Теория принятия решений. Учебное пособие

принимающее решение, определяет наилучший вариант, руководствуясь какими-то дополнительными факторами, не указанными в задаче). Для определѐнности выберем клетку

(200, 300).

Таблица 3. Прибыль от вложения средств в первое, вторе и третье предприятия:

Итак, вторая строка таблицы 3 соответствует наилучшим результатам инвестирования средств, указанных в первой строке при условии, что в первое предприятие вложений не делалось. Продолжим заполнение таблицы 3. Теперь в первый столбец внесѐм возможные инвестиции в первое предприятие, а во второй столбец – соответствующие прибыли (копируется столбец таблицы 1, соответствующий прибыли от первого предприятия). В остальные клетки заносятся соответствующие прибыли от суммарных инвестиций. Например, клетка (100, 100) теперь соответствует инвестированию 100 тысяч рублей в первое предприятие (что принесѐт прибыль 30 тыс. рублей) и наилучшему суммарному инвестированию ста тысяч рублей во второе и третье предприятие (полученному из таблицы 2 и равному 50 тыс. рублей). Поэтому в клетку (100, 100) заносится значение 80 = 30 + 50. Самым большим числом в таблице 3 является число 270, находящееся в клетке (0, 700). Это значение соответствует максимальной прибыли, которая может быть получена в данной экономической ситуации. Такой финансовый результат достигается, если вкладывать 0 тыс. рублей в первое предприятие и 700 тысяч рублей во второе и третье, что видно из номера клетки (0, 700). Оптимальное распределение 700 тысяч рублей между вторым и третьим предприятиями уже было найдено ранее (оно указано в верхней строке таблицы под числом 700) – это вложение 100 тысяч во второе предприятие и 600 тысяч в третье предприятие (клетка (100, 600) из таблицы 2). Таким образом, мы определили максимальную прибыль 270 тысяч рублей от инвестирования 700 тысяч в три рассматриваемых предприятия. Оптимальный план действий – инвестировать 100 тысяч во второе предприятие (прибыль в 50 тысяч рублей) и 600 тысяч в третье предприятие (прибыль 220 тысяч рублей).

Заметим также, что из последней таблицы мы можем сразу получить оптимальные планы инвестирования меньших сумм (600 тысяч, 500 тысяч и т.д.). Эти результаты могут быть использованы при решении других, более сложных, задач (например, если можно инвестировать средства в 4 и более предприятий). В нашем случае, когда имеется только три предприятия, для решения задачи в последней таблице достаточно заполнить только нижнюю диагональ, через которую в таблице 3 проведена линия – решение ещѐ более сокращается.

Задания для самостоятельного решения

1.1. Фирма выпускает два типа строительных блоков – обычные и улучшенные. При этом производятся две основные операции – прессование и отделка. Требуется составить

21

оптимальный план выпуска блоков, если чистая прибыль от продажи одного обычного блока составляет 100 рублей, а улучшенного – 180 рублей. Материальные и временные затраты при этом заданы в таблице:

Определите цены, по которым конкурирующая фирма может перекупить наше рабочее время и расходные материалы.

1.2. В таблице указан доход, который приносят фирмы (предприятия) при инвестировании в них сумм, указанных в левом столбце. Составьте оптимальный план распределения капиталовложений, при котором будет достигнут максимальный доход.

а) Имеется капитал 10 тыс. долларов

б) Имеется капитал в 400 тысяч рублей.

1.3. Для поиска сотрудников размешается реклама в пяти видах СМИ. Бюджет на рекламу составляет 10000 рублей. Число пользователей каждого типа СМИ и стоимости рекламы приведены в таблице.

Составьте оптимальный план распределения средств, с целью максимизации количества людей, увидевших рекламу.

1.4. Пусть в фирме работает n сотрудников равной квалификации, каждому из которых (либо нескольким одновременно) можно поручить выполнение некоторых видов работ (заказов). Доходность от выполнения заказа меняется, в зависимости от того, сколько сотрудников

22

одновременно задействовано в его выполнении. Эти изменения не линейны и заданы с помощью таблиц (то, что начиная с некоторого количества, доходность перестаѐт возрастать, означает, что выполнение данного заказа не требует столь большого количества сотрудников). Составьте оптимальный план распределения сотрудников, при котором обеспечен максимальный доход:

а) Общее количество сотрудников равно n = 10

б) Общее количество сотрудников равно n = 40

1.5. В самолѐт загружаются предметы 3 наименований. Их вес (в тоннах) и доход (в тысячах долларов), получаемый от загрузки одного предмета каждого наименования, приведены в таблице:

а)

Грузоподъѐмность самолѐта 4 тонны. Составить план загрузки самолѐта, с целью получения максимальной прибыли.

б) решить ту же задачу, если грузоподъѐмность самолѐта 3 тонны. в) та же задача, Грузоподъѐмность самолѐта 6 тонн.

23

д) Грузоподъѐмность самолѐта 14 тонн

1.6. Для перевозки 30 человек возможно арендовать любые из трех типа транспортных средств: автобусы, вместимостью 20 человек пассажиров (стоимость аренды автобуса 800 руб.), газели вместимостью 12 пассажиров (стоимость аренды – 500 рублей) и такси вместимостью 4 пассажира (стоимость аренды 200 рублей). Какие транспортные средства следует нанять с целью минимизации стоимости перевозки?

1.7. Найдите минимум целевой функции F = x4 – x5 при ограничениях

х1 = 1 – х4 + 2х5

х2 = 2 + 2х4 – х5

х3 = 3 – 3х4 – х5 и условии неотрицательности всех переменных. Составьте двойственную задачу и решите еѐ.

Глава 2. Принятие решений при многих критериях (многокритериальная оптимизация)

В главе 1 мы сталкивались с ситуацией, когда в задаче рассматривался только один признак, по которому мы оценивали качество решения – целевая функция, которая задавала один критерий. Однако, как отмечалось ранее, при решении практических задач нередко приходится иметь дело с ситуациями, когда качество решения необходимо оценить по нескольким критериям. Например, в стремлении приобрести товар и лучше, и дешевле, покупатель сталкивается с тем, что товар, вполне подходящий по цене, не удовлетворяет по качеству, а высокое качество товара поднимает и цену.

Решение многокритериальных задач начинается с выделения значимых критериев. При составлении системы критериев надо придерживаться следующих правил. Критерии должны соответствовать целям задачи, они должны быть измеримыми, то есть оцениваемыми в некоторых единицах (в случаях, когда это сделать затруднительно, например, когда эти критерии относятся к категориям «нравится – не нравится», можно использовать оценки вариантов в баллах). Система критериев должна как можно более полно описывать варианты выбора, то есть должны быть учтены все критерии выбора, но вместе с тем надо иметь в виду, что чем меньше критериев выделено, тем проще решается задача. Полнота системы критериев может считаться достигнутой, если введение дополнительного частного критерия не изменит вариант выбора. Для того чтобы избежать ненужного усложнения задачи, надо выбирать критерии так, чтобы они не зависели один от другого. Например, совершенно излишним является введение одновременно критерия минимизации издержек и максимизации доходов – лучше сразу рассчитывать доходы за вычетом издержек.

Итак, выделим все критерии и занумеруем их. Далее каждому альтернативному варианту будем приписывать определѐнную векторную оценку по каждому из критериев. Первой координатой векторной оценки альтернативы будет значение первого критерия при выборе этой альтернативы, второй координатой – значение второго критерия и т.д.

Определение. Критерий называется положительным, если решение будет тем лучше, чем больше значение данного критерия, и отрицательным в противном случае. При построении оценок критериев положительным критериям естественно приписывать знак плюс, а отрицательным – минус.

Например, при подборе кандидатов на работу секретаря в качестве критериев можно выбрать: стаж работы (положительный критерий), количество допущенных ошибок при пробном наборе текста (отрицательный критерий), возраст (отрицательный критерий),

24

количество иностранных языков, которыми владеет кандидат (положительный критерий), коммуникабельность (оценивается в баллах на основании собеседования или с помощью теста – положительный критерий).

Таким образом, каждой альтернативе а будет сопоставлен некоторый вектор (f1 (а), ... , fm(a)), в котором координата fi(a) ≥ 0, если критерий положительный и fi(a) ≤ 0, если критерий отрицательный.

Далее осуществим сравнение векторных оценок с помощью так называемого отношения доминирования по Парето, которое определяется следующим образом. Говорят, что векторная оценка у = (у1,..., уm) доминирует по Парето векторную оценку х = (х1, ... , хm) ,

если для всех индексов j (j меняется от 1 до m) выполняется неравенство yj xj, причѐм по

крайней мере для одного индекса j неравенство является строгим (про оценку х в этом случае говорят, что она доминируется по Парето оценкой у).

Очевидно, что если векторная оценка альтернативы а доминирует по Парето векторную оценку альтернативы b, то альтернатива а не хуже b по всем критериям, а хотя бы по одному (где неравенство строгое) является лучшей. Поэтому нет смыла выбирать альтернативу b, альтернатива а лучше. Поэтому, если для альтернативы b есть другая альтернатива, которая еѐ доминирует, то альтернативу b очевидно надо исключить из рассмотрения.

Определение. Альтернатива а* называется оптимальной по Парето, если он не доминируется по Парето никакой другой альтернативой. Таких альтернатив может быть несколько. Множество оптимальных по Парето альтернатив называется множеством Парето или границей Парето.

Для наглядности рассмотрим случай двух положительных критериев f1 и f2. Векторные оценки исходов представим точками координатной плоскости (по оси абсцисс откладываем значения критерия f1, а по оси ординат – значения критерия f2). Если множество допустимых альтернатив конечно, то мы получим множество отдельных точек (см. рис. 1 а), а если бесконечно, то более сложное множество (см. рис. 1 б).

Рис. 1.

В случае, представленном на рис. 1 а оптимальными по Парето являются исходы, обозначенные числами 4, 5, 7, 8. При этом каждый исход, не являющийся Паретооптимальным, доминируется по Парето некоторым Парето-оптимальным исходом (не обязательно одним). Например, 4 доминирует по Парето 2, т.к. 4 и выше и правее, чем 2, то есть лучше и по f1 и по f2, 10 доминируется по Парето альтернативой 5, и так далее. Значит все альтернативы кроме 4, 5, 7 и 8 можно отбросить. Альтернативы 7 и 8 уже не являются сравнимыми по Парето, нельзя сразу сказать какая из них лучше, так как 8 лучше по критерию f1 , а 7 – по критерию f2. Также несравнимыми являются и любые две другие альтернативы из Парето-оптимального множества.

Теперь рассмотрим ситуацию на рис. 1 б. Будем говорить, что точка является внутренней точкой множества, если от нее можно несколько сместиться в любом направлении, не выходя за пределы данного множеств. Остальные точки будем называть граничными точками данного множества (у них есть сколь угодно близко от неѐ

25

расположенные точки, которые не принадлежат данному множеству). Множество всех граничных точек множества называется его границей.

Все точки границы можно разбить на три класса:

- точки, которые можно сдвинуть так, чтобы одновременно увеличились обе координаты и при этом точки остались в множестве, он не являются оптимальными по Парето;

-точки, перемещением которых по множеству можно увеличить только одну из координат при сохранении значения второй (они тоже не оптимальны);

-точки, любое перемещение которых по множеству приводит к уменьшению хотя бы одной из координат – такие точки и будут образовывать границу Парето.

Говоря нестрого, граница Парето – это точки, которые нельзя сдвинуться на "север", "восток" либо "северо-восток", оставаясь в том же множестве. Таким образом, если оба критерия положительны, то граница Парето – это «северно-восточная» граница изображенного множества (показано жирной линией на рис. 1 б). На рис. 2 приведены несколько других примеров границ Парето (также выделено жирной линией). В самом правом множестве на рис. 2 граница Парето – одна точка, которая и будет оптимальным решением.

Рис. 2 Итак, ни одно из решений, не входящих в границу Парето не является наилучшим.

Выбор между решениями на границе Парето, если их несколько, уже является субъективным. Все зависит от того какой критерий считать более важным и насколько. К выбору оптимального решения в этом случае может быть несколько разных подходов, которые обладают своими достоинствами и недостатками, и во многих случаях дают разные результаты. Перечислим некоторые из них.

Лексикографическая оптимизация

Критерии располагают в порядке значимости. На первое место (первой координатой) располагают самый важный критерий, на второе – второй по значимости и так далее. Сравнивают векторные оценки альтернатив по первой координате, лучшей считается та, у которой первая координата больше. Если значения по первым координатам совпадают, то сравниваются вторые, лучшей будет большая, если таких опять несколько (т.е. равны и первые и вторые координаты, то переходят к сравнению третьих координат и т.д.).

Например, сравним данным способом оценки (2, 3, 4), (1, 4, 8), (2, 3, 6), (2, 1, 7), (2, 1, 2).

Оценка (1, 4, 8) хуже по первому критерию, ее отбрасываем, остальные равны по первому критерию – переходим ко второму. Оценки (2, 3, 4) и (2, 3, 6) лучше по второму критерию, чем (2, 1, 7), (2, 1, 2). Отбрасываем последние две. Наконец сравниваем оценки (2, 3, 4) и (2, 3, 6) по третьему критерию. Видим, что оценка (2, 3, 6) лучше. Выбираем альтернативу, соответствующую данной оценке.

Преимуществом такого метод является его простота в использовании: здесь даже нет необходимости проверять доминирование по Парето исходов, хотя обычно это делают предварительно. Нахождение границы Парето сразу позволило бы исключить вариант (2, 3, 4), который доминируется вариантом (2, 3, 6), и исход (2, 1, 2), который доминируется альтернативой (2, 1, 7). Недостатком этого подхода является то, что при незначительном превосходстве по первому критерию одного из вариантов остальные критерии вовсе не

26

учитываются. Например, если в качестве первого критерия при подборе кандидатов на работу секретаря выбран стаж работы, то кандидат, проработавший 10 лет, окажется более предпочтительным, если он сделает 20 ошибок при наборе текста и не знает иностранных языков, по сравнению с кандидатом, который проработал 9 лет, выполнил тестовое задание без ошибок и владеет 3 иностранными языками. Отчасти решить эту проблему позволяет следующий способ.

Субоптимизация

Среди всех критериев выделяют один из критериев, а по всем остальным критериям назначают нижние допустимые границы. Оптимальным при этом считается вариант, максимизирующий выделенный критерий и оценки которого по остальным критериям не ниже назначенных. Например, можно потребовать, чтобы количество допускаемых ошибок было не более двух и чтобы кандидат владел хотя бы одним иностранным языком, чтобы его возраст был не старше 30 лет, а коммуникабельность была не хуже, чем на 4 балла. Тогда уже из оставшихся кандидатов мы выберем того, у которого больший стаж. При такой постановке задачи мы в целом получаем однокритериальную задачу с системой ограничений. Такой подход позволяет отсечь заведомо недопустимые варианты, однако и он не лишен недостатков. Во-первых может оказаться так, что при установленных нами границах вообще ни один вариант не окажется допустимым (в этом случае надо снижать требования). Во-вторых этот подход также не устраняет возможности несущественного перевеса по выделенному критерию при существенном перевесе по всем остальным. Такой подход оправдан (как и лексикографическая оптимизация), если действительно есть основания считать один из критериев значительно более важным, чем другие. При примерной равнозначности критериев такой подход не дает хороших результатов.

Построение обобщенного критерия

Каждому критерию fj приписывается определенный вес pj, тем больший, чем более значим критерий. Затем составляется выражение F = p1f1 + p2f2 + … +pnfn. Затем решается задача нахождения максимума данной целевой функции. Метод может быть очень эффективным, учитывает значения по всем критериям, но составление «хорошего» обобщенного критерия является трудоѐмкой процедурой требующей правильного подбора весовых коэффициентов. Для получения хорошей оценки требуется достаточно точно соотнести во сколько раз один критерий важнее, чем другой (таков и должен быть весовой коэффициент). Здесь мы также часто сталкиваемся с проблемой несоответствия размерности (то есть фактически должны понять, что лучше метр или килограмм). Формирование такого критерия целесообразно, если в процессе деятельности менеджера приходится регулярно принимать очень большое количество однотипных решений (в этом случае можно составить пробный критерий и постепенно совершенствовать его, анализируя результативность) – в результате может быть выработан качественный критерий, по которому уже смогут работать даже неопытные менеджеры.

Возможным подходом к построению обобщенного критерия при примерно равнозначных по важности критериях является их нормализация. Частные критерии считаются нормализованными, если области их изменения совпадают. Нормализацию проводят различными способами – от применения более грубых шкал при измерении оценок, до вычисления разного рада статистик. Наибольшее распространение получила следующая методика нормализации. Вычисляется наибольшее и наименьшее значение критерия среди имеющихся вариантов. Затем из данного значения критерия вычитается наименьшее значение критерия и результат делится на разность между наибольшим и наименьшим значениями критерия.

Часто применяются многошаговые алгоритмы, в которых сужая исходное множества векторных критериев накладывая дополнительные ограничения постепенно доходят до

27

единственного решения. На каждом новом шаге обычно требуется новая уточняющая информация о важности критериев, что делает эти (многошаговые) методы трудоемкими..

Пример. Выбор места работы (заимствован из работы [36]).

Предположим, что Вам предстоит выбрать место работы из девяти вариантов, представленных в таблице 1. В качестве основных критериев выбраны: дневная зарплата, длительность отпуска, время поездки на работу. Так как критерий времени поездки отрицательный, оценки по этому критерию берутся со знаком минус. Какой вариант является оптимальным?

Таблица 1

Решение. Выделим множество оптимально по Парето. Вариант 3 доминирует по Парето вариант 9 (700 > 650, 36 > 35, - 40 ≥ - 40); вариант 6 доминирует по Парето варианты 2 и 8; вариант 7 доминирует по Парето вариант 1. Других пар находящихся в отношении доминирования по Парето, нет. Отбрасываем варианты 1, 2, 8, 9, получаем Паретооптимальное множество, состоящее из вариантов 3, 4, 5, 6, 7.

Таблица 2

Рассмотрим теперь лексикографический подход. Пусть критерии расположены в порядке их значимости, то есть зарплата более важна, чем длительность отпуска, а длительность отпуска более важна, чем длительность поездки. Тогда лучшим будет вариант 7, так как позволяет получить самую высокую зарплату.

Рассмотрим теперь второй подход (субоптимизация). Укажем нижние границы критериев. Наложим, например, следующие ограничения на оптимальное решение: выделенным критерием оставим заработную плату, но длительность отпуска установи на уровне не менее 35 дней; а время поездки — не более 40 мин. Этим огр аничениям уже не удовлетворяют вариант 6 (слишком короткий отпуск) и варианты 4 и 7 (слишком далеко ездить), Тогда оптимальным будет вариант 3 (самая высокая зарплата из оставшихся).

Третий подход: Нормализованный обобщенный критерий.

Максимальная возможная зарплата в наших вариантах 900 руб., минимальная 400. Произведѐм нормализацию наших вариантов по зарплате f1 (k), где k – номер варианта.

28

f1(5) = 400 400 0

900 400

f1(6) = 600 400 0,4

900 400

f1(7) = 900 400 1

900 400

Обозначив f2(k) длительность отпуска проведѐм нормализацию этого критерия

f2(3) = 36 30 0,2

60 30

f2(4) = 40 30 0,33

60 30

f2(5) = 60 30 1

60 30

f2(6) = 30 30 0

60 30

f2(7) = 35 30 0,17

60 30

Время поездки нормализуем аналогично, придем к следующей таблице Таблица 3

Считая зарплату более значимой, чем отпуск, а отпуск более значимым, чем длительность поездки припишем нормализованному критерию зарплаты вес 3, отпуску – 2, времени поездки 1. F = 3f1 + 2f2 + f1.

Тогда F(3) = 3 0,6 + 2 0,2 +1 0,4 = 2,6 F(4) = 3 0,8 + 2 0,33 +1 0,2 = 3,26 F(5) = 3 0 + 2 1 +1 0,9 = 2,9

F(6) = 3 0,4 + 2 0 +1 1 = 2,2

F(7) = 3 1 + 2 0,17 +1 0 = 3,34

Таким образом, самым лучшим будет вариант 7 с самой большой зарплатой, на втором оказался вариант 4, соответствующий второй по величине зарплате. Однако варианты с малой зарплатой расположились иначе – вариант 5 с наихудшей зарплатой оказался лучше, чем вариант 6 за счет существенного перевеса по длительности отпуска. При построении обобщенного критерия здесь мы допустили существенный произвол в выборе весовых коэффициентов 3, 2 и 1. Если бы мы выбрали иное соотношение коэффициентов, результат был бы другим. Облегчить правильность подбора весовых коэффициентов без процедуры нормализации можно, если попытаться оценить во сколько нам нужно увеличить дневную зарплату, чтобы мы огласились потерять лишний день отпуская? Ехать лишнюю минуту?

В случае, когда в задаче имеется два критерия, которые являются равноправными, очень удобным подходом к выбору наилучшего результата является метод идеальной точки. Метод идеальной точки состоит в отыскании на границе Парето точки, ближайшей к точке утопии (то есть точки, в которой достигается максимум по каждому из критериев, обычно эта точка не реализуется при заданных ограничениях, поэтому ее и называют точкой утопии).

29

Рассмотрим этот подход на следующем примере

Пусть на множестве w плоскости (х, у), определяемом системой неравенств

0 х 40 у 2

х 2 у 6

заданы два критерия U и V: U = x + y + 2

V = x – y + 6.

Требуется максимизировать обе функции.

Множество w представляет собой пятиугольник (рис. 3), вершины которого имеют следующие координаты: A(0,0), B(0,2), C(2,2), D(4, 1), E(4, 0).

Рис. 3.

В силу линейности критериев U и V пятиугольник АВСDЕ переходит в пятиугольник А*В*С*D*Е* (рис. 4), координаты вершин которого вычисляются по формулам для U и V.

А* (2,6), В* (4,4), С* (6,6), D*(7,9), Е*(6,10).

Рис. 4

Находим границу Парето. Это отрезок D*Е*. Точка утопии М* (7,10) (ее координаты

– это наибольшие значения U и V в этом многоугольнике).

Требуется найти на множестве Парето точку, ближайшую к точке утопии М*. Из рисунка видно, что искомая точка должна лежать на отрезке D*Е*. Запишем уравнение прямой D* Е* по двум точкам. Уравнения прямой по двум точкам (х1, у1) и (х2, у2) имеет вид:

В нашем случае осями координат являются не х и у, а u и v, подставляя координаты D*(7,9), Е*(6,10) в формулу, получим уравнение

30