумуляторной батареи.

Решение. Покажем схемы электрической цепи в двух случаях (1 и 2) (рисунок  2.3).

Рисунок  2.3 – Схемы цепи: с нагрузочным резистором R1 (а); с нагрузочным резистором R2 (б)

Токи I в цепях определим по закону Ома:

I1 = R1e+r ; I2 = R2e+r .

Мощности P, выделяемые на резисторах R1 и R2:

По условию задачи P1 = P2, т.е.

63

(R1 +r)2 R2 =(R2 +r)2 R1,

(R12 +2 R1 r +r2 ) R2 =(R22 +2 R2 r +r2 ) R1,

R12 R2 +2 R1 r R2 +r2 R2 = R22 R1 +2 R2 r R1 +r2 R1,

R12 R2 −R22 R1 =r2 R1 −r2 R2,

R1 R2 (R1 −R2 )=r2 (R1 −R2 ),

R1 R2 =r2,

r = R1 R2 .

Рассчитаем внутреннее сопротивление батареи:

r = R1 R2 = 4 16 = 64 =8 (Ом).

Ответ: r = R1 R2 =8 (Ом).

Задача  2.4. По столу со скоростью v = 4 м/с движется равномерно медный кубик с ребром a = 30 см. Кубик касается поверхности стола одной из своих граней. Система находится в магнитном поле с индукцией B = 90 мТл. Поле ориентировано перпендикулярно скорости кубика и вдоль поверхности стола. Определите модуль напряжения |U| между центральной точкой куба и одной из его вершин, а также напряженность E электрического поля, возникающего внутри металла.

Решение. Сделаем рисунок  2.4, иллюстрирующий движение кубика по столу во внешнем магнитном поле.

На носители заряда внутри металла кубика действуют силы Лоренца со стороны магнитного поля. Причем силы Лоренца двигают положительные заряды к верхней грани, а отрицательные заряды – к нижней грани кубика. В резуль-

64

тате перераспределения зарядов внутри кубика возникает

→

электрическое поле E, направленное от верхней грани кубика к нижней грани, и разность потенциалов U между этими гранями.

FЛ.

а EО

FЛ.

А

Рисунок  2.4 – Возникновение электрического поля внутри кубика при его перемещении во внешнем магнитном поле

В некоторый момент времени наступает равновесие носителей заряда, обусловленное равенством действующих

→ →

на них силы Лоренца FЛ и силы Кулона FК, а именно: FЛ = = |e|   v   B = |e|   E = FК. Отсюда напряженность возникающего электрического поля в меди: E = v   B.

Точки кубика в рамках плоскостей, параллельных горизонтальной поверхности стола, являются эквипотенциальными (имеют равный потенциал). Примем, что потенциал точек нижней грани кубика, касающихся стола, в частности, точки A в вершине кубика, равен нулю: jA = 0. Плоскость, проходящая параллельно столу через центр кубика (точку O), находится на расстоянии x = a / 2 от нижней грани. Поэтому потенциал точки O этой плоскости, равен jO = E  x = E  (a / 2).

Следовательно, модуль искомого напряжения между точками O и A:

U = jO −jA = E 2a = v B2 a.

65

Вычисляем напряженность

E =4 90 10−3 =360 10−3 (Вм)=0,36 (Вм);

Задача  2.5. В плоском горизонтальном конденсаторе напряженность поля E = 4,4 кВ/м. Внутри него находится капля ртути радиусом r = 2 мкм в состоянии равновесия. Найдите заряд q ртутной капли.

→

Решение. Конденсатор, его электрическое поле E и капля ртути в нем показаны на чертеже (рисунок  2.5). Возможны два случая: а) заряд капли положителен; б) заряд капли отрицателен.

Рисунок  2.5 – Возможные положения конденсатора и ориентации электрического поля

внем: а – при положительно заряженной капле;

б– при отрицательно заряженной капле внутри

конденсатора

Рассмотрим подробно один из вариантов, например (а) равновесие капли означает, что равнодействующая сил, дей-

66

ствующих на каплю, равна нулю, т.е. выполняется условие

но, пренебречь силой тяжести, приложенной к капле, нель-

на выбранную ось Ox: q  E – m  g = 0, откуда заряд капли: q = = (m  g) / E. Поскольку заряженная капля ртути имеет форму однородного шара с радиусом r, то масса капли:

m =rV =rрт 34 pr3,

где rрт = 13 600 кг/м3 – плотность ртути. Окончательно для заряда капли имеем:

=1015 10−18 (Кл)≈10−15 (Кл)=1 (фКл).

Вслучае (б) рассуждения аналогичные, величина заряда капли такая же, как и в случае (а), только со знаком «–», т.е.

q = −4pr3 rрт g = −1(фКл). 3 E

Ответ: q =± 4pr3 rрт g =±1 (фКл). 3 E

Задача  2.6. Неподвижный замкнутый проводящий контур, обладающий активным сопротивлением R, находит-

67

ся в переменном магнитном поле. При этом поток вектора магнитной индукции, пронизывающий контур, меняется во времени по закону F(t) = a   t   (t – t), где a и t – некоторые положительные постоянные. Считая коэффициент самоиндукции контура пренебрежимо малым, определите количество теплоты, выделяемое в контуре в течение времени t.

Решение. По закону Фарадея–Максвелла электродвижущая сила, индуцируемая в контуре, равна со знаком минус скорости изменения магнитного потока, пронизывающего контур:

ei = −ddtF = −dtd (a t (t−t))= −dtd (a t t −a t2 )= = −(a t−2 a t)=2 a t −a t=a (2 t −t).

Индукционный ток, протекающий в контуре, в соответствии с законом Ома

В форме записи закона Ома для полной цепи в роли r выступает внутреннее сопротивление источника ЭДС. В нашем случае в роли источника выступает индукционная ЭДС, поэтому внутреннее сопротивление источника ЭДС r = 0 и закон Ома можно записать в форме для участка цепи.

Активная мощность, выделяемая в контуре при протекании индукционного тока, равна:

Видно, что мощность Pi является функцией времени t. Поэтому для нахождения энергии, равной искомому количеству теплоты, выделяемому в контуре за время t, нужно про-

68

интегрировать функцию мощности Pi(t) по времени t. Элементарная теплота, выделяемая в контуре за время dt:

Винтервалевремени(0…t)вконтуревыделяетсяэнергия:

В задаче требуется определить теплоту в контуре за интервал времени (0…t). Для этого подставим в последнее выражение для Q время t вместо величины t:

Ответ: Q = a2 t3 . 3 R

Задача  2.7. Электрическая цепь, представленная на рисунке  2.6, имеет следующие параметры: ЭДС источника e = 12 В, внутреннее сопротивление источника r = 18 Ом, сопротивления резисторов R1 = 100 Ом, R2 = 80 Ом. Обкладки конденсатора находятся на расстоянии d = 1 см друг от друга. Найдите напряженность E электрического поля в конденсаторе.

69

r

R2

C

R1

Рисунок  2.6 – К задаче  2.7

Решение. Конденсатор для постоянного тока – разрыв цепи. Поэтому ток через ветвь цепи, включающую резистор R2 и емкость C, не течет. Ток идет только в ветви с резистором R1 (рисунок  2.7)

Рисунок  2.7 – Ток в цепи и электрическое поле внутри конденсатора

По закону Ома этот ток равен:

70