Теория случайных процессов. Основные понятия и определения теории случайных процессов. Модели и характеристики случайных сигналов. Ч.1. Учебное пособи

2.4. Измерение параметров случайных процессов

Статистическими параметрами случайного процесса X(t) является ряд статистических параметров (таких, как математическое ожида- ние, средний квадрат, дисперсия), связанных со случайными величи- нами X(t), рассматриваемыми в различные моменты времени t. В случае стационарного случайного процесса эти параметры одинако- вы для всех таких случайных величин и, следовательно, целесооб- разно рассматривать только одну группу параметров.

Значительный практический интерес представляет задача оценки параметров случайного процесса по результатам наблюдения одной реализации (так как все, что имеется в наличии, – это одна реализа- ция конечной длительности). Поскольку имеется только одна реали- зация, невозможно осуществить усреднение по ансамблю с целью получения оценок параметров, поэтому единственной альтернативой является осуществление усреднения по времени. Для эргодического случайного процесса это обоснованный подход, так как временное усреднение (на интервале бесконечной длительности) эквивалентно усреднению по ансамблю.

В большинстве практических ситуаций невозможно доказать, что случайный процесс является эргодическим; обычно необходимо предположить, что он эргодичен, если только нет явных физических причин, исключающих справедливость такого допущения. Кроме того, не представляется возможным реализовать временное усредне- ние в пределах интервала бесконечной длительности, а усреднение на интервале конечной длительности приведет к приближенным ре- зультатам. Цель нижеследующего анализа – получение ответов на два вопроса: насколько точным является это приближение и от каких аспектов процедуры измерения зависит качество приближения?

Сначала рассмотрим задачу оценки математического ожидания X эргодического случайного процесса {x(t)} путем усреднения по вре- мени на конечном интервале. Тогда для произвольного члена ан- самбля реализаций будем полагать

ˆ

Необходимо отметить, что, хотя X – некоторое число в каком-то эксперименте, эта величина также является случайной, так как мы

71

получили бы другое число, если бы использовался другой временной

ˆ

интервал или наблюдалась другая реализация. Таким образом, X не будет тождественно равно истинному математическому ожиданию, но, чтобы измерения были полезными для использования на практи-

ке, величина X должна быть близкой к X .

ˆ

Так как X – случайная величина, она имеет математическое ожи-

дисперсия должна быть малой. В соответствии с (2.18) математиче-

В данном случае допустима перестановка операций усреднения и интегрирования, что является общепринятой методикой. Из (2.19) следует, что X имеет математическое ожидание, равное истинному (т.е. имеется несмещенная оценка). Оценка дисперсии случайной ве- личины X оказывается значительно более трудоемкой и для нее тре- буется знание автокорреляционных функций. Однако дисперсия та- ких оценок анализируется для случая с дискретным временем; дис- персия пропорциональна параметру 1/Т. Таким образом, более точ- ная оценка математического ожидания получается путем усреднения реализации на временнóм интервале большой длительности. При T → ∞ дисперсия стремится к нулю, а оценка становится равной ис- тинному математическому ожиданию с вероятностью, равной едини- це, как и должно быть для эргодического случайного процесса.

С практической точки зрения операция интегрирования в выра- жении (2.18) в редких случаях может быть выполнена аналитически, поскольку X(t) не может быть выражено в явном виде. Альтернати- вой является численное интегрирование выборок случайного процес- са X(t), наблюдаемых через равноотстоящие промежутки времени. Таким образом, если X1 = X( t), X2 = X(2 t), …, XN = X(N t), то оцен-

ка случайной величины X может быть представлена так:

72

Это выражение – дискретный аналог соотношения (2.18).

Следовательно, оценка и в этом случае имеет математическое ожидание, равное его истинному значению.

ˆ

Для оценки дисперсии случайной величины X полагают, что на- блюдаемые выборки отстоят друг от друга на достаточно длительных интервалах времени и поэтому статистически независимы; средний

ˆ

квадрат X может быть представлен в виде

где двойное суммирование обусловлено произведением двух сумм. Так как выборки полагались статистически независимыми, то можно записать:

Таким образом, справедливо соотношение

Этот результат является следствием того, что двойная сумма в (2.22) содержит в совокупности N2 членов, но только N из них соот- ветствуют случаю i = j. Уравнение (2.23) может быть записано в виде

73

Этот результат свидетельствует о том, что дисперсия оценки ма- тематического ожидания в N раз меньше дисперсии случайного про- цесса. Таким образом, точность оценки может быть повышена ус- реднением большего числа выборок.

В качестве иллюстрации полученного результата предположим, что необходимо оценить дисперсию гауссовского случайного про- цесса с нулевым математическим ожиданием путем пропускания его через устройство с квадратичной характеристикой и оценивания ма- тематического ожидания выходного процесса. Предположим, что необходимо также определить требуемое число усредняемых выбо- рок, обеспечивающее среднее квадратическое отклонение оценки от истинного математического ожидания менее 10 % .

Пусть Y(t) – наблюдаемый случайный гауссовский процесс с ну-

левым математическим ожиданием и дисперсией σ2x . Результат воз-

ведения этого процесса в квадрат обозначим через X(t). Таким обра- зом, получим X(t) = Y2(t) и учитывая выражение для математического ожидания квадрата величины Y(t) запишем:

В этом случае оценка X является также оценкой параметра σ2X .

Кроме того, дисперсия оценки случайной величины X должна быть равной 0,01(X )2 = 0,01σ2X , с тем чтобы удовлетворить требованию

получения ошибки оценки менее 10 %. Из (2.25) получаем соотно- шение

Таким образом, для достижения необходимой точности требуется N = 200 статистически независимых выборок.

Приведенный анализ не только иллюстрирует задачи, возникаю- щие при оценке математического ожидания случайного процесса, но также показывает, как может быть оценена дисперсия процесса, имеющего нулевое математическое ожидание. Эти же выводы могут

74

быть, очевидно, распространены на оценку дисперсии случайного процесса с ненулевым математическим ожиданием.

Когда математическое ожидание случайного процесса, дисперсия которого должна быть оценена, не известно, процедура оценки дис- персии становится несколько более трудоемкой. На первый взгляд логично определить среднее значение величин Х и Y и затем вычесть квадрат оцененного (в соответствии с (2.22)) математического ожи- дания. Однако получающаяся при этом оценка дисперсии является смещенной, т.е. математическое ожидание оценки дисперсии не рав- но истинной дисперсии. Этот результат обусловлен тем, что истин- ное математическое ожидание не известно. Однако при оценке дис- персии имеется возможность исправить этот недостаток, определяя дисперсию в виде

75

Контрольные задания и примеры решения задач

2.1.Объясните понятие «условия нормировки» случайного про-

цесса.

2.2.Дайте определение центрированной случайной функции.

2.3.Объясните понятие «дифференцируемость случайного про-

цесса».

2.4.Объясните понятие «интегрируемость случайного процесса».

2.5.Дана функция

0, при x < 0;

Показать, что f(x) может служить плотностью вероятности неко- торой случайной величины X. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.

Решение

Определяем

Следовательно, f(x) может служить плотностью вероятности неко-

торой случайной величины. Так как прямая x = π является осью

2

симметрии соответствующей дуги кривой y = 1 sin x , то математиче-

Находим дисперсию. Для этого в формуле для вычисления дис-

персии полагаем a = 0, M ( X ) = π , тогда остается только вычислить

2

интеграл, определяющий M(X2):

76

2.6.Десять независимых измерений напряжения, представляющих собой выборки гауссовского случайного процесса, имеют следующие значения: 207, 202, 184, 204, 206, 198, 197, 213, 191, 201.

а) Оцените математическое ожидание этого процесса.

б) Определите дисперсию этой оценки математического ожида- ния.

в) Оцените дисперсию этого процесса.

2.7.Датчик случайных чисел ЭВМ формирует трехзначные числа, равномерно распределенные на интервале [0,000; 0,999], с произво- дительностью, равной одному случайному числу в секунду, начиная

смомента времени τ = 0. Реализация случайного процесса формиру- ется путем суммирования десяти последних случайных чисел и при- своения этой сумме значения реализации на одкосекундном интерва- ле. Определить математическое ожидание случайной величины.

2.8.Определить, к какому типу (непрерывный, дискретный, сме- шанный) относятся приведенные ниже случайные процессы.

а) Случайный процесс, для которого случайной величиной явля- ется число проезжающих автомобилей в минуту при определенной плотности движения.

б) Напряжение теплового шума, генерируемого резистором. в) Случайный процесс, определенный в задаче 2.5.

г) Случайный процесс, формируемый в результате прохождения гауссовского случайного процесса через идеальный однополупери- одный выпрямитель.

д) Случайный процесс, формируемый в результате прохождения гауссовского случайного процесса через идеальный двухполупери- одный выпрямитель.

77

е) Случайный процесс вида X (t) = ( A + B)cos(ωt + θ) , где А – по- стоянная; В – случайная величина, экспоненциально распределенная на интервале [0, 1]; θ – случайная величина, равномерно распреде- ленная на интервале [0, 2π].

2.9. Случайная величина X характеризуется рядом распределения:

Определить математическое ожидание и дисперсию.

Решение

Находим математическое ожидание:

M(X) = 0 0,02 + 1 0,4 + 2 0,3 + 3 0,08 + 4 0,02 = 1,32.

Определяем дисперсию, полагая a = 2; отсюда M(X) = 1,32 – 2 = –0,68. Составляем таблицу:

D( X ) = 1,36 − (−0,68)2 = 1,36 − 0,4634 = 0,8966;

σx = 0,8966 = 0,95.

2.10.Для заданной функции

0, при x < 0;

найти значение λ, при котором эта функция может быть принята за плотность вероятности случайной величины X. Определить это зна- чение λ, найти математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение соответствующей случайной величины X.

78

2.11. Для заданной функции

определить, может ли она являться корреляционной функцией ста- ционарной случайной функции X(t)?

2.12. Для заданной функции

определить, может ли она являться корреляционной функцией ста- ционарной случайной функции X(t)?

2.13. Для заданной функции

определить закон распределения случайной величины.

2.14. Дана функция

Определить, может ли она являться плотностью распределения стационарной случайной функции X(t).

2.15. Дана функция

Определить, может ли она являться корреляционной функцией стационарной случайной функции X(t).

2.16. Случайный процесс имеет вид

79

X(t) = Acos(ωt + θ),

где А и ω – постоянные; θ – случайная величина.

а) Докажите, что этот процесс стационарен в широком смысле, если θ равномерно распределено на интервале [0, 2π].

б) Докажите, что этот процесс не может быть стационарным, если

θне является равномерно распределенной на этом интервале.

2.17.Случайный процесс имеет вид X(t) = A, где A – гауссовская случайная величина с нулевым математическим ожиданием и дис- персией, равной 4.

а) Является ли данный процесс стационарным в широком смыс- ле?

б) Является ли данный процесс эргодическим? Почему?

2.18.Случайный процесс имеет вид

а) Определите X и X 2 .

б) Определите x и x2 , где угловые скобки означают операцию временного усреднения.

в) Может ли данный процесс быть стационарным? г) Может ли данный процесс быть эргодическим?

80