Теория принятия решений. Учебное пособие

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Ульяновский государственный педагогический университет имени И.Н. Ульянова»

(ФГБОУ ВО «УлГПУ им. И.Н. Ульянова»)

Глухова Н.В.

ТЕОРИЯ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

Учебное пособие

Ульяновск

2017

Глухова Н.В. – кандидат биологических наук, доцент кафедры высшей математики факультета физико-математического и технологического образования Ульяновского государственного педагогического университета имени И.Н. Ульянова.

Г 55 Глухова Н.В.

Теория принятия решений: учебное пособие. / Глухова Н.В. – Ульяновск: ФГБОУ ВО «УлГПУ им. И.Н. Ульянова», 2017. – 48 с.

6+

Учебное пособие предназначено для подготовки магистров направления 44.04.01 «Педагогическое образование», Профиль: «Методология физикоматематического образования», изучающих дисциплину «Теория принятия решений», а также для подготовки бакалавров направлений «Управление персоналом» и «Сервис», изучающих дисциплину «Методы принятия управленческих решений». Пособие может быть также полезно при изучении дисциплины «Прикладные вопросы алгебры в экономике» для студентов бакалавриата, обучающихся по направлению подготовки «педагогическое образование» и в изучении ряда других смежных дисциплин.

УДК 519.85+ 65.01

ББК 22.18 + 65.290

Глухова Н.В., 2017ФГБОУ ВО «УлГПУ им. И.Н. Ульянова», 2017

2

ВВЕДЕНИЕ

Деятельность любого профессионала (педагога, менеджера, экономиста) неразрывно связана с необходимостью принимать те или иные решения, причем делать это регулярно и в большом количестве. Теория принятия решений предлагает здесь богатые возможности: методы математического моделирования полезны в различных сферах деятельности, связанных с выбором наилучшей альтернативы из множества возможных. Кроме того, учителю необходимо иметь представление о роли и месте преподаваемой им дисциплины в практической деятельности, учитель математики должен уметь демонстрировать возможности еѐ применения. Теория принятия решений даѐт большой иллюстративный материал такого рода. В настоящем пособии можно найти целый ряд задач практического характера, в которых для принятия рационального решения применяется математический аппарат.

Пособие знакомит читателя с возможностями применением математических методов при принятии решений, а также к преподаванию математики в образовательных учреждениях различного уровня с профессиональной ориентацией на управленческие умения. В пособии рассмотрены основные методы принятия решений в различных ситуациях, условия и факторы качества принимаемых решений, методы анализа эффективности принятых решений.

Классификации решений. В практической деятельности человек (или группа лиц) сталкивается с необходимостью выбора одного или нескольких альтернативных вариантов решений (действий, планов поведения). О принятии решения мы говорим только в той ситуации, когда у лица, принимающего решения (ЛПР) есть по меньшей мере два варианта действия в некоторой проблемной ситуации, то есть имеется возможность выбора из некоторого числа альтернатив. Каждый вариант выбора (выбор альтернативы) приводит к некоторому результату, который может оказаться лучше или хуже, чем результат выбора других альтернатив по тем или иным показателям (критериям). Под принятием решений понимается выбор наиболее предпочтительного решения из множества допустимых альтернатив. Решение принимается ЛПР с определенной целью (решение проблемы или развитие организации), а также подразумевает меры по реализации данного решения. Решение в менеджменте имеет социальные последствия. Принимаемые решения можно классифицировать по ряду оснований.

По сфере деятельности выделяют производственные, технические, технологические, экономические, социальные решения

По объекту управления выделяют маркетинговые, производственные, финансовые, кадровые и другие.

По степени обоснованности можно выделить следующие основные типы решений.

Интуитивные решения, то есть решения, основанные на ощущениях ЛПР, на его часто неосознанном предыдущем опыте. Нельзя сказать, что такие решения являются плохими решениями. В ряде случаев они позволяют достаточно быстро прийти к достаточно хорошим результатам, особенно если специалист, принимающий решения имеет богатый опыт деятельности. Бывает, что опытный менеджер по кадрам уже только посмотрев на кандидата или услышав от него несколько слов, уже может определить годится ли этот кандидат на предполагаемую должность или нет. Однако такие решения подвержены большому риску – в изменившейся ситуации они будут приводить к ошибкам (если нужно будет искать кандидата на новую работу, с которой данный специалист раньше не сталкивался, его ощущения могут его подвести). Кроме того, такой способ принятия решений совершенно недоступен начинающему специалисту, а специалист с опытом не имеет возможности свой опыт передать. Поэтому, даже в том случае, когда специалист с богатым опытом уже умеет хорошо принимать интуитивные решения, желательно, чтобы он пытался каким-то

3

образом «рационализировать» свои решения, то есть старался анализировать и отдавать себе отчет в том, что именно заставляет его так думать.

Решения, основанные на суждениях, то есть решения, обусловленные рассуждениями, основанными на знаниях или накопленном опыте. Человек использует знание о том, что случалось в сходных ситуациях ранее и прогнозирует результат. Альтернатива выбирается на основании логики и здравого смысла.

Рациональные решения. Главное различие между решениями рациональным и основанным на суждении заключается в том, что рациональное решение не зависит от прошлого опыта. Рациональное решение обосновывается с помощью объективных критериев, чаще всего на основании точных или вероятностных математических расчѐтов. Именно этот способ принятия решений наиболее подходит начинающему специалисту. В настоящем учебном пособии мы будем изучать исключительно рациональные способы принятия решений.

По количеству критериев качества решения. При решении задачи принятия решений необходимо задание той или иной оценочной структуры (оценочной функции), для построения которой необходим некоторый измеримый показатель результативности исходов

– критерий оптимальности решения. Очень часто в практических ситуациях принятия решений исходы оцениваются не по одному, а по нескольким критериям. В связи с этим разделяют: однокритериальные и многокритериальные решения (если критериев более одного). Например, при приеме на работу важными критериями оценки могут служить квалификация, образование, возраст, коммуникабельность, стаж. Среди выбираемых кандидатов одни, как правило, превосходят других по одним критериям, другие – по другим, что осложняет задачу принятия правильного решения. В экономических задачах основным критерием чаще всего служит прибыль (увеличение доходов или уменьшение расходов). Задачу принятия решения с целью получения максимальной прибыли можно считать однокритериальной. В то же время надо иметь в виду, что во многих ситуациях данный критерий не является единственным важным (например, если производство связано с вредными выбросами в атмосферу, то можно решать многокритериальную задачу – минимизацию выбросов при максимизации доходов). В случае, если решается задача о проведении рекламной акции, то совершенно нецелесообразно решать ее как задачу минимизации расходов на это мероприятие (тогда наилучшим решением будет не делать ничего и получить расход ноль). В такой ситуации необходим другой критерий – например, максимальное участие в акции целевой аудитории.

По функциональной направленности выделяют: планирующие, организующие, активизирующие, координирующие, контролирующие, информирующие решения.

По времени действия выделяют: стратегические решения (решения относительно глобальных целей организации, средств их достижения, длительность реализации таких решений 3 – 5 лет), тактические решения (решения о задачах и подзадачах организации, направленных на выполнение общего плана по шагам, длительность реализации обычно 1 – 3 года), текущие решения (решения принимаемые в повседневной деятельности). Иногда из числа текущих также выделяют оперативны решения (срочные решения, принимаемые в экстремальных ситуациях). Так, например, решение о внедрении в деятельность организации современных наукоѐмких технологий - в этой связи принимается решение о привлечении к работе в организации высококвалифицированных специалистов. Тактическим решением является решение о способе повышения уровня квалификации работающего персонала – это может быть либо решение об их отправке на стажировку, либо решение о приглашении тренера-консультанта в организацию, который бы занимался обучением работающих специалистов без отрыва от производства; может быть также принято решения об увольнении некоторых специалистов и приеме на их место новых. Текущими решениями являются решения о приеме на работу того или иного кандидата, о допуске или не допуске к работе нарушителя, о мерах поощрения отдельных сотрудников, о проведении регулярной

4

аттестации. Оперативным решением будет выбор и отправка группы специалистов-экспертов для устранения каких-то возникших неожиданно нарушений.

По технологии разработки решения выделяют: запрограммированные решения (результат реализации определенной последовательности шагов или действий) и незапрограммированные решения (принимаются в новых, внутренне неструктурированны или сопряжены с неизвестными факторами ситуациях).

По количеству лиц, принимающих решения, выделяют индивидуальные, групповые, коллективные решения. Особое внимание требуется обратить на решения принимаемые экспертами.

По количеству альтернатив решения разделяют на бинарные (когда вариантов решения только два, тип да/нет, например, брать кандидата на работу или не брать), многоальтернативные (вариантов много, например, имеется несколько кандидатов, кого из них выбрать), инновационные (альтернатив пока не выработано, необходимо самостоятельно их отыскать).

По причинам возникновения выделяются инициативные решения и решения по предписанию.

По степени информированности ЛПР выделяют решения принимаемые в условиях определѐнности (детерминированные решения, все условия известны, необходимо только правильно подсчитать последствия), решения принимаемые в условиях риска (нет точных сведений о результатах действий, но известны их вероятности, есть некоторая статистическая информация о том, каков исход более вероятен, каков менее, такие решения еще называют стохастическими) и решения принимаемые в условиях неопределенности (ситуация новая, информации о вероятности результатов нет).

Данная классификация является далеко не полной, можно выделить и целый ряд других классификаций. В настоящем пособии мы в первую очередь разделим весь материал на детерминированные (глава 1 и 2) и стохастические задачи (большая часть главы 3). Затем в детерминированных задачах мы вначале рассмотрим однокритериальные задачи (глава 1), а затем – многокритериальные (глава 2).

Глава 1. Методы математического программирования при принятии решений

вусловиях определѐнности

1.1.Основные задачи теории принятия решений

Одной из основных задач менеджера является задача принятия решений, то есть выбора наиболее рационального способа действия из имеющегося (часто бесчисленного) множества альтернатив. Ведь эффективный менеджер, прежде чем отдать какое-либо распоряжение своим подчинѐнным, должен быть уверен в том, что это распоряжение приведѐт к наилучшему возможному результату. Выбор той или иной альтернативы может весьма существенно повлиять на результативность деятельности. Так, например, правильное решение о направлении необходимого количества специалистов на переподготовку может существенно увеличить прибыльность фирмы, в то время как неправильное решение будет приводить к ненужным и значительным расходам (если на переподготовку было отправлено неоправданно большое количество сотрудников); правильное решение о распределении поручений между сотрудниками может существенно сэкономить затраченное на выполнение всей работы время, в то время как ошибочные решения будут приводить к ненужному простою слишком свободных сотрудников или к срывам сроков исполнения работ, если сотрудники окажутся слишком загруженными, либо их количество окажется недостаточным. Правильное же управленческое решение всегда должно быть оптимальным в некотором смысле (например, обеспечивать максимальную прибыль или минимальные издержки).

Задача выбора наилучшей (оптимальной) альтернативы является довольно сложной: во-первых, нужно учесть все возможные альтернативы, чтобы не оказалось, что наилучшей

5

была как раз та, о которой «и не подумали». Затем необходимо понять все ли альтернативы являются допустимыми (ведь не всякое очень красивое решение можно реализовать – может не хватить ресурсов, либо это решение может не соответствовать законодательству, и, будучи очень результативным в воображении, окажется абсолютно неосуществимым на практике). Наконец нужно уметь предвидеть последствия и результаты принимаемых решений. Опытные специалисты очень часто могут принимать правильные решения интуитивно. При этом они опираются на знания, накопленные в процессе предыдущей работы. Такой специалист просто заранее знает, какое решение сработает, а какое нет. Однако для начинающих специалистов интуитивный метод принятия решений оказывается малопригодным. Разумеется, всегда можно идти методом проб и ошибок и рано или поздно накопить необходимый опыт, но такой путь является весьма затратным. Наряду с интуитивным методом существует и другой, аналитический метод принятия решений, который опирается на точные цифры и факты, а также на знание взаимосвязей между принятым решением и его последствиями, выраженными в количественной форме, то есть в виде некоторых математических формул. Такие формулы, описывающие реальную практическую ситуацию, называются математическими моделями. Результативность применения точных аналитических методов уже не зависит от наличия или отсутствия предыдущего опыта. Если модель составлена правильно, то все специалисты, пользующиеся ею, придут к одинаковым результатам. Однако в любых моделях мы всегда допускаем некоторые упрощения – то есть, не учитываем влияние тех или иных факторов. То, какие факторы учитывать, а какими можно пренебречь, зависит от конкретной сферы деятельности и здравого смысла лица составляющего модель. Например, погодные условия, вероятно, каким-то образом будут влиять на производительность труда офисных сотрудников, но это влияние будет, скорее всего, не слишком значительным и можно им пренебречь без всякого ущерба для качества модели, в то же время, пренебрегать погодными условиями, планируя, например, деятельность фермерского хозяйства, не следует ни в коем случае. К счастью, очень многие практические ситуации, существенно различные с содержательной точки зрения, можно описать достаточно сходными математическими моделями. Одной из таких очень часто встречающихся моделей является так называемая задача линейного программирования (ЗЛП). Рассмотрим подробно некоторые из этих задач. Пусть необходимо организовать перевозку некоторого продукта от нескольких пунктов его производства (хранения) S1, S2, … Sm, количество которых равно m (их мы условно назовѐм складами), к пунктами потребления P1, P2, … Pn, количество которых равно n (их мы условно назовѐм покупателями). Каждый склад имеет определѐнный запас продукта. Через аi обозначим запас продукта на складе с номером i (i меняется от 1 до m). Каждый покупатель нуждается в определѐнном количестве продукта, которое мы для j-го покупателя обозначим символом bj (j меняется от 1 до n).

Перевозки от каждого склада к каждому покупателю сопровождается различными издержками (что связано с различными расстояниями между пунктами отправки и пунктами потребления, качеством дорог, наличием железнодорожного сообщения или напротив, необходимостью доставлять груз самолѐтом, а также с рядом других возможных причин, влияющих на стоимость перевозки). Обозначим через сij стоимость перевозки единицы груза со склада Si к покупателю Рj. Все данные удобно представить в виде таблицы:

Замечание. Если фактическая перевозка от некоторого склада к некоторому потребителю по каким-либо причинам невозможна, то для общности задачи можно самим установить неразумно большую стоимость для данной перевозки (с тем, чтобы данная перевозка заведомо оказалась невыгодной) и занести это определенное нами большое число в таблицу.

Если стоимость перевозки прямо пропорционально количеству перевозимого груза, то есть затраты на перевозку одной единицы груза со склада Si в пункт потребления Pj составят cij денежных единиц, двух единиц груза – 2cij, трѐх единиц груза – 3cij, и, в общем виде, затраты на перевозку хij единиц груза составят cijхij денежных единиц, то мы будем иметь дело с задачей линейного программирования (в некоторых случаях такая пропорциональность отсутствует, методы линейного программирования к таким ситуациям неприменимы, но возможно использование методов динамического программирования, о которых пойдет речь далее). Менеджеру необходимо составить оптимальный план перевозок, то есть определить, с какого склада отправлять продукцию каждому покупателю с тем, чтобы транспортные расходы были как можно меньше. Иными словами, задача менеджера может быть сформулирована как задача минимизации транспортных расходов. Искомый (пока неизвестный) план перевозки груза обозначим как вектор х = (х11, …, х1n, х21, …, х2n, …, хm1, …, хmn). Если реальная перевозка со склада Si в пункт потребления Pj отсутствует, то хij будет просто равно 0.

Существенной характеристикой описываемой модели является соотношение параметров аi и bj. Если суммарные запасы на всех складах равны суммарным потребностям всех потребителей:

то транспортная задача называется сбалансированной (закрытой, замкнутой). При выполнении условия сбалансированности разумно потребовать, чтобы продукт вывозился со складов полностью, и все потребители получили необходимое количество продукта. Это требование можно выразить в виде следующих формул.

1. Ограничение на удовлетворение потребностей во всех пунктах потребления (суммарное количество груза, доставленного покупателю со всех складов x1j + x2j + … + xmj, должно в точности совпадать с его потребностью в данном грузе bj):

i 1

2.Ограничения на возможности вывоза запасов из всех пунктов производства (суммарное количество вывозимого груза со склада Si равно запасу данного груза на складе):

n

xi1 + x i2 + … + x in = xij ai , i 1,...,m .

j1

3.Кроме того, всегда имеют место условия неотрицательности переменных хij (мы

не можем вывести отрицательное количество груза):

хij ≥ 0, j 1,...,n i 1,...,m .

складах превышают суммарные запросы покупателей), то транспортная задача называется бездефицитной. В этом случае ограничения на удовлетворение запросов покупателей сохраняют вид равенств:

x1j + x2j + … + xmj = bj,

(нет необходимости доставлять покупателю больше или меньше груза, чем ему необходимо),

7

в то время как ограничения на возможность вывоза приобретают вид неравенств:

xi1 + x i2 + … + x in ≤ аi,

(мы вывозим только необходимое количество груза, остальной груз остаѐтся на складе).

покупателей), то транспортная задача называется дефицитной. Это означает, что продукта на складах недостаточно для того, чтобы обеспечить потребности всех покупателей, какие-то покупатели в любом случае не будут удовлетворены. В этом случае менеджер может выбрать тех покупателей, кому ему наиболее выгодно доставить продукт. Если нет иных приоритетов, то менеджер выберет тех покупателей, доставка груза которым обойдѐтся ему дешевле, либо некоторых покупателей обеспечит не полностью. В этом случае ограничения на возможность вывоза сохраняют вид равенств:

x1j + x2j + … + xmj = bj,

(нет смысла хранить на складе дефицитный товар, если его можно выгодно продать), в то время как ограничения на удовлетворение запросов покупателей приобретут вид неравенств:

xi1 + x i2 + … + x in ≤ аi,

(заведомо не все запросы покупателей могут быть удовлетворены, доставлять покупателям больше, чем они просили, тем более нет смысла). Разумеется, ограничения на неотрицательность всех переменных остаются в силе как для дефицитной, так и для бездефицитной задачи.

Если мы предположим, что затраты на перевозку прямо пропорциональны количеству перевозимого груза, то суммарные затраты на перевозку со всех складов ко всем покупателям можно будет вычислить по формуле:

m n

f(х) = cij xij = c11х11 + c12х12 + … + c1nх1n + … + cm1хm1 + … + cmnхmn. i 1 j 1

Задача минимизации функции расходов (которую мы далее будем называть целевой функции) при описанной системе ограничений называется транспортной задачей.

На первый взгляд может показаться, что данная задача не представляет интереса для менеджеров по персоналу. Однако это не верно. Во-первых, если организация, в которой работает менеджер по персоналу, занята какими-либо перевозками, то менеджеру по персоналу необходимо уметь заранее спрогнозировать количество персонала, необходимого для осуществления планируемых перевозок (количество водителей, грузчиков и т.п.). Вовторых, с совершенно аналогичной задачей можно столкнуться, если необходимо не перевозить грузы, а отправлять сотрудников в командировки к различным клиентам, проживающим в других городах (см., например, задачу 1.6. для самостоятельного решения). Наконец, данная задача, как по математической формулировке, так и по методам решения, весьма сходна с задачей об оптимальном назначении, которую мы рассмотрим ниже.

Задача об оптимальном назначении

Пусть в организации имеются сотрудники нескольких различных квалификаций S1, S2, … Sm, и пусть организация должна выполнять несколько видов работ P1, P2, … Pn. Сотрудники различной квалификации выполняют работу с разной производительностью, что влияет на прибыль, которую получит организация. Прибыль от выполнения одним сотрудником квалификации Si работы вида Рj обозначим через сij. Через аi обозначим общее количество сотрудников квалификации Si. Количество сотрудников, необходимых для выполнения всех работ вида Рj мы обозначим символом bj. Менеджеру необходимо составить оптимальный план назначений, то есть определить, какое количество сотрудников каждой квалификации нужно отправить на выполнение поступивших заказов. Вновь, как и в транспортной задаче, обозначим искомый план как вектор х:

х = (х11, …, х1n, х21, …, х2n, …, хm1, …, хmn).

Здесь хij – количество сотрудников квалификации Si направляемых на выполнение работы Pj. Естественной целью этой задачи является достижение максимальной прибыли,

8

сотрудников каждой квалификации, направленных на каждый из видов работ). Таким образом, целевая функция f(х) выглядит в точности также как и в транспортной задаче, однако в данном случае требуется не минимизировать, а максимизировать эту функцию.

отказаться.

Ограничения на возможные значения координат вектора х в этом случае имеют вид: 1. Ограничение на удовлетворение потребностей всех заказчиков:

а) все заказы должны быть выполнены, если имеется необходимое для выполнения

i 1

недостаточно для выполнения всех заказов).

2. Ограничения на количество сотрудников определѐнной квалификации:

n

xij ai (мы должны использовать весь имеющийся персонал).

j 1

3. Условия неотрицательности компонентов вектора плана (мы не можем направить

отрицательное количество сотрудников на выполнение работы):

хij ≥ 0, j 1,...,n i 1,...,m .

Таким образом, и целевая функция, и система ограничений данной задачи ничем не отличается от транспортной задачи.

Задача об оптимальном использовании ресурсов (задача производственного планирования)

Пусть некоторое предприятие (фирма) может производить продукцию n различных видов. В процессе производства используется m видов ресурсов (под ресурсами можно понимать сырьѐ, денежные средства, рабочее время, трудовые ресурсы и т.д.). Применяемые технологии характеризуются определенным количеством ресурса, затрачиваемого на производство единицы продукта. Обозначим через aij количество i-го ресурса (i меняется от 1

9

до m), выраженное в некоторых определѐнных единицах, которое тратится на производство единицы j-го продукта (j меняется от 1 до n). Если какой-то ресурс вообще не используется при производстве некоторого продукта, то соответствующее значение аij полагаем равным 0. Также будем считать, что выполняется условие линейности затрат: на производство хj единиц j-го продукта тратится а1jхj единиц первого ресурса, а2jхj единиц – второго, и так далее. Тогда общие затраты по i-му ресурсу на производство всех продуктов можно выразить в виде суммы:

n

аi1x1 + аi2x2 + … + аinxn = aij x j . j 1

Ресурсы всегда ограничены. Через bi максимально доступное количество i-го ресурса, которое можно потратить в производственном процессе. В математической форме ограничения на количество ресурсов представляются в виде системы m неравенств:

К системе ограничений также должны быть добавлены естественные ограничения неотрицательности компонентов плана производства (действительно, мы не можем произвести отрицательное количество продукта):

х1 ≥ 0, ..., х j ≥ 0, ..., хn ≥ 0.

Обозначив через сj прибыль, получаемую от реализации единицы j-го продукта, получим выражение суммарного дохода от производства:

n

f(х) = с1x1 + с2x2 + … + сnxn = c j x j .

j1

Вэтой задаче все данные также можно представить в виде таблицы:

При внешнем сходстве эта таблица принципиально отличается от таблицы, составляемой для транспортной задачи. Во-первых, уже не идет никакой речи о балансе между суммарной прибылью от реализации единицы каждого товара и суммарным запасом ресурсов (последняя величина вообще часто не имеет никакого смысла, так как складываемые величины могут быть выражены в разных единицах: b1 – это, возможно, количество людей, а b2 – тонн угля или другого ресурса, складывать их между собой, а тем более сравнивать с ценой, выраженной в денежных единицах совершенно бессмысленно). Во-вторых, если в транспортной задачи коэффициенты целевой функции (издержки) находились в центральной части таблицы, то здесь они находятся только в нижней строке.

В рамках данной модели, вообще говоря, можно поставить различные задачи, но, скорее всего, самой «естественной» будет задача поиска такого плана производства (х1, х2 …

n

хn) который дает наибольшее значение суммарного дохода, т. е. целевой функции f = c j x j ,

j 1

10