Физика. Практика решения физических задач. Учебное пособие

Количества вещества не равны (n1 ≠ n2) в силу того, что m1 ≠ m2. Воспользуемся уравнением Менделеева–Клапейро- на для начального и конечного состояний газа. Получим:

Таким образом, U1 = 8   U2, U2 < U1.

Ответ: внутренняя энергия газа уменьшилась в 8 раз.

Задача  1.21. В цилиндре под массивным поршнем находится одноатомный газ, расширяющийся при постоянном давлении. В результате расширения газом была совершена работа A = 360 Дж. Найдите количество теплоты Q, сообщенное газу извне в процессе расширения.

Решение. По 1-му закону термодинамики теплота Q, полученная газом от внешней среды, идет на изменение DU внутренней энергии газа и на совершение газом работы Aг, т.е. Q = DU + Aг. Изменение внутренней энергии газа

DU = 2i ν R DT, где i – число степеней свободы молекул газа;

n – количество вещества; R = 8,314 (Дж / (моль   К)) – универсальная газовая постоянная; DT – изменение температуры газа; в нашем случае работа газа Aг = A. С учетом уравнения состояния p  V = n  R  T для внутренней энергии газа получаем

51

Произведем расчеты:

Q=360 3 +1 =360 2,5 =900 (Дж).

2

Задача  1.22. Идеальный газ расширяется в соответствии с законом p2  V = const, где p – давление газа, V – его объем. Определить характер изменения температуры газа в данном процессе (нагревается или охлаждается газ). Найти теплоемкость C одного моля газа в таком процессе.

Решение. Определим полные дифференциалы от обеих частей уравнения процесса:

d(p2 V )=d(const),

2 p V dp + p2 dV =0,

2 V dp + p dV =0,

2 V dp = −p dV.

Разделяя переменные, получаем соотношение p2  V = = const в приращениях давления dp и объема dV:

2 dpp = −dVV .

С другой стороны, справедливо уравнение состояния идеального газа p  V = n  R  T или при неизменной массе газа

pTV =νR =const.

52

Также продифференцируем обе части получившегося уравнения (универсального газового закона):

d p V =d(const),T

(p V )′ T − p V T′ =0,

T2

(V dp + p dV ) T − p V dT =0,

(V dp + p dV ) T = p V dT.

Разделим переменные, чтобы получить уравнение Мен­ делеева–Клапейрона p  V = n  R  T в приращениях давления dp, объема dV и температуры dT:

V dp + p dV = dT ,

p V T

dpp + dVV = dTT .

В результате получаем систему двух уравнений:

53

Определена связь между приращениями объема dV и

температуры dT: 12 dVV = dTT . При расширении газа в процес-

се изменение объема больше нуля: dV > 0, следовательно, из последнего соотношения следует, что температура газа увеличивается, т.е. dT > 0. Поэтому газ при расширении в процессе p2  V = const нагревается.

Для установления более точной связи между объемом и температурой газа для рассматриваемого процесса проин-

тегрируем обе части уравнения dVV =2 dTT :

∫dVV =2 ∫dTT ;

lnV =2 lnT;

lnV =ln(T2 );

V ~T2 или T ~ V.

Таким образом, в процессе p2   V = const объем газа пропорционален квадрату температуры.

Чтобы найти молярную теплоемкость идеального газа в данном по условию задачи процессе, преобразуем уравнение процесса к следующему виду:

p2 V =const1,

p2 V = const1 ,

p V12 =const2.

Имеем уравнение типа p   Vn = const, которое является уравнением политропы идеального газа в системе p–V, а сам

54

процесс, происходящий при этом над газом, называется по-

литропным. Здесь показатель политропы n = C −Cp , C – те-

C −CV

плоемкость газа в политропном процессе, Cp и CV – изобарная и изохорная теплоемкости газа. При таком процессе газ, помимо уравнения состояния, подчиняется дополнительному условию: теплоемкость газа в таком процессе постоянная, т.е. C = const.

В нашем случае имеется политропный процесс с показателем политропы n = 1 / 2. Найдем молярную теплоемкость политропного процесса. Получим:

C −Cp =n (C −CV ),

C −Cp =n C −n CV ,

C −n C =Cp −n CV ,

C (1−n)=Cp −n CV ,

C = Cp −n CV . 1−n

Молярные изобарная и изохорная теплоемкости газа:

Cp = i +22 R, CV = 2i R,

где i – число степеней свободы молекул газа, R – универсальная газовая постоянная. Подставим их в выражение для теплоемкости C:

55

С учетом того, что n = 1 / 2, получим:

= 2i R +2 R =CV +2 R =CV +R +R =Cp +R.

Ответ: при расширении газа (dV > 0) его температура повышается (dT > 0); теплоемкость одного моля газа

56

2  Электричествоимагнетизм.Оптика

Задача  2.1. Электроны, ускоренные электрическим полем с разностью потенциалов U0 = 900 В, влетают в плоский конденсатор параллельно его обкладкам строго посередине между ними. При этом длина обкладок конденсатора l = 9 см, а расстояние между ними d = 3 см. Найдите наименьшее напряжение U на обкладках конденсатора, при котором электроны не будут вылетать из него.

Решение. Рассмотрим на рисунке  2.1 подробно движение одного электрона в ускоряющем поле и внутри конденсатора, имея в виду, что он влетает в него на равном расстоянии от каждой обкладки. Движение других электронов будет аналогичным.

Рисунок  2.1 – Электрон в электрическом поле конденсатора

Введем систему координат xOy, выбрав начало отсчета

вточке влета электрона в конденсатор. Движение частицы

вконденсаторе будет складываться из равномерного движе-

→

ния по оси Ox со скоростью v→ = v→0x = const и равноускоренно-

→

го движения по оси Oy без начальной скорости v→0y = 0. Условиями «невылета» электронов из конденсатора

можно считать следующие: 1) прохождение пути по оси Ox, равного длине обкладок l, за время tx; 2) прохождение пути

57

по оси Oy, равного половине расстояния между обкладками, т.е. d / 2, за время ty; 3) равенство времен tx и ty прохождения частицей путей l и d / 2. Запишем эти условия из анализа кинематики движений:

Найдем начальную скорость v0x, с которой электрон влетает в конденсатор вдоль оси Ox, и ускорение a, с которым он движется в конденсаторе вдоль оси Oy. Потенциальная энергия поля, ускоряющего электрон, равна кинетической энергии электрона:

e U0 = 12 me v02x,

откуда начальная скорость частицы

где |e| и me – модуль заряда и масса электрона.

Ускорение a электрон приобретает под действием кулоновской силы

FК = e E,

→

где E– вектор напряженности электрического поля конденсатора.

58

циях на ось Oy: |e|   E = me   a, т.е. ускорение a = (|e|   E) / me. С учетом связи E = U / d напряженности поля конденсатора

E с напряжением конденсатора U имеем для ускорения электрона a = (|e|   U) / (me   d). Подставим v0x и a в равенство tx = ty:

U = 2 U0 d2 . l2

Напряжение на обкладках конденсатора

Задача  2.2. Непроводящая квадратная рамка ABCD со стороной l равномерно заряжена. При этом линейная плотность заряда рамки равна t. Рамка вращается вокруг одной из своих сторон AD с постоянной угловой скоростью w. Определите магнитный момент рамки.

Решение. Как известно, движущиеся электрические заряды создают в окружающем их пространстве магнитное поле. В данном случае магнитное поле порождается вращением распределенных по периметру зарядов относительно оси вращения, проходящей через сторону рамки AD.

59

Рисунок  2.2 – Равномерно вращающаяся заряженная рамка ABCD

Магнитный момент контура по определению:

pm = I S n,

где I – ток в контуре, S – площадь контура, n→ – вектор нормали к плоскости контура.

В нашей задаче контурами являются окружности радиусом l с центрами в точках, лежащих на оси вращения AD.

Искомый магнитный момент p→m рамки складывается из магнитных моментов, создаваемых каждой из сторон вращающейся рамки, т.е.

pm = pm(AD) + pm(AB) + pm(DC) + pm(BC).

Поскольку нормали к соответствующим плоскостям контуров направлены вдоль оси вращения AD рамки и каж-

60