Теория случайных процессов. Основные понятия и определения теории случайных процессов. Модели и характеристики случайных сигналов. Ч.1. Учебное пособи

Rxy(t1, t2) = Ryx(t2, t1).

Если при всех значениях t1, t2 выполняется равенство Rxy(t1, t2) = = Ryx(t1, t2), то случайные функции называются некоррелированными.

Независимые случайные функции всегда не коррелированны.

Зная значения функций Rxy(t1, t2), Ryx(t1, t2) и стандарты распреде- ления σx(t), σy(t) можно получить нормированные взаимные корреля- ционные функции:

т.е. такие неслучайные функции, которые при конкретных значениях t1 и t2 равны коэффициентам корреляции соответствующих сечений случайных функций X(t) и Y(t).

Взаимной корреляционной функцией Rxy (t1, t2 ) случайных процес-

сов X(t) и Y(t), определенных на общем вероятностном пространстве, называется неслучайная функция Rxy, которая для каждой пары зна- чений аргументов t1 и t2 равна корреляционному моменту сечений X t1 и Yt2 этих процессов, т.е.

чениями случайных процессов x(t) и y(t) в различные моменты вре- мени. Примером такой связи является связь между положением са-

51

молета вдоль вертикальной оси в момент t2 и силой вертикального порыва ветра в момент t1 < t2, проявляющаяся с некоторым запазды- ванием t2 – t1, зависящим от инерции самолета.

2.2. Элементарные преобразования случайных процессов

Линейные преобразования случайных функций. Для системы,

которая имеет один вход и один выход, описываемой оператором A, справедливо выражение связи входного воздействия V с реакцией системы Z = A(V). Оператор A = L называется линейным, если он об- ладает следующими свойствами:

1)Z = L(cV1) = cL(V1) при V = cV1, где с – константа

2)Z = L(V1 + V2) = L(V1) + L(V2) при V = V1 + V2.

Аналогично, система с двумя входами и ее оператор, связываю- щий два входных воздействия V и W с реакцией Z = L(V, W), линей- ные, если оператор обладает такими свойствами:

1)Z = L(cV1, cW1) = cL(V1, W1) при V = cV1, W = cW1;

2)W = W1 + W2, Z = L(V1 + V2, W1 + W2) = L(V1, W1) + L(V2, W2) при

V = V1 + V2.

При линейном преобразовании одной случайной функции X(t) в

другую Z(t) = L{X(t)} возникает задача определения характеристик Z(t) по аналогичным характеристикам X(t). Обычно при этом ограни- чиваются определением математического ожидания mx(t) и корреля- ционной функции Rz(t1, t2).

Математическое ожидание новой случайной функции

mz(t) = M[Z(t)] = M[L{X(t)}].

Линейный оператор можно выносить за знак математического ожидания.

Рассмотрим, например, простейшее линейное преобразование случайной функции X(t), заключающееся в умножении ее на неслу- чайную функцию y(t), тогда новая случайная функция

Z(t) = y(t)X(t).

Математическое ожидание

mz(t) = M[y(t)X(t)] = y(t)M[X(t)] = y(t) mx(t).

Аналогично, в общем случае

mz(t) = M[L{X(t)}] = L{M[X(t)]}.

52

Корреляционная функция

Rz(t1, t2) = M[{Z(t1) – mz(t1)}{Z(t2) – mz(t2)}] =

M[ Lt1 {X(t1) – mx(t1)} Lt2 {X(t2) – mx(t2)}].

Символами Lt1 и Lt2 обозначен один и тот же оператор L, с той

лишь разницей, что L-преобразования выполнены в первом случае по переменной t1, во втором – по переменной t2. После вынесения опе- раторов Lt1 и Lt2 за знак математического ожидания имеем

Rz(t1,t2) = Lt1 Lt2 {M[(X(t1) – mx(t1))(X(t2) – mx(t2))} = Lt1 Lt2 {Rx(t1, t2)}.

Для случайной функции Z(t)

Rz(t1, t2) = y(t1)y(t2) Rx(t1, t2).

В некоторых случаях требуется определение взаимных корреля- ционных функций Rzx(t1, t2) и Rxz(t1, t2). При этом целесообразно пе- рейти от X(t) и Z(t) к центрированным случайным функциям.

Реальные случайные явления сопровождаются, как правило, ви- доизменениями случайных процессов при протекании их в конкрет- ных системах и устройствах. Так, например, электрические сигналы, описываемые как случайные процессы, при прохождении через сис- темы связи или управления могут складываться, перемножаться, дифференцироваться или интегрироваться, усиливаться или ослаб- ляться и т.д.

Сложение случайных функций. При сложении случайных функ-

ций X(t) и Y(t) и образовании суммы

Z(t) = X(t) + Y(t)

возникает задача определения характеристик Z(t) по характеристикам X(t), Y(t). Математическое ожидание суммы

M[Z(t)] = M[X(t)] + M[Y(t)] = mx(t) + my(t) = mz(t).

Корреляционная функция суммы

M[{Z(t1) – mz(t1)} {Z(t2) – mz(t2)}] =

=M[{X(t1) – mx(t1) + Y(t1) ) – my(t1)} {X(t2) – mx(t2) + Y(t2) ) – my(t2)}] =

=M[{X(t1) – mx(t1)} {X(t2) – mx(t2)}] +

+M[{X(t1) – mx(t1)}{Y(t2) ) – my(t2)}] +

53

+M[{Y(t1) ) – my(t1)}{Y(t2) – my(t2)}] =

=Rx(t1, t2) + Rxy(t1, t2) + Ryx(t1, t2) + Ry(t1, t2) = Rz(t1, t2).

Если X(t) и Y(t) некоррелированы, то Rz(t1, t2) = Rx(t1, t2) + Ry(t1, t2). Все изложенное также распространяется на сумму любого числа слу- чайных функций.

При сложении случайной функции X(t) с неслучайной функцией y(t) сумма

Z(t) = X(t) + y(t)

имеет математическое ожидание mz(t) = mx(t) + y(t) и корреляцион- ную функцию Rz(t1, t2) = Rx(t1, t2).

В частности, если выполняется центрирование случайной величи-

совпадает с корреляционной функцией нецентрированной случайной функции Rx(t1, t2). Математическое ожидание центрированной слу- чайной функции, очевидно, равно нулю. Это означает, что вместо

0

случайной функции X (t) = X (t) + m x (t) можно оперировать со слу-

0

чайной функцией X (t) , исключив неслучайную функцию mx(t). Если, например, X(t) – погрешность вычислительного устройства, то пред-

0

ставление ее в виде суммы X (t) и mx(t) позволяет рассматривать ее

составленной из случайной и систематической составляющих.

При сложении случайной функции X(t) с некоррелированной слу- чайной величиной сумма Z(t) = X(t) + Y имеет математическое ожи- дание mz(t) = mx(t) + my и корреляционную функцию

Rz(t1, t2) = Rx(t1, t2) + Dy.

При

Z(t) = aX(t) + bY(t)

можно показать, что

mz(t) = amx(t) + bmy(t);

Rz(t1, t2) = a2Rx(t1, t2) + b2Ry(t1, t2) + ab[Rxy(t1, t2) + Ryx(t1, t2)].

54

Преобразование вида Y(t) = a(t)X(t) + b(t). Здесь X(t) – «входной» случайный процесс, обладающий математическим ожиданием mх(t) и корреляционной функцией Rx (t1, t2 ) ; Y(t) – «выходной» (преобразо-

ванный) случайный процесс; a(t), b(t) – ограниченные неслучайные функции. Из свойств математического ожидания следует:

my (t) = MY (t) = M[a(t)X (t) + b(t)] = a(t)mx (t) + b(t) .

Для корреляционной функции Ry (t1, t2 ) и дисперсии Dy (t) спра-

ведливы выражения:

Dy (t) = R y (t,t) = a2 (t)Dx (t) .

n

Преобразование вида Y (t) = ∑ai (t)Xi (t) . В этом случае

i=1

– совокупность случайных процессов, определенных на общем вероятностном пространстве и обладающих математическими

55

В формулах (2.2), (2.3) операция математического ожидания выпол-

няется по совместному распределению сечений {Xi (t)}in=1 ).

Если случайные процессы X i (t) взаимно некоррелированы, т.е.

i, j (i ≠ j), t1, t2 ; Rxi x j (t1, t2 ) = 0 ,

В практических приложениях дисперсия случайного сигнала про- порциональна средней мгновенной мощности его переменной состав- ляющей. Поэтому соотношение (2.8) отражает тот факт, что при сло- жении независимых (некогерентных) сигналов их средние мгновенные мощности складываются. При суммировании когерентных сигналов происходит их взаимное усиление и ослабление, выражаемое членами, содержащими взаимные корреляционные функции в (2.7).

Дифференцирование и интегрирование случайных процессов.

Дифференцирование и интегрирование случайного процесса проис- ходит, например, при его прохождении через дифференцирующую или интегрирующую цепь в системе автоматического управления.

Для того чтобы определить понятие производной и интеграла от случайного процесса, необходимо использовать понятие сходимости последовательности случайных величин. Из теории вероятности из- вестно по крайней мере четыре типа такой сходимости: по распреде- лению, по вероятности, с вероятностью единица (почти наверное) и в среднем квадратичном. Выбор типа сходимости зависит от содержа- ния решаемой задачи. Так, если в задаче исследуется поведение от-

56

дельной траектории (реализации) процесса (например, динамика из- менения какого-либо экономического параметра отдельного пред- приятия), то естественно использовать для этой цели сходимость с вероятностью единица. В тех же случаях, когда исследователя инте- ресует коллективное поведение траекторий процесса (конкретно – средний по их множеству квадрат отклонения от предполагаемого предела), то следует применять сходимость в среднем квадратичном. Известно, что эти типы сходимости не находятся в импликативном отношении: из первого типа сходимости не следует второй, и наобо- рот; существенно и то, что каждый из этих типов сходимости влечет за собой сходимость по вероятности, из которой, в свою очередь, следует сходимость по распределению.

В системах управления и связи при анализе случайных процессов наиболее часто используется сходимость в среднем квадратичном. В этом случае рассматривается сходимость последовательности слу-

чайных величин {Xn}∞n=1 к случайной (в общем случае) величине Х в среднем квадратичном («в с.к.»), т.е. такая, что

lim M (Xn − X )2 = 0 .

n→∞

Для такого типа сходимости используются обозначения

Xn с.к.→ X или l.i.m Xn = X .

n→∞

Свойства этого типа сходимости последовательности случайных величин выражают следующие леммы.

Лемма 1. Пусть {Xm}∞m=1 , {Yn}∞n=1 , X и Y – случайные величины, за- данные на одном вероятностном пространстве, и

Тогда

Справедливость этой леммы вытекает из соотношений:

XmYn − XY = (Xm − X )(Yn − Y ) + (Xm − X )Y + (Yn − Y )X ;

MXmYn − MXY ≤ M (Xm − X )(Yn − Y ) + M (Xm − X )Y + M (Yn − Y )X .

57

Применяя неравенство Коши – Буняковского и используя условия леммы при m,n → ∞ получим:

отсюда

lim M X m Yn = M X Y .

m , n → ∞

Следствие. Полагая Yn ≡ Y ≡ 1, получим

Лемма 2. Сходимость в среднем квадратичном обладает свойст- вом фундаментальности по Коши в следующей форме. Пусть

{Xk }∞k =1 – последовательность случайных величин, для каждой из которых MXk2 < ∞ . Необходимым и достаточным условием сходимо-

сти в среднем квадратичном последовательности {X k }∞k=1 к некото-

рой случайной величине Х с MX 2 < ∞ является равенство

lim M (Ym − Zn )2 = 0

m,n→∞

для любых двух подпоследовательностей {Y }∞ = и {Z }∞= последо-

m m 1 n n 1

вательности

Доказательство этой леммы опускаем.

Лемма 3. Пусть снова {Ym}∞m=1 и {Zn}∞n=1 – любые подпоследова-

Первая часть леммы непосредственно следует из леммы 1.

58

Далее, из равенств

(Ym − Zn )2 = Ym2 − 2Ym Zn + Zn2 , lim M (Ym − Zn )2 = c − 2c + c = 0

с учетом леммы 2 следует, что Xk с.к.→ X , MX 2 < ∞, т.е. справед- ливость второй части леммы.

Роль элементов последовательностей случайных величин, фигу- рирующих в приведенных леммах, будут играть сечения исследуемо- го случайного процесса; счетные множества сечений процесса упо- рядочены в леммах целочисленными индексами.

Непрерывность случайного процесса второго порядка в среднем квадратичном определяется следующим образом.

Определение 1. Случайный процесс второго порядка непрерывен в среднем квадратичном при значении аргумента t, если выполнено условие

Определение 2. Случайный процесс второго порядка непрерывен в среднем квадратичном, если (2.9) выполняется для всех t T .

Непрерывность случайного процесса в среднем квадратичном, по сути, означает, что среднее значение квадрата разности двух сечений случайного процесса стремится к нулю по мере сближения этих се- чений.

Так как сходимость в среднем квадратичном влечет за собой схо- димость по вероятности, то для непрерывного в среднем квадратич- ном случайного процесса выполняется условие

t T , δ > 0 , lim P { | X (t + ε ) − X (t ) |< δ } = 1,

ε → 0

т.е. вероятность реализации случайного процесса, для которой рас- хождение ее значений для двух близких сечений Xt и Xt +ε не пре-

вышает заданной величины δ, стремится к единице по мере сближе- ния этих сечений процесса.

Это свойство случайного процесса вовсе не означает непрерыв- ность его реализаций: последнее осуществляется (с вероятностью единица), если элементы ω множества исходов Ω, для которых реа-

59

лизации x(ω;t) процесса X(t) непрерывны для всех t, образуют мно- жество A, вероятностная мера которого равна единице, т.е.

P(A) = P{ω : lim x(ω;t + ε) = x(ω;t) для всех t} = 1 .

ε→0

Такое определение непрерывности случайного процесса основано на сходимости с вероятностью единица, которая, однако, не следует из сходимости в с.к. (возможно существование случайного процесса, все реализации которого разрывны, но сам процесс является непре- рывным в с.к.).

Для непрерывных случайных процессов в с.к. справедливы сле- дующие теоремы.

Теорема 1. Необходимым и достаточным условием непрерывно- сти случайного процесса Х(t) в среднем квадратичном при значении аргумента t является непрерывность при t1 = t2 = t ковариационной функции K (t1, t2 ) , определенной выше, или, что то же, непрерыв- ность математического ожидания т(t) и корреляционной функции R(t1, t2 ) случайного процесса Х(t).

Достаточность следует из следующих соотношений:

M[X (t + ε) − X (t)]2 =

=MX (t + ε)X (t + ε) − 2MX (t + ε)X (t) + MX (t)X (t) =

=K (t + ε, t + ε) − 2K (t + ε, t) + K (t, t) → 0 при ε → 0.

Производная случайного процесса в среднем квадратичном.

Теперь можно ввести понятия производной и дифференцируемости случайного процесса в среднем квадратичном смысле.

Производной X ′(t) случайного процесса второго порядка Х(t) в среднем квадратичном в точке t называется предел

(если он существует).

Случайный процесс второго порядка Х(t) является дифференци-

руемым в среднем квадратичном в точке t, если в этой точке сущест- вует предел (2.10).

Если (2.10) выполняется при всех t (t1, t2 ) , то случайный про-

цесс дифференцируем в среднем квадратичном на интервале (t1, t2 ) .

60