Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1327 вузов, 5481 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Башкирский Государственный Аграрный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Теория поля сборник задач по курсу «Высшая математика». Учебно-методическое пособие

.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
11.08.2026
Размер:
613 Кб
Скачать
☆

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ»

Н.Б. Журавлев, И.А. Колесникова, М.В. Сорокина

ТЕОРИЯ ПОЛЯ

Сборник задач по курсу «Высшая математика»

Учебно-методическое пособие

Москва Российский университет дружбы народов

2018

УДК 512.6(072.8)

У т в е р ж д е н о

ББК 22.151.5

РИС Ученого совета

Ж91

Российского университета

 

дружбы народов

Журавлев, Н. Б.

Ж91 Теория поля : сборник задач по курсу «Высшая математика» : учебно-методическое пособие / Н. Б. Журавлев, И. А. Колесникова, М. В. Сорокина. – Москва : РУДН, 2018. – 27 с.

Издание предназначено для студентов II курса, обучающихся по специальностям «Химия», «Информатика», «Компьютерные науки», «Прикладная математика. Информатика» изучающих теорию поля.

В пособии содержится краткий обзор теоретического материала с примерами решения задач, а также варианты самостоятельных работ.

ISBN 978-5-209-09143-1

© Журавлев Н.Б., Колесникова И.А.,

 

Сорокина М.В., 2018

 

© Российский университет

 

дружбы народов, 2018

Оглавление

1 Теория поля

4

§1.1. Скалярное и векторное поля . . . . . . . . . . . .

4

§1.2.

Градиент . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

§1.3.

Дивергенция и вихрь . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

§1.4.

Поток вектора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

§1.5.

Циркуляция вектора. Работа поля . . . . . . . . .

7

§1.6.

Примеры для самостоятельного решения . . . . .

18

§1.7.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА . . . . . . . . . . . . .

24

3

Глава 1

Теория поля

§1.1. Скалярное и векторное поля

В данном разделе математического анализа вместо терминов "числовая функция" и "вектор-функция" заданной точки, принято использовать эквивалентные термины "скалярное поле" и "векторное поле" точки.

Другими словами, значение рассматриваемых функций зависит именно от точек пространства, а не от выбора координат этих точек, которые напрямую зависят от выбора системы.

Скалярное поле определяется скалярной функцией точки

U = f(M) = f(x; y; z); где M(x; y; z) точка пространства. Поверхности f(x; y; z) = C; где C = const; называются поверх-

4

ностями уровня скалярного поля.

Векторное поле определяется векторной функцией точки

~a = ~a(M) = ~a(~r); где M

 

 

 

 

~

~

 

точка пространства и ~r = xi + yj +

~

радиус-вектор точки

M:

 

 

 

 

 

 

zk

 

 

 

 

 

 

В координатной форме ~a

 

~

~

~

ax

=

= axi + ayj + azk; где

ax(x; y; z);

ay = ay(x; y; z);

az

= az(x; y; z)

проекция век-

тора

~a на

координатные

оси,

или,

что то

же самое,

~a

=

~

~

~

P = P (x; y; z); Q =

P (x; y; z)i + Q(x; y; z)j + R(x; y; z)k; где

Q(x; y; z);

R = R(x; y; z)

проекции вектора ~a на координат-

ные оси.

Векторные линии (силовые линии, линии тока) векторного поля находятся из системы дифференциальных уравнений

dxP = dyQ = dzR :

Скалярное или векторное поле, не зависящее от времени t;

называется стационарным, а зависящее от времени - нестационарным.

§1.2. Градиент

Вектор

 

@U

~

@U

~

@U

~

grad U(M) =

@x

i +

@y

j +

@z

k rU;

5

~

@

 

~

@

~

@

оператор Гамильтона (набла), на-

где r = i

@x

+ j

@y

+ k @z

зывается градиентом поля U = f(M) в данной точке M: Гра-

диент направлен по нормали

n к поверхности уровня в точке

M в сторону возрастания функции и имеет длину, равную

 

@n

= s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@x

 

 

+ @y

 

 

+ @z

:

 

@U

 

 

@U

 

2

 

@U

 

2

@U

2

 

Если направление задано единичным вектором

cos + cos g;

то

 

 

 

 

 

 

@U

~

 

@U

@U

 

 

= grad

U l = grad~lU =

 

cos +

 

cos +

 

@l

@x

@y

(производная функции U

по направлению l ).

~f

l cos +

@U@z cos

§1.3.

 

Дивергенция и вихрь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

~

~

 

Дивергенцией векторного поля ~a(M) = P i+Qj+Rk называется

скаляр div~a =

@P

 

@Q

@R

~a:

 

 

 

 

 

+

 

 

+

 

 

 

 

 

@x

@y

@z

 

 

 

 

Вихрем

 

 

 

 

 

 

 

 

~

~

~

 

векторного поля ~a(M) = P i + Qj + Rk называется

вектор

 

 

 

~i + @z

 

@x ~j +

 

 

@y

~k r ~a:

rot~a = @y

 

@z

 

@x

 

@R

 

@Q

 

 

 

@P

@R

 

@Q

@P

 

6

§1.4. Поток вектора

Потоком векторного поля ~a(M) через поверхность S в сторону, определяемую единичным вектором нормали ~n fcos + cos + cos g к поверхности S; называется интеграл

ZZ

a~nds = ZZ

ands = ZZ (P cos + Qcos + Rcos )ds:

S

S

S

Если S замкнутая поверхность, ограничивающая объем V;

а ~n единичный вектор внешней нормали к поверхности S; то справедлива формула Остроградского-Гаусса, которая в векторной форме имеет вид

ZZ ZZZ

ands = div~a dxdydz:

S(V )

§1.5. Циркуляция вектора. Работа

поля

Линейный интеграл от вектора ~a по кривой C определяется

формулой

Z

adr = Z

asds = Z

axdx + aydy + azdz

C

C

C

 

7

и представляет собой работу поля ~a вдоль кривой C ( as проекция вектора ~a на касательную к C ).

Если кривая C – замкнутая, то линейный интеграл называ-

ется циркуляцией векторного поля ~a

вдоль контура C .

Если замкнутая кривая C ограничивает двустороннюю по-

верхность S;

то справедлива формула Стокса, которая в век-

торной форме имеет вид

 

I

adr = ZZ ~n rot~ads = ZZ (rot~a)~nds;

C

S

S

где ~n вектор нормали к поверхности S; направление которого должно быть выбрано так, чтобы для наблюдателя, смотрящего по направлению ~n; обход контура C совершался в правой системе координат (против хода часовой стрелки.)

~

3~

2~

при

 

Пример 1. Вычислить работу силы F = 3xy i

4xy j

перемещении точки единичной массы вдоль кривой

L :

y =

p3

 

от точки M(4; 2) до точки N(4; 2):

 

 

 

2x

 

 

 

Решение. Работа – это линейный интеграл по кривой, в случае, когда, векторное поле имеет смысл силового поля. Запишем выражение для вычисления работы

ZZ

A =

~

(Fxdx + Fydy):

(F ; d~r) =

(MN)

 

(MN)

8

 

~

 

3~

4xy

2~

Для заданного поля F = f3xy

i

jg имеем

A =

Z

3xy3dx

4xy2dy:

(MN)

Вычислим A; считая в первом интеграле независимой переменную x и y - во втором, расставляя пределы соответственно координатам, и переходя к определенному интегралу, имеем

4

 

2

y3

 

4

 

y6

2

 

 

 

 

 

 

 

A = Z

3x 2xdx

4 Z

y2dy = 2x3

4

 

2

= 4 43 = 256:

2

3

4

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

Пример 2. Найти циркуляцию векторного поля ~a = yi

~

~

2

2

= 1; z = 0 в

xj

+ ck

(c = const) вдоль окружности x + y

 

положительном направлении.

Решение. Задачу можно решить двумя способами: непосредственным вычислением циркуляции или применением фор-

мулы Стокса. Мы рассмотрим оба способа.

I. Непосредственное вычисление циркуляции.

Параметрические уравнения данного контура имеют вид:

x = cost; y = sint; z = 0; 0 t 2 : Далее, имеем P = y = sint; Q = x = cost: По определению циркуляции получаем

 

2

 

C = I

P dx + Qdy + Rdz = Z0

sint (sint) cost costdt =

9

 

2

2

 

2

 

 

Z (sin2t + cos2t)dt =

Z

 

 

=

dt = t

0

= 2 :

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II. Применение формулы Стокса. Ротор векторного поля ~a равен

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~i

~j

~k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

@

 

@

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

rot~a =

@x

 

@y

 

@z

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@c

y

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

@c @(x)

 

 

@y

~

@(x)

@y

 

~

=~i

 

 

 

 

~j

 

 

 

+ k

 

 

 

 

 

= 2 k;

@y

 

@z

@x @z

@x

@y

а нормаль, обеспечивающая положительное направление обхода контура, n = k:

Следовательно,

 

 

 

 

C = ZZ nrot~ads = 2

ZZ ~n~kds = 2

ZZ dxdy =

S

 

 

S

S

={перейдем к полярным координатам}=

 

= 2

2

1

 

 

 

Z d' Z d = 2 2 2 = 2 :

 

 

 

1

 

 

00

Очевидно, результат совпадает с результатом найденным в п.I.

Пример 3. Найти угол между градиентами скалярных по-

лей U(x; y; z) =

z

и V (x; y; z) =

3

+

4

1

 

в точке

 

x

y

 

p

 

z

x3y2

 

6

1

 

M 1; 2; p

 

:

6

10

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности