Физика. Практика решения физических задач. Учебное пособие

Брусок покоится на плоскости, если Fтр.пок ≤ Fтр.ск, т.е. когда угол a ≤ arctg(m). Брусок соскальзывает с плоскости,

если Fтр.пок > Fтр.ск, когда a > arctg(m). Максимальная сила трения будет при «критическом» угле трения a = arctg(m). Ее

значение можно найти по любой из формул:

Fтр.покmax =m g sin(arctg(μ)) или

Fтр.скmax =μ m g cos(arctg(μ)).

Воспользуемся, например, первой формулой. Так как m = tga и поскольку

1+ tg12a = sin12 a,

то имеем

Поэтому искомая максимальная сила трения

Задача  1.12. Орудийный снаряд, вышедший из ствола вертикально вверх, разрывается на некоторой высоте в верх-

31

ней точке траектории на три осколка. Первый имеет массу m1 = 1 кг и движется горизонтально со скоростью v1 = 400 м/с; второй массой m2 = 1,5 кг продолжает движение вертикально вверх со скоростью v2 = 200 м/с; третий обладает массой m3 = = 2 кг. Определите модуль скорости v3 третьего осколка и направление вектора v3 относительно горизонтали.

Решение. Сделаем чертеж снаряда, иллюстрирующий нахождение снаряда в момент разрыва в воздухе. Введем также систему координат xOy (рисунок  1.14).

Рисунок  1.14 – Разрыв снаряда на три осколка в верхней точке траектории с указанием векторов скоростей осколков

РазрывснарядавызвандействиемвнутреннихсилFвнутр внутри него. Эти силы многократно превышают действие на систему внешних сил Fвнешн, которыми являются суммарная сила тяжести осколков и сила сопротивления воздуха: Fвнутр >> Fвнешн = Sm   g + Fсопр. Это означает, что система

32

«три осколка» замкнутая и для нее выполняется закон сохранения импульса (ЗСИ). Запишем его в векторном виде:

pнач =(m1 +m2 +m3 ) v =m1 v1 +m2 v2 +m3 v3 = pкон.

→

Начальный импульс системы p→нач = 0, так как скорость снаряда в верхней точке отсутствует. Следовательно, ЗСИ можно переписать в виде:

0=m1v1 +m2v2 +m3v3.

Сучетом заданных по условию задачи направлений движения осколков после разрыва снаряда, спроецируем ЗСИ на координатные оси Ox и Oy:

Ox:0 = −m1 v1 +0 +m3 v3x;

Oy:0 =0 −m2 v2 +m3 v3y.

Тангенс угла a наклона вектора v→3 относительно оси Ox и сам угол a:

33

Вычисления:

v3 = 12 (1 400)2 +(1,5 200)2 = 12 4002 +3002 = = 12 52 104 =250 (мс);

Задача  1.13. Два соприкасающихся между собой бруска 1 (массой m1 = 0,5 кг) и 2 (массой m2 = 0,8 кг) помещены на наклонную плоскость с углом a = 60° к горизонту. Коэффициенты трения между плоскостью и брусками соответственно равны m1 = 0,3 и m2 = 0,2. Определите силу взаимодействия Fвз брусковмеждусобойприихдвиженииинаименьшийуголamin, при котором начинается скольжение брусков по плоскости.

Решение. Сделаем чертеж наклонной плоскости с брусками 1 и 2, покажем на нем силы, действующие на каждый из

34

N2

m1g

Рисунок  1.15 – Взаимодействие брусков друг с другом в процессе движения по наклонной плоскости

Запишем уравнения движения тел в проекциях на выбранные оси Ox и Oy:

Ox:m1 g sina+ F12 −Fтр.1 =m1 a1x;

Ox:m2 g sina−F21 −Fтр.2 =m2 a2x;

Oy: N1 −m1 g cosa =m1 a1y;

Oy: N2 −m2 g cosa =m2 a2y.

Проекции ускорения тел по оси Ox равны a1x = a2x = a, так как бруски соприкасаются между собой в процессе движения, проекции ускорения тел по оси Oy равны нулю a1y = a2y = 0 (движения брусков вдоль оси Oy нет). Следовательно:

Ox:m1 g sina+ Fвз −Fтр.1 =m1 a;

Ox:m2 g sina−Fвз −Fтр.2 =m2 a;

Oy: N1 −m1 g cosa =0;

Oy: N2 −m2 g cosa =0.

35

В данной задаче силы трения являются силами трения скольжения. По закону Амонтона-Кулона модули сил трения:

Fтр.1 =μ1 N1 =μ1 m1 g cosa,

Fтр.2 =μ2 N2 =μ2 m2 g cosa.

С учетом сил трения скольжения:

Скольжение тел будет при условии, когда суммарная сила трения покоя, действующая на бруски, будет равна или превысит суммарную силу трения скольжения, действующую на бруски, т.е.

36

Fтр.пок.1 + Fтр.пок.2 ≥ Fтр.ск.1 + Fтр.ск.2,

m1 g sina+m2 g sina ≥μ1 m1 g cosa+μ2 m2 g cosa, g sina (m1 +m2 )≥ g cosa (μ1m1 +μ2 m2 ),

Тогда минимальный угол начала скольжения

37

Задача  1.14. На экспериментальном горизонтальном столе лежит доска массой M = 1 кг. Сверху на доске находится брусок массой m = 2 кг. Коэффициенты трения: между доской и бруском m1 = 0,25; между столом и доской m2 = 0,5. Определите минимальное значение горизонтальной силы F, которую нужно приложить к доске, чтобы добиться ее выскальзывания из-под бруска. При каком условии доска будет выскальзывать из-под бруска? Ответ округлить до десятых.

Решение. Приведем рисунок  1.16 с указанием стола и расположенных на нем доски и бруска. Укажем все силы, действующие на доску и на брусок в горизонтальном направ-

закону Ньютона: Fтр = –Fтр.1. Вертикально ориентированные

силы тяжести и реакций не показаны, так как тела системы не ускоряются по вертикали.

Рисунок  1.16 – Брусок и доска на горизонтальном столе

Важно понимать, что в данном случае рассматривается не статический, а динамический случай. При этом все силы трения, действующие в системе, есть силы трения скольжения, определяемые по закону Амонтона–Кулона:

Запишем уравнения динамики поступательного движения тел системы:

38

Отсюдаускорениябрускаидоскисоответственноравны

aбр =μ1 g;

aд = F −μ1 m g −μ2 (M +m) g . M

Если ускорение доски aд превысит ускорение бруска aбр, то доска выскользнет из-под бруска, т.е. условие выскальзывания доски: aд > aбр. Отсюда можно получить и условие на величину внешней силы F:

F −μ1 m g −μ2 (M +m) g >μ1 M g,

F >μ1 M g +μ1 m g +μ2 (M +m) g,

F >μ1 (M +m) g +μ2 (M +m) g,

F >(μ1 +μ2 ) (M +m) g.

Минимальное значение силы F, при котором можно добиться выскальзывания доски из-под бруска, равно Fmin = (m1 + m2)   (M + m)   g. Понятно, что это же условие будет выполняться и при силах F > Fmin.

Вычисления: Fmin = (0,25 + 0,5)   (1 + 2)   9,8 = 22,05 (Н). Ответ: минимальная сила Fmin = (m1 + m2)   (M + m)   g = = 22,05 (Н), условие выскальзывания доски из-под бруска

aд > aбр.

39

Задача  1.15. Некоторое тело участвует в равноускоренном движении без начальной скорости. Первый метр своего пути тело преодолевает за время t1 = 7 c. Определите время t, за которое данное тело пройдет девятый метр своего пути.

Решение. В условиях равноускоренного движения без

→ →

начальной скорости: a→ = const и v→0 = 0. Зависимость перемещения тела от времени при равноускоренном движении в общем виде:

s(t)=s0 +v0 t + a2t2 .

В нашем случае s0 = 0 и v0 = 0, стало быть, перемещение тела s = a2t2 .

Введем следующие обозначения: s1 – 1-й метр пути, проходимого телом от начального положения s0 = 0 м (0 м <s1 <1 м); t1 – время прохождения телом пути s1; sn = n   s1 – n-й метр пути, проходимого телом от конца (n – 1)-го метра до начала (n + 1)-го метра, у нас n = 9 (8 м < sn < 9 м); t = tn – tn – 1 – время прохождения пути, соответствующего n-му метру. В последнем обозначении под tn понимается время от начала движения до конца n-го метра пути (n метров пути), а под tn – 1 – время от начала движения до конца (n – 1)-го метра пути соответственно.

=t1 (n −n −1).

40