Теория случайных процессов. Основные понятия и определения теории случайных процессов. Модели и характеристики случайных сигналов. Ч.1. Учебное пособи

1, x ≥ 0; u(x) = 0, x < 0.

Так как y и x связаны указанным образом, то можно записать, что

В соответствии с этим соотношением искомая плотность распре- деления вероятностей случайной величины Y может быть представ- лена в виде

1.3. Некоторые законы распределения

Исследование распределений случайных величин – один из ос- новных этапов решения задач статистических предсказаний. Так, на- пример, пуассоновское распределение играет важную роль при ре- шении вопросов массового обслуживания.

Целесообразно привести некоторые часто используемые законы распределения как для непрерывных, так и для дискретных случай- ных величин.

Случайные величины, характеризующие физические процессы и явления, могут иметь самые разнообразные законы распределения.

Равномерное распределение вероятностей. Это распределение встречается на практике в том случае, когда среди принимаемых слу- чайными величинами значений нет каких-либо предпочтительных. Этот закон считается простейшим с математической точки зрения. В конкретных задачах приходится рассматривать случайные величины, о которых заранее известно, что все их возможные значения лежат в пределах заданного интервала и все значения случайной величины внутри этого интервала равновероятны. Обычно считают, что собы- тия, происходящие в произвольные моменты времени с равной веро- ятностью могут происходить в любой момент времени. Например, считается, что неизвестная фаза гармонического сигнала с равной ве- роятностью может принимать любое значение в диапазоне 2π радиан.

В общем случае равномерная плотность распределения вероятно- стей записывается в следующем виде:

21

Выражение для определения функции распределения вероятно- стей такой случайной величины можно получить интегрированием функции плотности вероятностей:

Одним из важных практических приложений равномерного рас- пределения является описание погрешностей аналого-цифрового преобразования. В ходе этого преобразования непрерывный сигнал, который в рассматриваемый момент времени может иметь любое значение, преобразуется в дискретный сигнал, характеризуемый раз- решенными уровнями сигнала преобразователя. Поскольку с помо- щью ограниченного количества разрешенных уровней можно пред- ставить только дискретный набор величин, появляется погрешность преобразования, представляющая собой разность между фактиче- ским значением сигнала и ближайшей дискретной величиной. При определении средней квадратической ошибки преобразования пред- полагают, что она равномерно распределена на интервале

Таким образом, из выражения (1.4) можно получить, что математи- ческое ожидание погрешности равно нулю, а выражение (1.5) приво-

22

С плотностью равномерного распределения вероятностей встре- чаются и при рассмотрении гармонических сигналов со случайной фазой. Например, если гармонический сигнал передается из одного места в другое, расположенное на некотором расстоянии от первого, то при условии, что длина пути распространения во много раз пре- вышает длину волны сигнала, его фаза в точке приема может с пол- ным основанием считаться случайной. Поскольку трудно указать ка- кую-либо физическую причину, в соответствии с которой следовало бы одно из значений фазового угла предпочесть другим, обычно предполагают, что фаза распределена равномерно в пределах угла 2π. Случайная величина, которой является значение фазового угла θ, характеризуется плотностью вероятностей

и выражением x(t) = cos(ωt − θ) . Для этого случая можно записать:

θ = mθ = π;

σ2θ = π2 . 3

Необходимо отметить, что область существования величины мо- жет быть задана в пределах от – π до + π или в любых других преде- лах, лишь бы она охватывала диапазон 2π. При любом варианте оп- ределения диапазона θ дисперсия фазы не изменится, однако матема- тическое ожидание будет различным.

Большое практическое значение имеет закон распределения Пу- ассона или, как его иногда называют, закон редких явлений. Этому распределению подчиняются события, вероятность которых при ка- ждом отдельном испытании очень мала, а число испытаний велико. Вероятность случайной величины X, распределенной по закону Пу- ассона, определяется по формуле

Px = ax e− a , x!

где a – математическое ожидание случайной величины.

23

Замечательным свойством распределения Пуассона является то, что его дисперсия равна математическому ожиданию:

Dx = mx = a.

Это свойство позволяет на практике проверять справедливость гипотезы о том, что изучаемая случайная величина распределена по закону Пуассона.

Нормальное (гауссовское) распределение вероятностей. На практике наиболее часто встречается так называемый нормальный закон распределения (или закон Гаусса). Он характеризуется плотно- стью вероятности

где m – математическое ожидание случайной величины; σ – среднее квадратическое отклонение, так что

Dx = σ2.

Кривая плотности вероятности нормального закона распределе- ния имеет характерную колоколообразную форму (рис. 1.3). Нор- мальный закон распределения – это предельный закон, к которому приближаются другие законы распределения при часто встречаю- щихся типичных условиях. Сумма большого числа независимых или слабо зависимых случайных величин, распределенных по произ- вольным законам, приближенно подчиняется нормальному закону. Для этого должно лишь выполняться следующее условие: отдельные слагаемые в сумме должны иметь примерно одинаковую значимость. В противном случае в суммарном распределении будет доминиро- вать распределение наиболее значимой составляющей.

Значимость этого распределения определяется рядом причин, среди которых необходимо отметить следующие.

1.Такое распределение служит хорошей математической моделью для ряда наблюдаемых случайных явлений.

2.Нормальное (гауссовское) распределение принадлежит к числу немногих, позволяющих описывать явления с произвольным числом случайных величин.

3.Любые линейные комбинации гауссовских случайных величин также являются гауссовскими.

24

4.Гауссовский случайный процесс может быть полностью опре- делен (в статистическом смысле) при помощи только первого и вто- рого моментов.

5.В ходе статистического анализа как для линейных, так и для нелинейных преобразований случайных процессов нередко удается представить исследуемые процессы, только если эти процессы гаус- совские.

Выражение для определения нормальной (гауссовской) плотности вероятностей имеет следующий вид:

где параметр m является математическим ожиданием случайной ве- личины X, σ2 – дисперсией.

Функция плотности нормального распределения к простым мате- матическим зависимостям не сводится. График плотности и функция распределения вероятностей гауссовской случайной величины при- ведены на рис. 1.2 и 1.3.

Рис. 1.3

Следует отметить ряд особенностей этих функций.

1.Плотность распределения вероятностей гауссовской случайной величины имеет только один максимум (унимодальная функция), который соответствует математическому ожиданию.

2.График функции плотности распределения симметричен отно- сительно математического ожидания.

3.Ширина нормальной плотности вероятностей пропорциональна

среднему квадратическому (стандартному) отклонению σ. На уровне 0,607 от максимального значения функции fX(x) она равна 2σX. В этих

25

точках абсолютная величина производной fX (x) достигает своего dx

максимального значения.

4. Максимальное значение нормальной плотности распределения вероятностей пропорционально стандартному отклонению σ. По- скольку площадь под кривой функции плотности распределения рав- на единице, ее можно использовать для определения единичного им- пульса (или дельта-функции), устремив σ → 0:

− ( x− X )2

δ(x − X ) = lim 1 e 2σ2 .

σ→0 σ 2π

Преимущество такого введения дельта-функции перед многими другими состоит в том, что она в этом случае оказывается бесконеч- но дифференцируемой.

Функция распределения вероятностей для гауссовской случайной величины, как отмечалось выше, не может быть записана в виде компактного математического выражения с использованием элемен- тарных функций. Ее, однако, можно выразить через широко извест- ные табулированные функции. С учетом связи между функциями распределения и плотностью вероятностей можно записать следую- щее общее выражение для функции распределения вероятностей га- уссовской случайной величины:

Обычно табулируют функцию нормированного гауссовского рас- пределения вероятностей, характеризуемого математическим ожида- нием, равным нулю, и дисперсией, равной единице (т.е. X = mX = 0 ,

σ = 1). Эту функцию определяют следующим образом:

Посредством простой замены переменных можно показать, что общее выражение для нормальной функции распределения вероятно- стей с использованием данного выражения может быть записано в таком виде:

26

Экспоненциальное распределение. Очень часто в практических задачах возникает необходимость определить время наступления то- го или иного события. Если средний промежуток времени между на- ступлениями события обозначить как τ , то вероятность наступления

события на интервале t, меньшем τ , будет составлять τt , незави-

симо от того, как расположен рассматриваемый интервал. Теперь можно найти функцию распределения вероятностей.

В предположении, что интересующее нас событие произошло в момент t0, можно определить вероятность того, что следующее собы- тие произойдет в произвольный момент времени, расположенный в интервале от (t0 + τ) до (t0 + τ + t0). Обозначая функцию распределе- ния вероятностей случайной величины τ через F(τ) можно записать

равняться произведению вероятностей двух независимых событий: «событие не произошло в промежутке от t0 до (t0 + τ)» и «событие произошло в промежутке от (t0 + τ) до (t0 + τ + t)». Поскольку (1 – F(τ)) – это вероятность того, что событие не произойдет в интер- вале между t0 и (t0 + τ), а t / τ – вероятность того, что оно произой- дет на промежутке t, можно записать:

F(τ + t) − F(τ) = [1− F(τ)] τt .

Переходя к пределу, получаем

Решая это дифференциальное уравнение, можно получить рас- пределение вероятностей в следующем виде:

Постоянная интегрирования определяется с учетом начального условия F(0) = 0, поскольку τ не может быть меньше нуля.

27

Соотношение для плотности распределения вероятностей временнóго интервала между событиями может быть получено из выражения (1.6):

Эта функция называется плотностью экспоненциального распре- деления вероятностей.

Математическое ожидание случайной величины τ равно τ , т.е.

Дисперсия составляет σ2 = τ 2 . Математическое ожидание и дис- персия однозначно связаны и один параметр определяется другим. Распределения, обладающие таким свойством, называются однопа-

раметрическими.

Рассматривая в качестве случайной величины интервал между не- которым произвольно взятым событием и k-м следующим за ним со- бытием можно обобщить понятие случайной величины, приведенной при выводе экспоненциального распределения. Функция распределе- ния вероятностей в этом случае называется распределением Эрланга, а соответствующая ему плотность распределения вероятностей имеет следующий вид:

Случайная величина τ называется эрланговой случайной величи- ной k-го порядка. Экспоненциальное распределение является част- ным случаем распределения Эрланга при k = 1. Обобщенное распре- деление Эрланга очень часто используется при решении технических задач, связанных с определением надежности систем, времени ожи- дания доступа пользователей, числа каналов систем связи и многих других.

С распределением Эрланга связано также гамма-распределение, получаемое из него простой заменой переменных.

28

Дельта-распределение. В системах связи и управления часто приходится рассматривать двухуровневый сигнал, показанный на рис. 1.4. Сигнал такого вида обладает наибольшей средней мощно- стью среди всех сигналов, обладающих равной амплитудой. В этом разделе рассматривается только отдельная случайная величина X = x(t1) в заданный момент времени. Эта случайная величина может принимать только два значения – x1 или x2 с вероятностью p1 или p2 соответственно, причем p2 = 1 – p1. Таким образом, плотность веро- ятностей для X выражается так:

f(x) = p1δ(x – x1) + p2δ(x – x2).

Рис. 1.4

Математическое ожидание в этом случае определяется в соответ- ствии с выражением

Подобные дельта-распределения существуют для случайных ве- личин, принимающих любые значения из бесконечного дискретного набора. Так, если число возможных уровней равно n и они обознача- ются как x1, x2, …, xn, а соответствующие им вероятности как p1, p2, …, pn, то плотность вероятностей для них имеет следующий вид:

Для этого распределения математическое ожидание и дисперсия определяются в соответствии с выражениями:

29

Дельта-распределения для многоуровневых случайных величин часто используются при исследовании систем связи и управления и систем, в которых применяется аналого-цифровое преобразование. Обычно количество уровней выражается целой степенью числа 2, так что совокупности уровней удобно поставить в соответствие набор двоичных чисел.

1.4. Системы случайных величин

На практике результат опыта обычно описывается не одной, а двумя и более случайными величинами.

В этих случаях говорят, что случайные величины образуют ком- плекс или систему.

Систему нескольких случайных величин X, Y, …, W обозначают как (X, Y, …, W).

Свойства системы случайных величин не исчерпываются свойст- вами отдельных ее составляющих. Для полной характеристики сис- темы необходимо учитывать характеристики каждой случайной ве- личины.

Геометрически систему двух случайных величин (X, Y) можно изобразить случайной точкой с координатами X и Y. Система трех случайных величин изображается точкой в трехмерном пространст- ве. В общем случае может идти речь о системе n случайных величин как о случайной точке в n-мерном пространстве (рис. 1.5, а).

Другим подходом является представление системы случайных ве- личин случайным вектором на плоскости ХOY. Составляющие этого вектора по осям – это случайные величины X и Y. Систему n случай- ных величин можно интерпретировать n-мерным случайным векто- ром. При этом теория систем случайных величин рассматривается как теория случайных векторов (рис. 1.5, б).

30