Теория принятия решений. Учебное пособие

–(U – 7) = (V – 9) U +V =16.

Выразим одну из переменных: V = 16 – U. Таким образом все точки, лежащие на прямой имеют координаты (U, 16 – U). Кроме того, точки должны лежать в пределах отрезка С*D*, то есть 6≤ U≤ 7

По условию задачи нам нужно определить точку, расстояние которой от точки М*(7,10) минимально, то есть решить задачу на минимум. Расстояние между искомой

точкой (U, 16 – U) и точкой М*(7, 10) вычисляется по формуле: (U 7)2 (16 U 10)2 =

(U 7)2 (6 U )2 . Минимум можно найти с помощью производной данной функции.

Однако, замечая, что корень будет тем меньше, чем меньше подкоренное выражение, достаточно найти производную функции f(U) = (U – 7)2 + (6 – U)2 = 2U2 – 13U + 85, приравнять ее к нулю и найти корни (это будут точки экстремума).

f /(U) = (2U2 – 26U + 85)/ = 4U – 26 = 0, откуда U = 6.5. Левее данной точки производная отрицательна, правее – положительна, следовательно, мы имеем точку минимума.

V = 16 – U = 16 – 6.5 = 9.5.

Итак, идеальным будет значение U = 6.5, V = 9.5. Чтобы найти значения х и у, в которых можно достичь этого значения, решим систему

x + y + 2 = 6.5 x – y + 6 = 9.5

Складывая уравнения системы, получаем 2х + 8 = 16, откуда х = 4, вычитая же из первого второе, приходим к тому, что у = 0.5.

Задачи для самостоятельного решения

2.1. На графике изображена область допустимых значений двух целевых функций U и V, которые необходимо максимизировать.

Указать границу Парето и точку утопии. Найти оптимальное решение методом идеальной точки.

2.2. На множестве, определяемом системой неравенств, заданы два положительных критерия U и V. Принять решение методом идеальной точки.

2.3. Два друга предпринимателя решили установить общую аппаратуру в общем помещении, в котором они будут работать в две смены (один бизнесмен в одну – другой – в другую). Но, поскольку производимая продукция была различна, то оказалось, что их интересы не вполне совпадают. Дневная прибыль, которую может получить первый предприниматель на одном станке первого типа оказалась равна 2 тыс. руб, а на одном станке второго типа – 3 тыс. руб.

31

Для второго предпринимателя дневная прибыль с одного станка первого типа равна 6 тыс. руб, а со станка второго типа – 6 тыс. руб. Кроме того, в помещении можно было установить не более 10 станков любого типа; предельная сумма, которую предприниматели смогли выделить на приобретение станков оказалась равной 120 тыс. руб. Стоимость одного станка первого типа составляет 10 тыс. руб, второго – 15 тыс. руб. Определите компромиссное решение по определению оптимального соотношения устанавливаемых станков методом идеальной точки.

2.4. Имеется некоторое экологически вредное производство. Пусть х – количество оборудования (стоимостью 10 тыс. руб. за единицу), y – количество фильтров (стоимостью 5 тыс. руб. за единицу). Тогда прибыль фирмы рассчитывается по формуле U = 5x – 2y, а выбросы – по формуле V = x – y. На закупку оборудования и фильтров имеется не более 3 млн. руб. Составьте оптимальный план закупок.

Глава 3. Основы применения игровых методов в принятии решений

3.1. Методы матричных игры при принятии решений в условиях риска

Теория игр - это теория математических моделей, интересы участников которых различны, причем они достигают своей цели различными путями (способы, которыми действуют участники игры называются стратегиями, а участники игры игроками). Столкновение противоположных интересов участников приводит к возникновению конфликтных ситуаций. Необходимость анализировать такие ситуации, в свою очередь, привела к возникновению теории игр, задачей которой является выработка рекомендаций по рациональному образу действия участников конфликта. Возникновение теории игр как самостоятельной отрасли математики относят к 1944 г., когда Фон Нейман и Моргенштерн опубликовали свою работу «Теория игр и экономическое поведение».

Игры можно классифицировать по разным признакам.

1)По количеству игроков выделяют игры двух и n игроков. Первые из них наиболее изучены. Игры трѐх и более игроков менее исследованы из-за возникающих принципиальных трудностей и технических возможностей.

2)По количеству стратегий игры делятся на конечные и бесконечные. Если в игре все игроки имеют конечное число возможных стратегий, то она называется конечной. Если же хотя бы один из игроков имеет бесконечное количество возможных стратегий игра называется бесконечной.

3)По характеру взаимодействия игроков игры для n лиц делятся на бескоалиционные

(игроки не имеют права вступать в соглашения, образовывать коалиции) и коалиционные, в которых игроки могут вступать в коалиции, то есть договариваться между собой, играть вдвоем против третьего и т.п. В коалиционных играх выделяют подтип кооперативных игр.

Вкооперативных играх коалиции наперѐд определены и участники не могут выходить из одной коалиции и переходить в другую, как это в принципе возможно в коалиционных играх в общем случае.

4)По характеру выигрышей игры делятся на игры с нулевой суммой (общий капитал всех игроков не меняется, а перераспределяется между игроками; сумма выигрышей всех игроков равна нулю) и игры с ненулевой суммой. Можно также выделить антагонистические игры – игры в которых выигрыш одного означает ущерб для другого и неантагонистические

– возможны варианты, которые выгодны обоим игрокам одновременно. Игра с нулевой суммой всегда антагонистическая. Но обратное не всегда верно. Например, ситуация раздела рынка между двумя конкурирующими фирмами может быть представлена как игра с ненулевой суммой – каждый игрок выигрывает себе какую-то часть рынка, то есть оба получают определѐнный выигрыш одновременно, однако эта игра может являться антагонистической, так как чем больше выиграет один игрок, тем меньше останется другому

32

(если это игра двух лиц и других претендентов на данный рынок нет). Та же ситуация может оказаться неантагонистической, если фирмы производят несколько различные товары и может быть достигнута ситуация, когда один и тот же покупатель будет покупать одновременно и товары первой фирмы и товары второй фирмы (а излишняя конкурентная борьба, направленная на очернение деятельности конкурента может привести к тому, что клиенты не будут покупать товары ни той, ни другой фирмы).

5)По степени информированности выделяют игры с полной информацией (например,

ктаким играм относятся шахматы, каждый игрок полностью осведомлен о действиях другого игрока), с неполной информацией (игроки делают ходы по очереди, известен ход игрока, но неизвестны его последующие возможности) и с полным отсутствием информации (игроки делают ходы одновременно, не зная как сходит конкурент).

6)По виду функций выигрыша выделяются матричные, биматричные, непрерывные, выпуклые, сепарабельные игры, игры типа дуэлей и некоторые другие.

Матричная игра – это конечная игра двух игроков (А и В) с нулевой суммой, в которой выигрыш игрока А задаѐтся в виде матрицы. Если игрок А имеет m стратегий i = 1, 2, ..., m, а B имеет n стратегий j = 1,2,..., n, то выигрыши игрока А задаются матрицей

размера mxn, где аij – это выигрыш игрока А при условии, что игрок А применит стратегию i, а игрок В – стратегию j.

Такая матрица называется матрицей выигрышей или платежной матрицей. Строка матрицы соответствует номеру применяемой стратегии игрока А, столбец – номеру применяемой стратегии игрока В; на пересечении строки и столбца матрицы находится выигрыш игрока А, соответствующий применяемым стратегиям. Выигрыш игрока А равен проигрышу игрока В. Если игрок А проигрывает, то его проигрыш записывается в матрицу со знаком минус (например, если в матрице стоит выигрыш 2, то это означает, что игрок А выиграл 2 единицы, а игрок В проиграл 2 единицы, выигрыш –1 означает, что игрок А проиграл единицу, а игрок В – выиграл 1. Проведение каждой партии матричной игры сводится к выбору игроком А i-й строки, а игроком В – j-го столбца и получения игроком А (за счѐт игрока В) выигрыша аij.

Пусть, например, дана платѐжная матрица

Это означает, что оба игрока имеют по три стратегии. При этом, если игрок А выберет стратегию 1 (первая строка), а игрок В – стратегию 2 (второй столбец), то выигрыш игрока А будет составлять –3 (иначе игрок А проиграет 3 единицы). Если же при том же выборе игроком В второй стратегии игрок А также выберет стратегию 2, то его выигрыш уже составит 5 единиц, а игрок В проиграет эти 5 единиц.

Биматричная игра – это конечная игра двух игроков с ненулевой суммой, в которой выигрыши каждого игрока задаются матрицами отдельно для соответствующего игрока (в каждой матрице строка соответствует стратегии игрока А, столбец – стратегии игрока В, на пересечении строки и столбца в первой матрице находится выигрыш игрока А, во второй матрице – выигрыш игрока В).

Главным в исследовании игр является понятие оптимальных стратегий игроков. В это понятие интуитивно вкладывается такой смысл: стратегия игрока является оптимальной, если применение этой стратегии обеспечивает ему наибольший гарантированный выигрыш при всевозможных стратегиях другого игрока. Исходя из этих позиций, игрок А может

33

рассуждать следующим образом: для каждой строки он находит минимальное значение. В нашем примере с платежной матрицей

из первой строки выбирается –3, из второй 0, из третьей 2 (это выигрыш А, который он получит в худшем для него случае при применении соответствующей стратегии). Если игрок В будет видеть, что игрок А сходил именно таким образом, то, если игрок В разумен, он, конечно, сходит так, чтобы игрок А получил выигрыш поменьше (например, увидев, что игрок А выбрал стратегию 2 игрок В уже не будет выбирать стратегию 2, т.к. в этом случае он проиграет 5, вместо этого игрок В выберет стратегию один, результатом будет 0), то есть это действительно будет результатом игры в случае информированности конкурента о действиях другого игрока (чаще в реальных играх эта информация не является открытой и ходы делаются не поочередно, а одновременно, но этот же подход может быть применен, если игрок А действует из соображений осторожности, то есть рассчитывает на самое худшее, что может произойти). Затем из этих минимальных выигрышей (по строкам) игрок А выбирает наибольший. Обозначим его . Он и будет соответствовать той стратегии, которую игроку А следует применить, если его ход станет известен игроку В, или из соображений осторожности. Выбрав эту стратегию игрок А гарантирует себе выигрыш не хуже, чем (если игрок В не знает о решении игрока А или будет действовать неразумно, то выигрыш А может только увеличиться, т.к - наименьший выигрыш для данной стратегии). Число называется нижней ценой игры. В нашем примере = 2, и игроку А лучше придерживаться третьей стратегии (в случае применения второй стратегии он может получить 0, а в случае первой - проиграть 3, в случае же применения стратегии 3 он гарантированно выигрывает 2 единицы, а если игрок В еще и ошибется, то даже может выиграть 3 единицы)

Теперь, используя ту же платѐжную матрицу, проведѐм аналогичные рассуждения для игрока В. Его стратегии – это столбцы матрицы, а числа в матрице – его проигрыши. Игрок В, разумеется, будет стремиться к уменьшению своего проигрыша, поэтому худшее, что ждет его при применении конкретной стратегии – это самое большое число из соответствующего столбца. Поэтому игрок В выбирает из каждого столбца наибольшее, а затем ему следует из этих чисел выбрать наименьшее (обозначим его ) – это будет для него наилучшим вариантом. Число называется верхней ценой игры. В нашем примере при применении стратегии 1 игрок В в худшем для него случае может проиграть 2, при применении стратегии 2 – проиграть 5, при применении стратегии 3 – проиграть 4. Поэтому из соображений осторожности ему лучше выбрать стратегию 1. Так он проиграет меньше всего. Оформить эти рассуждения удобно следующим образом:

то есть в нашем случае = min {2, 4, 5} = 2 = , верхняя и нижняя цены игры совпали. Такое совпадение достигается далеко не всегда.

Определение. Если в матричной игре верхняя и нижняя цены игры совпадают ( = ), то говорят, что эта игра имеет седловую точку, а число = = называется в этом случае

34

ценой игры ( ). Седловая точка – это пара стратегий игроков А и В, соответствующая числу= , которое является одновременно минимальным в своей строке и максимальным в своем столбце.

В нашем примере цена игры равна 2, игра имеет седловую точку (3, 1), то есть для достижения результата 2 игрок А должен применить стратегию 3, а игрок В – стратегию 1. Обе эти стратегии (в случае наличия у игры седловой точки) являются наиболее выгодными для игроков. Если один из игроков попытается отклониться от своей оптимальной стратегии, то он может только ухудшить свое результат. В этом случае говорят также, что игра имеет решение в чистых стратегиях (то есть сколько бы раз не продолжалась эта игра и есть ли у игроков информация о действиях друг друга или нет, им выгодно всегда использовать одну и ту же свою «чистую» стратегию). Таким образом, игры с седловой точкой являются наиболее простыми и предсказуемыми, если оба игрока разумны, то результат известен заранее, если же один игрок будет неразумным, то второй (разумный) получит результат не хуже, чем цена игры.

Совершенно иначе дело обстоит в ситуации, когда игра не имеет седловой точки. Рассмотри эту ситуацию на примере платежной матрицы Н.

Здесь у игроков имеется по две стратегии. Игрок А выбирает минимумы из строк 10 и 20. = max{10, 20} = 20, то есть «осторожной»стратегией для игрока А является стратегия 2. Игрок В выбирает максимумы из столбцов 40 и 30. = min{40, 30} = 30, что соответствует стратегии 2. Таким образом ≠ , т.е. данная матрица не имеет седловой точки. Если игрок А выбирает свою стратегию 2, то игрок В, выбрав свою стратегию 2, проиграет только 20, а не 30. В этом случае игроку А выгодно выбрать стратегию 1, т.е. отклониться от своей чистой стратегии и выиграть 30. Но тогда и игроку В будет выгодно выбрать стратегию 1, т.е. отклониться от своей чистой стратегии, тогда он уже проиграет не 20, а только 10. В свою очередь игрок А опять может выбрать свою вторую стратегию, это позволит ему уже выиграть 40, а игрок В ответит выбором стратегии 2 и т.д. То есть тут уже все зависит от того, насколько игрок может «просчитать» конкурента, угадать, когда тот решит отклониться от осторожной стратегии. Если игрок будет постоянно придерживаться одной и той же стратегии, то другому игроку будет не сложно его обыграть. То же будет происходить, если игрок бдует чередовать свои стратегии в некоторой определѐнной последовательности – это позволит конкуренту вычислить эту закономерность и опять начать его обыгрывать. Единственным возможным выходом из ситуации является применение стратегий случайным образом, чтобы конкурент не смог догадаться, какова же будет следующая стратегия. Однако есть стратегии более выгодные, есть менее – поэтому для достижения лучшего результата нужно применять более выгодные чаще, а менее – реже, то есть применять их с определенной вероятностью.

Смешанной стратегией игрока называется полный набор вероятностей применения его чистых стратегий. Таким образом, если игрок А имеет m чистых стратегий 1,2,...,m, то его смешанная стратегия – это набор чисел (р1 ,..., рm), соответствующие вероятностям выбора стратегий. Все рi как вероятности удовлетворяют соотношениям

0 ≤ рi ≤ 1, р1 + ... + рm = 1

Аналогично для игрока В, который имеет n чистых стратегий, смешанная стратегия – это набор чисел (q1 ,..., qn), удовлетворяющий аналогичным требованиям.

35

Чистая стратегия есть частный случай смешанной стратегии. Действительно, если в смешанной стратегии какая-либо i-я чистая стратегия применяется с вероятностью 1, то все остальные чистые стратегии не применяются. И эта i-я чистая стратегия является частным случаем смешанной стратегии. Для соблюдения секретности каждый игрок применяет свои стратегии независимо от выбора другого игрока. Если игра не имеет седловой точки, то нельзя гарантировать получение определѐнного результата в отдельно взятой партии. Для игр, не имеющих седловых точек, интерес представляет средний выигрыш, получаемый по результатам достаточно большого количества партий. Средний выигрыш игрока выражается в виде математического ожидания его выигрышей, то есть в произведении выигрышей от результата применения пары стратегий на вероятности применения этих стратегий

Первый игрок имеет целью за счѐт изменения своих смешанных стратегий максимально увеличить свой средний выигрыш, а второй – за счѐт своих смешанных стратегий стремится сделать М минимальным.

Математически можно доказать теорему о том, что для любой матричной игры существуют такие смешанные стратегии, что средний выигрыш обоих игроков будет оптимальным (то есть наилучшим из возможных). Этот оптимальный средний выигрыш

называется ценой игры и обозначается также через . При этом имеет место отношение:

≤ ≤ ,

то есть оптимальный для обоих игроков результат находится в диапазоне от нижней цены игры до верхней цены игры.

Прежде, чем приступить к поиску оптимального решения в смешанных стратегиях необходимо убедится, что матричная игра не имеет решения в чистых стратегиях, то есть найти верхнюю и нижнюю цены игры. Если они не совпадут, то можно максимально упростить игру исключив из нее заведомо невыгодные стратегии. Здесь используются технология, аналогичная оценке вариантов по Парето, описанная в главе 2 (каждой стратегии соответствует строка или столбец в платежной матрице, ее можно считать векторной оценкой стратегии). Будем говорить, что стратегия игрока 1 доминирует над стратегией х2, если соответствующая х1 строка платежной матрицы доминирует по Парето над строкой, соответствующей стратегии х2 (все координаты строки х2 меньше либо равны соответствующих координат х1, отметим, что если все координаты точно совпадают, то такие стратегии называются дублирующими, одну из них можно исключить). В этом случае выигрыш от стратегии х1 будет заведомо больше, чем выигрыш от стратегии х2, какую бы стратегию не применил конкурент. Поэтому стратегию х2 можно вычеркнуть из матрицы. Для игрока В проводится аналогичное сопоставление столбцов, только критерии в этом случае уже являются отрицательными – второй игрок заинтересован в минимизации проигрыша, поэтому следует отбрасывать те столбцы, в которых все числа больше, либо равны соответствующим числам другого столбца.

Пример: дана платежная матрица

Элементы четвѐртой строки этой матрицы не превосходят соответствующих элементов третьей строки, и поэтому третья стратегия игрока 1 доминирует над четвѐртой. Зачеркиваем четвертую троку. Кроме того, элементы первого столбца матрицы не меньше соответствующих элементов второго столбца, следовательно, вторая стратегия игрока 2

36

доминирует над его первой стратегией, вычеркиваем первый столбец. Получаем новую матрицу

.

В новой матрице в столбце, соответствующем стратегии 3 все элементы не превосходят элементов в столбце стратегии 4, следовательно, можно вычеркнуть стратегию 4. В оставшейся матрице строка, соответствующая стратегии 2, имеет элементы не превосходящие элементы в третей строке, поэтому стратегия 2 также не выгодна. В итоге получим матрицу:

.

Последняя матрица уже не имеет доминирующих стратегий и седловой точки. Дальнейшее решение необходимо икать в смешанных стратегиях. Решить игру – значит найти оптимальные стратегии игроков и их выигрыши.

3.2. Решение матричных игр в смешанных стратегиях

Существует так называемая основная теорема теории игр, состоящая в следующем: каждая конечная игра имеет, по крайней мере, одно решение, возможно, в области смешанных стратегий.

Применение оптимальной стратегии позволяет получить выигрыш, равный цене игры:

≤ ≤ β

Начнем решение задачи в смешанных стратегиях с того, что сделаем все элементы платежной матрицы положительными. Этого всегда можно достичь, прибавляя ко всем элементам платежной матрицы некоторую положительную константу. Это действие приведѐт к увеличению всех выигрышей на одну и ту же величину и никак не скажется на выборе оптимальных стратегий. Величина (цена игры) неизвестна, но теперь можно считать, что > 0 (так как и > 0, выбирается из элементов матрицы, которые мы сделали положительными).

Рассмотрим игру, матрица А которой имеет размерность m x n и все элементы которой неотрицательны:

A =

Пусть матрица не содержит седловой точки, поэтому решение игры представлено в смешанных стратегиях: (р1 , р2, ..., рm) для игрока А и (q1, q2, …, qn) для игрока В. При применении игроком А оптимальной стратегии должно быть соблюдено условие, что его средний выигрыш будет не меньше, чем цена игры даже в том случае, если игрок В будет всегда применять одну и ту же стратегию (то есть его действия будут предсказуемыми). Для каждой чистой стратегии игрка В игрок А может рассчитать свой средний выигрыш. Он должен быть не меньше, чем цена игры. Математически это можно выразить с помощью следующей системы:

Величина > 0, поэтому мы можем разделить обе части всех неравенств на (знак неравенств не изменится). Введем новые переменные ti = рi / , i=1,2, …, m. В результате получаем:

37

Кроме того, p1+p2+…+pm=1, откуда следует, что

Так как игрок А заинтересован в максимизации выигрыша , обратная величина ,

напротив, должна стремиться к минимуму (чем больше знаменатель, тем меньше дробь), поэтому цель игры для игрока можно сформулировать как минимизацию функции F = t1+t2+…+tm. Таким образом, матричная игра сведена к задаче линейного программирования. Решая ее, находим

значение ti и величину , затем отыскиваем значения xi= ti. Отметим, что для игрока В аналогичные рассуждения приводят к системе,

где уже должно стремиться к минимуму, так как для игрока В это проигрыш. Разделив все члены неравенств на , получим задачу линейного программирования

W =u1+u2+…+un = max

где uj= , j=1,2, …, n.

Задача для игрока В является двойственной к задаче для игрока А. Решить задачу для игрока В симплекс-методом легче, так как все неравенства имеют знаки ≤, а значит при введении новых переменных свободные члены будут неотрицательными. Решая вторую задачу мы параллельно получаем и решение для игрока А, как это описано при рассмотрении двойственных задач в главе 1.

3.3. Критерии принятия решений в играх с «природой»

Играми с природой назван тип игровых моделей, в которых интересы второго участника «природы» не определены. Если в играх, рассмотренных в предыдущем пункте второй игрок стремился к получению минимального проигрыша, то действия второго игрока

виграх с природой уже таким свойством не обладают. К моделям «игр с природой» прибегают при отсутствии информации об интересах второго игрока, или если эти действия второго участника зависят не от его сознательных намерений, а от объективной действительности (например, погодных условий, откуда и название «игра с природой»). Человек А в этом типе моделей действует разумно, а игрок В (природа) – случайно, возможные стратегии этого игрока – это состояния «природы» (например, погодные условия, спрос на определенную продукцию, сочетание объективных факторов производства и т. д.). Иногда для состояний «природы» могут быть известны вероятности, но можно рассматривать и ситуации

вкоторых эти вероятности неизвестны. Как и ранее условия игры задаются матрицей,

элементы которой аij суть выигрыши игрока A, если он использует i-ю стратегию, а природа находится в состоянии j.

При решении игр с природой используют различные подходы, основанные на разных критериях оптимальности.

38

Если вероятности всех состояний природы известны, то критерием принятия решения является максимум математического ожидания выигрыша. То есть для каждой строки матрицы вычисляется математическое ожидание выигрыша (сумма произведений элементов строки на их вероятности) и выбирается максимальное из них.

Например, пусть природа может находиться в состоянии 1 с вероятностью 0,3, в состоянии 1 – с вероятностью 0,5 и в состоянии 3 с вероятностью 0,2 (сумма 0,3 + 0,5 + 0,2 = 1, то есть для природы возможны только три этих состояния). Пусть матрица игры имеет вид:

Это означает, что игрок имеет 3 стратегии. При применении первой стратегии он получает средний выигрыш 10,3 + 2 0,5 + 3 0,2 = 1,9.

При применении второй стратегии 30,3 – 3 0,5 + 5 0,2 = 0,4. При применении третьей стратегии 40,3 + 2 0,5 + 1 0 = 2,2.

Поэтому самой выгодной будет стратегия 3, так как она приносит наибольший ожидаемый выигрыш (это будет наилучшим решением, если игра повторяется многократно, в таком случае можно действительно говорить о среднем выигрыше). Если вопрос распределения вероятностей состояний природы не решен, то используют следующие критерии.

Критерий Лапласа. Если вероятности неизвестны, то можно использовать принцип «недостаточного основания» Лапласа, то есть считать, что вероятности всех вариантов равны между собой (например, если у природы есть 4 возможных состояния, то вероятность каждого их них считается равной ¼, если три состояния, то 1/3 и т.д).

Например, при той же платежной матрице у природы имеется три состояния, но вероятности этих состояний неизвестны. Поэтому, согласно принципу Лапласа, будем считать равными 1/3.

Тогда для первой стратегии математическое ожидание выигрыша 13 (1 + 2 + 3) = 2

для второй: 13 (3 – 1 + 5) = 7/3

для третьей: 13 (4 + 2 + 0) = 2.

Таким образом, самой выгодной оказывается вторая стратегия.

Однако ни в том ни в другом случае нельзя утверждать, что принятое решение действительно будет оптимальным – оптимальным оно является только относительно принятого распределения вероятностей состояний природы..

Критерий Вальда (или максиминный критерий) – это критерий максимального пессимизма, решение принимается в предположении того, что произойдет самое худшее. Задача игрока свести к минимуму риск от наихудшего варианта развития событий. Правила действий здесь те же, что и при определении нижней цены игры: из каждой строки выбирается наименьший элемент (худшее, что может произойти), а затем из выбранных элементов выбирают наибольший (и соответствующую этому числу стратегию) – это гарантирует лицу принимающему решение получение результат не хуже выбранного.

Например, при той же платежной матрице

39

самое худшее, что ждет игрока при применении первой стратегии – это выигрыш 1, при применении второй стратегии можно уже проиграть 1, а при применении стратегии 3 можно получить 0. Поэтому с точки зрения критерия Вальда наилучшей является стратегия 1. Так мы в любом случае останемся в выигрыше, пусть и в меньшем, чем можно было бы получить исходя из математического ожидания, но точно не меньшем, чем 1.

Максимаксный критерий (критерий максимального оптимизма). Согласно этому критерию нужно выбрать ту стратегию, при которой возможен максимальный выигрыш, то есть ту, в которой содержиться наибольший элемент в матрице. В нашем примере это стратегия 2, так как максимальный элемент в матрице равен 5 и он находится во второй строке, значит, применив стратегию 2 есть шанс добиться самого большого выигрыша.

Критерий Вальда – это крайний пессимистический критерий, максимаксный - крайний оптимистический критерий. Критерий Гурвица сочетает в себе и некоторую меру пессимизма, и некоторую меру нашего оптимизма, которую мы сами можем задать с помощью параметра , который выбирается в промежутке [0, 1] (чем больше в нас осторожности, тем ближе к 1, при = 1 этот критерий превращается в критерий Вальда, если же взять = 0, то мы получим максимаксный критерий). В каждой строке выбирается минимальное значение, которое умножается на . Затем выбирается наибольшее значение, которое умножается на (1 – λ). Полученные результаты складываются и их них выбирается наибольшее, то есть выбирается стратегия, соответствующая

max { min aij + (1 — λ) max aij}, где 0 λ 1. i j j

Пусть в нашем примере мы выберем = 0,6 (то есть мы чуть более склоняемся к пессимизму, чем к оптимизму

Так как результат 1,8 является максимальным из полученных, с точки зрения критерия Гурвица следует выбрать стратегию 1. Критерий минимального риска Севиджа. Вместо платежной матрицы при решении игры рассматривают матрицу рисков R. Элементы этой матрицы rij представляют собой разность между выигрышем, который получил бы игрок A, если бы знал состояние природы заранее (тогда бы он выбрал стратегию, которая принесет наибольший выигрыш в этих условиях) и выигрышем, который он действительно получит при данных условиях. Иными словами, чтобы составить матрицу рисков, нужно в каждом столбце найти максимальный элемент, а затем вычесть из него все элементы данного столбца:

rij = j – ij , где βj = max aij.

Выбирается стратегию, при которой величина риска принимает наименьшее значение в самой неблагоприятной ситуации, т. е. из каждой строки выбирается наибольший риск, а затем из этих рисков выбирается минимальное значение. Составим матрицу рисков для нашего примера. Выпишем максимальные элементы в каждом столбце платежной матрицы:

Тогда матрица рисков рассчитывается так

40