Теория случайных процессов. Основные понятия и определения теории случайных процессов. Модели и характеристики случайных сигналов. Ч.1. Учебное пособи

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

№ 1095

Кафедра компьютерных информационных и управляющих систем автоматики

Г.Г. Шапкарина

Теория случайных процессов

Основные понятия и определения теории случайных процессов. Модели и характеристики случайных сигналов

Учебное пособие Часть 1

Рекомендовано редакционно&издательским советом университета

Москва Издательский Дом МИСиС 2009

УДК 519.21 Ш23

Р е ц е н з е н т канд. техн. наук, доц. С.Н. Богданов

Шапкарина Г.Г.

Ш23 Теория случайных процессов. Основные понятия и опреде- ления теории случайных процессов. Модели и характеристики случайных сигналов: Учеб. пособие. Ч. 1. – М.: Изд. Дом МИСиС, 2009. – 82 с.

В учебном пособии рассмотрены вероятностные методы исследования сигналов, применяемые при анализе и синтезе систем автоматического управления, а также вопросы классификации случайных сигналов, а также в системах управления. Приведены основные алгоритмы, используемые при построении вероятностных моделей.

Предназначено для студентов специальности 220301.

♥Государственный технологический университет «Московский институт стали и сплавов» (МИСиС), 2009

3

Введение

Функционирование системы автоматики в реальных условиях за- висит от многочисленных факторов, связанных с действиями слу- чайных воздействий. К таким воздействиям относятся шумы и поме- хи, действующие в каналах передачи и преобразования сигналов, об- работка исходных данных в измерительных системах. Характеристи- ки систем, по которым проходят сигналы, также нельзя считать в точности известными, причем эти характеристики в силу влияния многих факторов могут изменяться непредвиденным образом. Оцен- ка достоверности информации тоже имеет статистический характер; поэтому в общем случае для исследования работы системы следует применять статистические методы.

Роль статистических методов в теории и технике систем связи и управления также весьма велика и с течением времени все возраста- ет. С усложнением принципов и условий работы систем все более необходимым оказывается учет случайных факторов. В этих услови- ях, особенно при наличии значительных помех, помехоустойчивость оценивается вероятностными методами. Таким образом, для иссле- дования систем управления необходимо привлечение статистических методов. Наконец, при изучении весьма сложных систем может ока- заться целесообразным отказ от слишком сложных «регулярных» законов их действия. В некоторых случаях, рассматривая такие сложные «регулярные» законы как случайные, удается значительно упростить их исследование.

Для понимания статистических и вероятностных методов необхо- димо предварительно ознакомиться с основами теории вероятностей, в которой рассматриваются три группы объектов. Простейшая из этих групп – случайные события. Вторая группа – случайные вели- чины. Случайная величина соответствует некоторому множеству случайных событий. Третья и наиболее сложная группа – случайные процессы. Случайный процесс соответствует множеству случайных величин.

4

1.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ

1.1.Случайные сигналы и воздействия в системах связи и управления

Винженерной практике в процессе обработки и анализа техниче- ских данных исследователю обычно приходится иметь дело с сигна- лами трех типов, описываемыми методами статистики. Во-первых, это информационные сигналы, отображающие физические процессы, вероятностные по своей природе; во-вторых, информационные сиг- налы, зависимые от определенных параметров физических процессов или объектов, значения которых заранее неизвестны, и которые обычно подлежат определению на основании данных информацион- ных сигналов; и в-третьих, это шумы и помехи, хаотически изме- няющиеся во времени, которые сопутствуют информационным сиг- налам, но, как правило, статистически независимы от них как по сво- им значениям, так и по изменениям во времени.

С самого начала исследователь располагает некоторыми предва- рительными данными об этих сигналах. Прежде всего, известно все множество, весь ансамбль возможных сигналов, т.е. сигналов, кото- рые могут передаваться по данной системе связи. Далее, во многих случаях известно, какие сигналы передаются чаще, а какие – реже. Таким образом, можно найти вероятности появления различных возможных сигналов. Это уже статистические характеристики. В результате исследования можно также найти более сложные стати- стические характеристики сигналов, чем вероятности появления от- дельных сигналов. Итак, те предварительные сведения о сигналах, которые имеются, носят обычно статистический характер.

Целесообразность применения статистических методов еще более очевидна, если ставится задача исследования преобразования сигна- лов при наличии помех. Помеха, примешивающаяся в канале связи к полезному сигналу, представляет собой, как правило, заранее не из- вестную функцию. Если бы помеха была заранее известна, то ее влияние нетрудно было бы нейтрализовать, скомпенсировать. Дейст- вительно, пусть, например, известная помеха прибавляется к полез- ному сигналу в канале связи. Тогда на приемном конце можно вы- честь из прибывающей суммы «сигнал плюс помеха» известную ве- личину помехи и получить полезный сигнал в чистом виде. Однако проблема возникает именно потому, что помеха заранее не известна

5

и может принимать различные значения. На основании предвари- тельного изучения помех можно определить лишь их статистические характеристики. Поэтому и задача оптимального отделения сигнала от помехи становится статистической, т.е. для ее решения необходи- мы статистические методы.

Характеристики систем, по которым проходят сигналы, также нельзя считать в точности известными. Эти характеристики в силу влияния многих факторов могут изменяться заранее непредвиденным образом. Случайные изменения свойств системы обычно можно сво- дить к влиянию некоторых случайных помех, воздействующих на нее.

Разнообразные помехи, действующие в системах связи, можно клас- сифицировать различными способами. Так, например, можно делить помехи по их происхождению на естественные и искусственные.

Естественные помехи создаются природой независимо от человека, вторые являются прямыми или косвенными результатами деятельности человека. К естественным помехам в области систем связи относятся внешние и внутренние помехи.

Искусственные помехи могут быть специально организованными либо неорганизованными.

Помехи можно различать также по характеру или форме их зави- симости от времени. Эта линия классификации одинакова для помех любой физической природы. Все обычные помехи принято делить на три категории:

1 – помехи с узкополосным частотным спектром; 2 – импульсные помехи, представляющие собой хаотическую по-

следовательность импульсов, причем реакция системы па очередной импульс обычно успевает практически затухнуть к моменту прихода следующего импульса;

3 – гладкие, или флуктуацонные, помехи. Гладкая помеха пред-

ставляет собой результат действия огромного множества малых хао- тических импульсов. Эти импульсы следуют друг за другом нерегу- лярно, но, как правило, настолько часто, что реакция системы на очередной импульс не успевает затухнуть к моменту прихода сле- дующего. Поэтому реакции от отдельных импульсов накладываются друг на друга образуя как бы единый незатухающий хаотический процесс. Частотный спектр гладкой помехи можно считать равно- мерным вплоть до очень высоких частот. Между импульсными глад- кими помехами нет четко выраженной границы; целый ряд помех в одних условиях может быть отнесен к импульсным, а в других усло- виях – к гладким помехам.

6

Роль случайных факторов в системах управления может быть про- иллюстрирована следующим образом. На рис. 1.1 приведена струк- турная схема системы автоматического управления. На выходе управ- ляемого объекта В имеется управляемая величина Х, которая, в соот- ветствии с техническими требованиями, должна удовлетворять неко- торым условиям, соответствующим сигналу Х0. Можно, например, потребовать, чтобы в системе поддерживалось равенство Х = Х1, что является типичным условием для системы регулирования; в общем случае задающее воздействие Х0 может означать любую совокупность технических требований, предъявляемых к выходному сигналу Х объ- екта B. Для удовлетворения этих требований к объекту В присоединя- ют управляющее устройство А, которое осуществляет управляющее воздействие U. Задающее воздействие Х0 поступает на вход управ- ляющего устройства А через канал Н0, в котором к Х0 примешивается случайная помеха h. Тогда выходной сигнал Y0 канала Н0, вообще го- воря, уже не равен Х0. Это происходит, если, например, задающее воз- действие Х0 подается в систему через линию радиосвязи или установка Х0 осуществляется человеком вручную с некоторой субъективной по- грешностью. Точно так же управляющее воздействие U в канале связи G, где оно, смешиваясь с воздействие V, становится помехой g, преоб- разуется в воздействие V. Помеха g в конкретной системе может пред- ставлять собой погрешность установки исполнительного блока или возмущение, поступающее на этот блок.

Рис. 1.1

Значение управляемой величины Х может поступать на управ- ляющее устройство А также через канал обратной связи H, где оно, смешиваясь со случайной помехой h, преобразуется в Y. Примером помехи h может служить погрешность измерительного блока.

Наконец, сам объект В подвержен воздействию случайного воз- мущения, отчего его характеристики изменяются заранее непредви- денным образом.

7

Величина Х0 в общем случае заранее не известна, т.е., по существу, является случайным сигналом. Итак, на любые звенья системы автома- тического управления действуют бесчисленные случайные помехи. За- дача системы автоматического управления (как и системы связи) состо- ит в том, чтобы осуществлять наилучшее приближение выходного сиг- нала системы к условиям, соответствующим сигналу Х0, подаваемому на ее вход, при наличии случайных помех и возмущений. При создании системы автоматического управления в общем случае невозможно иг- норировать случайные факторы, так как и задающее воздействие Х0, и помехи, и возмущения, действующие на систему, вообще говоря, слу- чайны. Таким образом, для исследования систем связи и управления необходимо привлечение статистических методов.

При использовании статистических методов исследования ком-

плекс ограниченного числа основных взаимосвязей уже не определяет полностью исход каждого отдельного опыта; этот исход становится неопределенным из-за наличия дополнительных, случайных факторов, т.е. из-за наличия бесчисленного множества отброшенных второсте- пенных взаимосвязей, изучение которых принципиально невозможно.

Статистическая закономерность, обнаруживаемая лишь при мас- совых явлениях, не похожа на закономерность «регулярного» типа, характерную для каждого единичного явления. Тем не менее стати- стическая закономерность есть объективно существующая форма причинной связи.

1.2. Вероятность. Случайные величины. Основные характеристики случайных величин

Основой изучения статистических характеристик случайных воздей- ствий является математический аппарат теории вероятностей. Одним из основных понятий теории вероятностей является событие. Понятие «событие» относится ко всему, что происходит или не происходит в результате опыта. При этом под опытом (испытанием, экспериментом) понимается не специально организованное исследование, а вся сово- купность условий и воздействий, при которых происходят интересую- щие исследователя события. С теоретико-вероятностной точки зрения опытом является любое наблюдение окружающего мира, а событием – любой результат, полученный при наблюдениях. Если событие в ре- зультате проведения опыта или эксперимента обязательно должно про- изойти, то оно называется достоверным. Если же известно, что в ре- зультате опыта событие не произойдет, то оно называется невозмож-

8

ным. Промежуточное положение между достоверным и невозможным событиями занимает случайное событие.

Таким образом, каждое из произошедших событий обладает той или иной степенью возможности. Чтобы количественно сравнить между собой события по степени возможности, необходимо с каж- дым событием связать определенное число, которое должно быть тем больше, чем более возможно это событие. Это число называют

вероятностью события.

Уже при введении понятия вероятности с ним связывается опреде- ленный практический смысл: более вероятными событиями считаются те, которые чаще происходят при испытании; и наоборот, события, которые происходят реже, считаются менее вероятными. Таким обра- зом, понятие вероятности связывается с понятием частоты события.

Для практических целей недостаточно знать только то, что иссле- дуемое событие случайно. Необходимо ввести какую-то количест- венную меру объективной возможности осуществления случайного события.

Если предположить, что производится n опытов и при этом m раз произошло событие А, то отношение числа исходов опыта m, при которых произошло событие А, к числу опытов m называется стати-

стической вероятностью (или частотой) события А и обозначается как P*(A):

P*( A) = m . n

В случае если в результате n опытов событие А произошло k раз, со- бытие B – m раз, а событие А совместно с событием B (событие АВ) – r раз, то для вычисления статистичеcкой вероятности события A при ус- ловии, что произошло событие В, вводится понятие условной стати-

стической вероятности события A при наличии события В, которое обозначается как P*(A/B) и определяется в соответствии с формулой

P*( A/ B) = r . m

Свойства статистической вероятности

Свойство 1. Статистическая вероятность есть неотрицательное число, т.е.

P*(A) ≥ 0.

9

Свойство 2. Статистическая вероятность достоверного события равна единице:

P*(U) = 1.

Свойство 3. Если события А и В несовместны, то статистическая вероятность события А + В равна сумме статистических вероятно- стей событий А и В, т.е.

P*(A + В) = P*(A) + P*(В).

Свойства 1, 2 и 3 распространяются и на условную статистиче- скую вероятность P*(A / B).

Статистическую вероятность события можно вычислить только после проведения опыта, однако в ряде случаев проводить экспери- мент для определения вероятности или невозможно, или нецелесооб- разно. В этом случае пользуются определением вероятности, которое называется классическим.

Классическое определение вероятности основано на интуитивном понятии равновозможности событий: несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если по условиям симметрии есть основание считать, что ни одно из этих событий не является объективно более возможным, чем другое. Например, равновозмож-

ными событиями являются выпадение герба и выпадение цифры при однократном бросании монеты.

В случае если исход опыта можно представить в виде полной группы событий, которые попарно несовместны и равновозможны, вероятностью события A называется отношение числа m благопри- ятствующих этому событию исходов опыта к общему числу всех рав- новозможных исходов опыта; в этом случае вероятность события А обозначается как P(A) и определяется по формуле

P(A) = m . n

Свойства классической вероятности

Свойство 1. Вероятность есть неотрицательное число, т.е.

P(A) ≥ 0.

Свойство 2. Вероятность достоверного события U равна единице:

P(U) = 1.

10