Теория упругости. Часть 1. Учебно-методическое пособие
.pdf
Введение
Цель курсовой работы предполагает применение знаний, полученных в процессе изучения теории упругости. Поэтому каждой задаче из курсовой работы должны предшествовать изучение соответствующих разделов курса и ответы на вопросы самоконтроля, приведенныевыше.Самостоятельноеисознательноевыполнениекурсовой работы является необходимым условием готовности студента к зачету (экзамену) по теории упругости.
Исходныеданныедлякаждойзадачистудентопределяетпошифру, выданномуемупреподавателем,ввидетрехзначногочисла(АВС).
Найдем исходные данные для выполнения задачи 1, если, например, выданный шифр задания 230. Буквой A обозначается цифра 2, буквой В – 3, а буквой C – 0. По табл. 1.1 и 1.2 находим:
по букве A: |
σx |
= −20 МПа; |
|
σy = 30 МПа; |
σz = −40 |
МПа; |
||||||||
B: τxy = −30 МПа; |
|
τyz = 40 МПа; |
τzx = −50 |
МПа; |
||||||||||
C: |
l = |
|
1 |
, m = |
1 |
, |
n = |
1 |
, α =120 . |
|
||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
3 |
3 |
|
|||||||||
3 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Контрольная работа выполняется на листах белой бумаги формата А4 с одной стороны. Работа может быть оформлена с использованием компьютера или представлена в рукописном варианте. В последнем случае текст работы записывается чернилами, а рисунки выполняютсякарандашом.Вначалекаждойзадачиприводятсяисходные данные и расчетная схема.
Решение сопровождается заголовками, краткими пояснениями к пунктам задачи и необходимыми чертежами.
Получив проверенную преподавателем работу, студент должен исправить внейуказанныеошибки, исправленияпредставитьначистыхлистахбумаги, подшитыхкработе.Запрещаетсявырыватьлисты с замечаниями преподавателя и заменять их новыми.
11
Теория упругости. Часть I
Задача 1. ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ В ТОЧКЕ ТЕЛА
Напряжения, действующие по граням элементарного параллелепипеда, даны в табл. 1.1. Требуется:
1.Показать эти напряжения на чертеже.
2.Определить:
•полное,нормальноеикасательноенапряжения,действующие по наклонной площадке АВСD (угол α указан в табл. 1.2);
•проекцию касательного напряжения, действующего по координатнойплощадке, накоторойрасположенотрезокВС,нанаправление этого отрезка;
•величиныглавныхнапряженийиположениеглавнойплощад-
ки, по которой действует напряжение σ1.
3. ПримодулеупругостиE=2,105 МПаикоэффициентеПуассона µ= 0,25 определить:
•линейную деформацию в направлении, заданном направляющими косинусами l, m, n , которые указаны в табл. 1.2;
•угол сдвига между направлениями ВА и ВС;
•объемнуюдеформациювисследуемойточкенапряженноготела.
Таблица 1.1
Напряжениявисследуемойточке,МПа
Буква |
Напряжение |
Буква |
Напряжение |
|||||
A |
σx |
σy |
σz |
B |
τxy |
τyz |
τzx |
|
0 |
0 |
10 |
20 |
0 |
0 |
10 |
20 |
|
1 |
–10 |
–20 |
30 |
1 |
–10 |
20 |
–30 |
|
2 |
–20 |
30 |
–40 |
2 |
–20 |
–30 |
40 |
|
3 |
–30 |
40 |
50 |
3 |
–30 |
40 |
–50 |
|
4 |
–40 |
–50 |
60 |
4 |
–40 |
50 |
60 |
|
5 |
–50 |
60 |
–70 |
5 |
–50 |
–60 |
70 |
|
6 |
60 |
70 |
–80 |
6 |
60 |
70 |
80 |
|
7 |
70 |
–80 |
–90 |
7 |
70 |
–80 |
90 |
|
8 |
80 |
90 |
–100 |
8 |
80 |
–90 |
–100 |
|
9 |
90 |
–100 |
110 |
9 |
90 |
–100 |
–110 |
|
12
Задача 1. Исследование напряженно-деформированного состояния в точке тела
Таблица 1.2
Исходные данные к задаче 1
Бук- |
|
|
|
Направляющие |
Угол |
Положение площадки |
||||||||||||||||||||
ва |
|
|
|
|
|
косинусы |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α, град |
ABCD |
||||||||||||||
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
l |
|
m |
|
|
n |
||||||||||||||||||||
0 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
120 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
150 |
|
|||||||
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
− 1 |
30 |
|
|||||||||||
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
60 |
|
|||||||||||
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
60 |
|
||||||||||
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
30 |
|
||||||||||
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
5 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
60 |
|
|||||||||
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
7 |
|
|
|
|
|
|
|
− |
11 |
45 |
|
|||||||||||||||
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
8 |
|
− |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
120 |
|
||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
9 |
|
6 |
|
− |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
150 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13
Теория упругости. Часть I
Задача 2. ПОСТАНОВКА КИНЕМАТИЧЕСКИХ
ИСТАТИЧЕСКИХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ
Кпластинке единичной толщины приложены по контуру внешниенагрузки,действующиепараллельносрединнойплоскостипластинки и распределенные равномерно по ее толщине (табл. 2.1). Пластинка будет находиться в плоском напряженном состоянии, т. е. по площадкам, параллельным боковым поверхностям, напряжения равны нулю. Данные о величинах приложенных нагрузок определяются по табл. 2.2.
Требуется сформулировать статические и кинематические граничные условия на контуре пластинки.
Таблица 2.1
Исходные данные к задаче 2
Буквы |
Схема нагружения |
Буквы |
Схема нагружения |
AB |
пластинки |
AB |
пластинки |
1 |
2 |
3 |
4 |
00÷02 |
|
05÷07 |
|
03÷04 |
08÷10 |
14
Задача 2. Постановка кинематических и статических граничных условий
|
|
|
Продолжение табл. 2.1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
11÷12 |
|
19÷21 |
|
|
13÷14 |
22÷24 |
15÷16 |
25÷27 |
17÷18 |
28÷30 |
15
Теория упругости. Часть I
|
|
|
Продолжение табл. 2.1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
31÷32 |
|
39÷41 |
|
|
33÷34 |
42÷44 |
35÷36 |
45÷47 |
37÷38 |
48÷50 |
16
Задача 2. Постановка кинематических и статических граничных условий
|
|
|
Продолжение табл. 2.1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
51÷52 |
|
59÷61 |
|
|
53÷54 |
62÷64 |
55÷56 |
65÷67 |
57÷58 |
68÷70 |
17
Теория упругости. Часть I
|
|
|
Продолжение табл. 2.1 |
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
71÷72 |
|
79÷81 |
|
73÷74 |
82÷84 |
75÷76 |
85÷87 |
77÷78 |
88÷90 |
18
Задача 2. Постановка кинематических и статических граничных условий
|
|
|
Окончание табл. 2.1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
91÷92 |
|
95÷97 |
|
|
93÷94 |
98÷99 |
Таблица 2.2
Исходные данные о величине нагрузок к задаче 2
|
Буква |
|
Нагрузка, кН/м2 |
|
||
|
|
|
||||
|
С |
|
|
|
|
|
|
q1 q |
|
2 q |
|
3 |
|
|
0 |
2 |
|
2 |
|
0 |
|
|
|
||||
|
1 |
3 |
|
0 |
|
0 |
|
2 |
0 |
|
1 |
|
1 |
|
3 |
3 |
|
3 |
|
0 |
|
4 |
2 |
|
0 |
|
3 |
|
5 |
0 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
||||
|
6 |
1 |
|
1 |
|
0 |
|
|
|
||||
|
7 |
1 |
|
0 |
|
1 |
|
|
|
||||
|
8 |
0 |
|
1 |
|
2 |
|
9 |
2 |
|
0 |
|
2 |
19
Теория упругости. Часть I
Задача 3. РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ЗАДАЧ В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ОБРАТНЫМ МЕТОДОМ
Заданы компоненты перемещения произвольной точки тела (табл. 3.1). При помощи основных уравнений теории упругости требуется определить:
•выражения для компонент деформации;
•выражения для компонент напряжения;
•объемные силы;
•поверхностные силы, приложенные к стержню, а также построить эпюру этих сил;
•вид нагружения стержня, которому соответствуют заданные перемещения.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 3.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Исходные данные к задаче 3 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Буквы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перемещения |
Расположение |
||
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
осей координат |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
00÷02 |
|
M y |
|
|
|
|
|
|
Поперечное сечение |
|
|||||
|
u = |
zx |
|
|
|
|
стержня – круглое |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
EI y |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
v = −µ |
M y |
|
yz |
|
|
|
||||||||
|
EIy |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
w = − |
|
M y |
[x2 −µ(y2 − z2 )] |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2EIy |
|
|
|
|
|
|
||||
03÷04 |
u = 0 |
|
2Mкр |
|
|
|
|
||||||||
|
v = − |
|
xz |
|
|
|
|||||||||
|
|
G πr4 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
w = |
|
2Mкр |
|
|
xy |
|
|
|
||||||
|
|
|
Gπr4 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
05÷06 |
u = |
|
ρ |
|
[х(x −2b)+µ(y2 |
+ z2 )] |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2E |
|
|
|
|||||||||||
|
v = |
µρ |
(b − x)y |
|
|
|
|||||||||
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
w = |
µρ(b − x)z |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20