Управление производством. Сетевое планирование. Учебное пособие
.pdf5. ВЕРОЯТНОСТНАЯ ВРЕМЕННÁЯ МОДЕЛЬ ТИПА «РАБОТЫ-ВЕРШИНЫ»1
5.1.Порядок построения сетевых графиков
вмодели «работы-вершины»
Вданной модели работы изображаются в виде кружков, связи – в виде стрелок. Связями называются ограничения, налагаемые одними работами на возможность выполнения других. Из этого определения следует, что ни одна работа не может быть начата до окончания всех предшествующих ей работ. При построении графиков должны быть соблюдены все формальные правила, рассмотренные в п. 2.1.
Рассмотрим порядок построения сетевого графика типа «работы- вершины» на примере комплекса работ по проведению научного ис- следования (табл. 5.1).
Таблица 5.1
Информация о работах, выполняемых при проведении научного исследования
№ |
Содержание работ |
№ предше- |
Времен- |
Количе- |
|
ра- |
|
ствующей |
ные оцен- |
ство ис- |
|
боты |
|
работы |
ки, недели |
полните- |
|
|
|
|
a |
b |
лей, чел. |
1 |
Разработка методики исследования |
– |
1 |
3 |
2 |
2 |
Проведение опытных плавок и |
1 |
3 |
4 |
2 |
|
подготовка образцов |
|
|
|
|
3 |
Изготовление и отладка экспери- |
1 |
3 |
7 |
2 |
|
ментальной установки |
|
|
|
|
4 |
Составление технико- |
1 |
2 |
3 |
1 |
|
экономического обоснования |
|
|
|
|
|
(ТЭО) |
|
|
|
|
5 |
Определение экономической |
4 |
2 |
3 |
1 |
|
эффективности исследования |
|
|
|
|
6 |
Проведение экспериментов по |
2,3 |
2 |
5 |
1 |
|
диффузии на опытной установке |
|
|
|
|
7 |
Металлографическое исследова- |
2 |
4 |
5 |
2 |
|
ние исходных образцов (структу- |
|
|
|
|
|
ра, твердость, неметаллические |
|
|
|
|
|
включения и т. д.) |
|
|
|
|
––––––––
1 В основу данного раздела положены материалы из работы: Сафонов В.Л., Мас- ленников Ю.М. Организация и планирование научно-исследовательских работ: Учеб. пособие по выполнению дипломных научно-исследовательских работ. М.:
МИСиС, 1980. 64 с.
31
Окончание табл. 5.1
№ |
|
№ предше- |
Времен- |
Количе- |
||
ра- |
Содержание работ |
ствующей |
ные оцен- |
ство ис- |
||
боты |
работы |
ки, недели |
полните- |
|||
|
||||||
|
|
|
|
|
лей, чел. |
|
8 |
Металлофизическое исследова- |
6,7 |
1 |
3 |
2 |
|
|
ние образцов (электронное мик- |
|
|
|
|
|
|
розондирование, масс- |
|
|
|
|
|
|
спектрометрия, измерение пара- |
|
|
|
|
|
|
метров решетки и т. п.) |
|
|
|
|
|
9 |
Оформление отчета |
5, 6, 8 |
1 |
3 |
4 |
|
Вмодели «работы-вершины» используются привычные для ис- полнителей понятия: работы и их технологическая последователь- ность, что очень удобно при составлении и анализе сетевых графи- ков, так как не приходится определять события, что бывает трудно сделать, если событие означает окончание более чем одной работы.
Вэтой модели проще осуществляется кодирование, так как коди- руются непосредственно работы в таблице еще до составления сети.
Вмодели «работы-дуги» код каждой работы определяется кодами начального и конечного события.
Значительным преимуществом модели «работы-вершины» явля- ется отсутствие в ней фиктивных работ нулевой продолжительности, что сокращает количество необходимых расчетов при анализе.
На рис. 5.1 изображен сетевой график, построенный в соответст- вии с данными табл. 5.1, и приведена схема записи исходных данных и расчетных параметров работ.
Рис. 5.1. Сетевой график выполнения научного исследования
32
5.2. Методы расчета основных параметров сети
Основные параметры, определяемые при анализе сетевых графи- ков на основании фиксированных временных оценках выполнения работ, представляющих собой средние значения их продолжительно- сти, аналогичны параметрам детерминированной сетевой модели. К ним относятся: наиболее ранний срок начала работы, наиболее позд- ний срок окончания работ, полный резерв времени, критический путь.
Наиболее ранний срок начала работ Tjp рассчитывается по фор-
муле
Tjp = max (Tip + ti ), |
(5.1) |
где Tip – наиболее ранний срок начала предшествующих работ, при
этом сеть просматривается слева направо, в результате чего ранние сроки начала всех предшествующих работ оказываются вычислен-
ными (T1p = 0).
Если к наиболее раннему сроку начала каждой работы Aj (j = 1, 2, ... п) прибавить ее продолжительность, то будет получен наиболее ранний срок окончания этой работы. Максимальная из этих величин опреде- лит продолжительность всей разработки, т.е. критическое время
tкр = max (Tjp + t j ). |
(5.2) |
Если работа Аj лежит на критическом пути, то наиболее ранний и наиболее поздний сроки ее окончания совпадают.
Наиболее поздний срок Tjп окончания работы Aj можно опреде-
лить как разность между величиной критического времени tкр и дли-
ной максимального пути от конца разработки до работы Aj. Если просматривать сеть справа налево, т.е. так, что при вычислении наи- более позднего срока окончания работы Аi поздние сроки окончания всех последующих работ будут уже вычислены, то расчетная форму- ла примет вид
Tiп = min (Tjп − t j ). |
(5.3) |
33
Определив ранние сроки начала работ и поздние сроки их окон-
чания, получим интервал времени (Tjп − Tjp ), в котором должна вы-
полняться каждая работа Aj. Продолжительность tj выполнения рабо- ты всегда меньше или равна длине этого интервала. Величина резер- ва времени Rj для каждой работы вычисляется по формуле
|
|
Rj = (Tjп − Tjp )− t j . |
|
|
(5.4) |
|
Если Rj |
= 0 , Rj |
= 0 , … Rj |
= 0 и работы A j |
,A j |
...,A j |
связаны |
1 |
2 |
m |
1 |
|
2 |
m |
между собой, то они составляют критический путь разработки.
В сетевых графиках всегда есть один или несколько критических путей, работы которых являются наиболее напряженными. Любое увеличение продолжительности этих работ соответственно увеличи- вает срок окончания всей разработки, поэтому ясно, какое значение имеет возможность выделить такие работы и сосредоточить на них внимание.
Кроме критических, в сетевых графиках выделяются подкритиче- ские пути, отличающиеся по длине от критических не более, чем на заданную небольшую величину δ . Полный резерв времени недоста- точно отражает меру критичности работ. Работы могут обладать одинаковым резервом, но если при этом он распространен на участ- ках различной длины, то напряженность выполнения работ будет неодинаковая. Для характеристики напряженности выполнения каж- дой работы вводится коэффициент напряженности К, для вычисле- ния которого нужно найти путь максимальной длины, проходящий через данную работу, и критический путь. Работы, общие для этих двух путей, исключаются, и отношение оставшихся несовпадающих участков путей принимается за коэффициент напряженности:
K = L′ |
/ t′ . |
(5.5) |
j |
кр |
|
Результаты расчета параметров сетевого графика для рассматри- ваемого примера приведены на рис. 5.2.
34
Рис. 5.2. Сетевой график выполнения научного исследования с вычисленными параметрами
5.3. Вероятностные характеристики сетевых графиков
Впредыдущем параграфе анализ сетевых графиков осуществлял- ся при фиксированных временных оценках выполнения работ, пред- ставляющих собой средние значения их продолжительности.
Вдействительности продолжительность выполнения каждой ра- боты – случайная величина, распределенная в интервале (а, b), сле- довательно, реальные работы будут выполняться не точно за время,
равное среднему значению М (t ) = 3a + 2b , а быстрее или медленнее.
5
Степень рассеивания продолжительности работ около их средних значений учитывается с помощью подсчета дисперсий этих величин. Для частного случая бета-распределения дисперсия определяется через временные оценки по формуле
σ2 (t ) = 0,04 (b − a)2 . |
(5.5) |
Ранние сроки начала работ также являются случайными величи-
нами, дисперсия которых σ2 (T p ) зависит от рассеивания продолжи-
тельности предшествующих работ. Для начальных работ сети |
|
σ2 |
(T p ) = 0 . Если принять длины различных путей сетевого графика, |
|
35 |
предшествующих данной работе, за независимые случайные величи-
ны, то σ2 (T p ) определяется по правилу сложения дисперсий
σ2 (Tjp ) = σ2 (T1p )+ σ2 (t1 ), |
(5.6) |
где σ2 (T1p )и σ2 (t1 ) – вычисленные на предыдущем шаге значения
дисперсий для работы Аi, предшествующей данной работе и принад- лежащей пути максимальной длины, проходящему через работу Aj.
Из формулы (5.6) следует, что дисперсия срока окончания выпол- нения работ критического пути равна
m |
(t jк |
). |
|
σ2 (tкр ) = ∑σ2 |
(5.7) |
||
k =1 |
|
|
|
Покажем, как вычислить вероятность выполнения разработки в запланированный срок.
Длина критического пути, являющаяся случайной величиной, распределенной по нормальному закону, полностью характеризуется математическим ожиданием и дисперсией. Длина критического пути распределена на отрезке (а, в)
m |
m |
a = ∑ajк |
; в = ∑bjк . |
k =1 |
k =1 |
Если задан определенный (директивный) срок t выполнения ком- плекса работ, то возникает необходимость оценки вероятности окон- чания работ в заданный срок. Эту вероятность (Р) аналитически можно представить как вероятность попадания случайной величины
tкр на отрезок (а, t)
Р (а ≤ tкр ≤ t ) = f
|
|
|
t − tкр |
− |
|
|
|
|
|
|
|
σ2 (tкр ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а − tкр |
(5.8) |
|
f |
|
. |
|
|
|||
|
σ2 (tкр ) |
|
|
|
|
|
|
Функции, стоящие в формуле (5.8) справа, определяются по таб- личным данным (табл. 5.2).
В процессе выполнения комплекса работ критический путь может не все время проходить через те работы, которые находятся на нем при первоначальном анализе, так как часто возникает необходимость
36
выполнения дополнительных или исключения каких-то работ. Кроме того, некоторые работы подкритических путей могут стать критиче- скими. В силу этого необходимо периодически пересматривать сете- вой график, производить расчет новых критических путей и вероят- ности выполнения работы в срок.
Таблица 5.2
Значения нормальной функции распределения вероятностей Р = f(Z)
Z |
Р |
Z |
Р |
0,0 |
0,5000 |
–3 |
0,0013 |
0,1 |
0,5398 |
–2,9 |
0,0019 |
0,2 |
0,5793 |
–2,8 |
0,0026 |
0,3 |
0,6179 |
–2,7 |
0,0035 |
0,4 |
0,6554 |
–2,6 |
0,0047 |
0,5 |
0,6915 |
–2,5 |
0,0062 |
0,6 |
0,7257 |
–2,4 |
0,0082 |
0,7 |
0,7580 |
–2,3 |
0,0107 |
0,8 |
0,7881 |
–2,2 |
0,0139 |
0,9 |
0,8159 |
–2,1 |
0,0179 |
1,0 |
0,8413 |
–2 |
0,0228 |
1,1 |
0,8643 |
–1,9 |
0,0287 |
1,2 |
0,8849 |
–1,8 |
0,0359 |
1,3 |
0,9032 |
–1,7 |
0,0446 |
1,4 |
0,9192 |
–1,6 |
0,0548 |
1,5 |
0,9332 |
–1,5 |
0,0668 |
1,6 |
0,9452 |
–1,4 |
0,0808 |
1,7 |
0,9554 |
–1,3 |
0,0968 |
1,8 |
0,9641 |
–1,2 |
0,1151 |
1,9 |
0,9713 |
–1,1 |
0,1357 |
2 |
0,9772 |
–1 |
0,1587 |
2,1 |
0,9821 |
–0,9 |
0,1841 |
2,2 |
0,9861 |
–0,8 |
0,2119 |
2,3 |
0,9893 |
–0,7 |
0,2420 |
2,4 |
0,9918 |
–0,6 |
0,2743 |
2,5 |
0,9938 |
–0,5 |
0,3085 |
2,6 |
0,9953 |
–0,4 |
0,3446 |
2,7 |
0,9965 |
–0,3 |
0,3821 |
2,8 |
0,9974 |
–0,2 |
0,4207 |
2,9 |
0,9981 |
–0,1 |
0,4602 |
3,0 |
0,9987 |
0 |
0,5000 |
В случае отклонения расчетных характеристик сетевого графика от фактических, следует провести анализ причин, вызвавших откло- нения.
37
Пример анализа вероятностных характеристик сетевого графика
Перечислив работы, обладающие нулевым резервом времени (см. рис. 5.2), получим следующую последовательность связанных между собой критических работ: 1–3–6–8–9.
Критический путь на рис. 5.2 выделен жирной линией. Найдем подкритические пути сетевого графика и коэффициенты напряжен- ности работ.
Допустим, что работы некритических последовательностей могут приблизиться к работам критического пути не более, чем на 1 неде- лю, т.е. δ = 1. Тогда подкритическими будут работы, резерв которых R ≤ δ = 1, т.е. работы 2 и 7.
Путь максимальной длины, проходящий через эти две работы, со- стоит из работ 1–2–7–8–9. Согласно определению этот путь – под-
критический. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты |
напряженности |
работ |
критического пути |
||||||||||||||
К1 = К3 = К6 = К8 = К9 |
= 1. Коэффициенты |
напряженности ос- |
|||||||||||||||
тальных работ вычисляются по формуле. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
К2 = К7 |
= |
t2 + t7 |
= |
|
3 + 4 |
= |
7 |
; |
|
|
|
|||||
|
t3 + t6 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
5 + 3 |
|
8 |
|
|
|
|
|||||||
К4 |
= К5 = |
|
t4 + t5 |
|
= |
|
|
2 + 2 |
|
= |
4 |
. |
|||||
t3 |
+ t6 + t8 |
|
|
+ 3 + |
|
|
|||||||||||
|
|
5 |
2 10 |
|
|||||||||||||
На основании этих расчетов видно, что работы 2 и 7 имеют коэф- фициенты напряженности близкие к 1, т.е. при неблагоприятных об- стоятельствах работы могут стать критическими.
Срок выполнения комплекса работ регламентирован и составляет 13 недель. Определим вероятность того, что в этот срок работа будет действительно завершена. Вычислим дисперсии продолжительности всех работ сетевого графика:
σ2 (t1 ) = 0,04 (b1 − a1 )2 = 0,04 (3 − 1)2 = 0,16;
38
σ2 (t2 ) = 0,04 (b2 − a2 )2 = 0,04 (4 − 3)2 = 0,04 и т.д. (табл. 5.3).
Дисперсии наиболее ранних сроков начала всех работ определим по формуле (5.6):
σ2 (T1p ) = 0; σ2 (T2,3,4p ) = σ2 (T1p )+ σ2 (t1 ) = 0 + 0,16 = 0,16;
σ2 (T5p ) = σ2 (T4p )+ σ2 (t4 ) = 0,16 + 0,04 = 0,2;
σ2 (T6p ) = σ2 (T3p )+ σ2 (t3 ) = 0,16 + 0,64 = 0,8;
σ2 (T7p ) = σ2 (T2p )+ σ2 (t2 ) = 0,16 + 0,04 = 0,2; σ2 (T8p ) = 1,16;
σ2 (T9p ) = 1,32.
Дисперсия продолжительности критического пути равна
σ2 (tкр ) = σ2 (T9p )+ σ2 (t9 ) = 1,32 + 0,16 = 1,48.
Вероятность того, что вся разработка окончится в запланирован- ный срок, вычисляется по формуле (5.8). Принимаем приемлемый уровень вероятности выполнения работы в срок, равный 0,4.
Нижняя граница (а) интервала, на котором определено критиче- ское время разработки, равна сумме минимальных временных оценок аjк работ критической последовательности
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а = ∑a jк |
= a1 + a3 + a6 + a8 + a9 = 1+ 3 + 2 + 1+ 1 = 8. |
||||||||||||||||
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя значения t, |
tкр , |
σ2 (tкр ) |
и а в формулу (5.8), получаем |
||||||||||||||
|
( |
|
|
|
|
|
) |
|
|
13 − 14 |
|
|
|
8 − 14 |
|
|
|
Р |
8 |
≤ t |
|
|
≤ 13 |
= f |
|
|
|
− f |
|
|
= 0,21. |
||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
кр |
|
|
|
|
1,48 |
|
|
|
1,48 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вычисленная вероятность выполнения работы в срок (0,21) мень- ше того значения, которое было принято в качестве приемлемого (0,4). В связи с этим план необходимо разработать повторно, умень- шив продолжительность критического пути.
39
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 5.3 |
|
|
Исходные данные и результаты расчетов сетевого графика |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Код |
а |
b |
t |
Т pj |
Tjп |
Rj |
σ2(t) |
σ2 (T p ) |
|
работ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
3 |
2 |
0 |
2 |
0 |
0,16 |
0 |
|
2 |
3 |
4 |
3 |
2 |
6 |
1 |
0,04 |
0,16 |
|
3 |
3 |
7 |
5 |
2 |
7 |
0 |
0,64 |
0,16 |
|
4 |
2 |
3 |
2 |
2 |
10 |
6 |
0,04 |
0,16 |
|
5 |
2 |
3 |
2 |
4 |
12 |
6 |
0,04 |
0,20 |
|
6 |
2 |
5 |
3 |
7 |
10 |
0 |
0,36 |
0,80 |
|
7 |
4 |
5 |
4 |
5 |
10 |
1 |
0,04 |
0,20 |
|
8 |
1 |
3 |
2 |
10 |
12 |
0 |
0,16 |
0,16 |
|
9 |
1 |
3 |
2 |
12 |
14 |
0 |
0,16 |
0,40 |
|
40