Теория поля сборник задач по курсу «Высшая математика». Учебно-методическое пособие

43p

(3) +

41p

(1) + 41

p

= 1:

(gradU; gradV )

6

cos =

=

6

6

jgradUj jgradV j

q

3

1

1

p

+

+

9 + 1 + 6

32

96

16

Пример 4. Найти векторные линии в векторном поле ~a =

~

~

2yi

+ 3xj:

6

@

@

@

@

@

- x

0

@

@

@

@

@

Рис. 1.1: Семейство гипербол.

(

dz = 0;

3xdx = 2ydy:

Решим второе уравнение

Z

Z

2ydy )

3xdx =

x2

3

= y2

+ C:

2

x2

y2

= C; или

x2

y2

= 1:

2

2

2

3

q

23

p

C

C

1

~n

@

@

-

0

@

P

1

y

Pxy

x 3

Решение. Уравнение

плоскости

P это есть уравнение

плоскости в отрезках (рис

1.2 на с.

13). Точки пересечения с

nx

1

1

3

cos =

=

=

p

;

j~nj

q

91 + 1 + 1

19

d = s1 +

@z

2

@z

2

+

dxdy;

@x

@y

где из уравнения плоскости P

выражаем z = 1

x

y: Тогда

3

r

p

d = 1 +

1

+ 1 dxdy =

19

dxdy:

3

9

Таким образом,

P = ZZ 9 x p19

+ p19

p19

dxdy;

3

1

3

9z

p19

где Pxy

проекция плоскости P

на плоскость x0y: Расставляя

пределы интегрирования, получаем

3 1− x3

x

3

3

1− x3

P =

3πx + 1 − 3 1 −

− y

dy

= 3πxy + xy − 2y +

· y2

0

dx =

3

2

0

0

0

3

3 − 2 1 −

3 + 2 1 −

3

dx =

= 3πx 1 − 3 + x 1 −

x

x

x

3

x

2

0

3

1

2

1

x3

1

x2

x2

1

3

= x2 −

x 0

− π + 3πx +

x −

dx =

−

− π +

3π+

−

=

6

3

2

3

6

2

3

2

0

динат 0x; 0y; 0z;

то все три интеграла будут положительными

P = ZZ

axdydz + ZZ aydxdz + ZZ azdxdy;

Pyz

Pxz

Pxy

1

1−y

3

1− x3

3

1− x3

3 1 − y − 3

dy =

P =

dy

9π(3−3y−3z)dz+

dx

dz−

dx

x

0

0

0

0

0

0

1

z2

1−y

3

1− x3

3

3

1− x3

= 27πz−27πyz−27π

0

dy+

z 0

dx− 3y−

y2−xy 0

dx =

2

2

0

0

0

1

y2

1

3

x

3

3

x2

= 27π

− y +

dy+

1

−

dx−

− x +

dx =

2

2

3

2

6

0

0

0

y3

y2

y

1

x2

3

3

x2

x3

3

= 27π

0 + x −

0 −

−

0 =

6 − 2 +

2

6

2x

2 +

18

1

3

9

9

3

9π

= 27π ·

+ 3 −

−

+

−

=

.

6

2

2

2

2

2

y

∂ax

∂ay

∂az

P = S

axdydz+aydxdz+azdxdy ≡ V

+

+

dxdydz.

∂x

∂y

∂z

где V объем, ограниченный поверхностью S:

Объем

V

ограничен снизу плоскостью

z = 0;

сверху - па-

раболоидом

z = x2 + 3y2 + 1; а по бокам цилиндрической по-

верхностью x2 + y2 = 1 (рис 1.3 на с. 17).

При расстановке пределов интегрирования переходим к ци-

линдрическим координатам ; '; z;

связанным с декартовыми

8 x = cos';

>

<

координатами соотношениями: > y = sin';

>

z = z:

>

2π

1

ρ2(1+2sin2ϕ)+1

2π

1

P = −3

dϕ

ρdρ

dz = −3

dϕ

ρ3(1 + 2sin2ϕ) + ρ

dρ =

0

0

0

0

0

2π

1

2π

ρ4

ρ2

1

1

0dϕ = −3

dϕ =

= −3

(1+2sin2ϕ)+

(1 + 2sin2ϕ) +

4

2

4

2

0

0

2π

3

1

9

2π

3

2π

1

ϕ 0

= −3

+

sin2ϕ dϕ = −

−

(1

− cos2ϕ)dϕ =

4

2

4

2

2

0

0

= −

9

3

π +

3

2π

= −6π.

2π −

2

8sin2ϕ 0

3

4

1

x3y2

1

1:3: v =

p

z

; u =

; M

1; 2; p

:

x

y

z

6

6

1:4: v = x2 + 9y2 + 6z2;

u = xyz;

M

1; 3; p6

:

1

1

1:5: v = 9p2x3

2p2

p3 ; u =

z3

; M

3; 2; r

!

:

2

p

p

y3

4z3

xy2

1

3

1:6:v =

4

2

p

z

; u = x2yz;

M

2;

; sp

!:

x

9y

3

3

6

1:7: v = x2

y2

3z2; u = yz2 ; M p2; p2; p3 :

x

1

1

1

2p

p

3x3

y3

3

x2z

2

1:8: v =

p

+

+ 8 3z

; u =

;

3

y3

2

M q

; q

;

2

:

3

p2

2

3

1

2:1:

~

~

~a = 4yi

9xj:

2:2:

~

~

~a = 5xi + 10yj:

2:5:

~

~

~a = 9yi

4xj:

2:6:

~

~

~a = 9zi

4xk:

~

~

2:7: ~a = 5zj + 7yk:

2:8:

~

~

~a = 9zi

4yj:

Задача 3. Найти поток векторного поля ~a

через часть плос-

кости P;

расположенную в первом октанте (нормаль образует

острый угол с осью 0z ).

3:1:

~

~

~

P : x + y + z = 1:

~a = xi + yj + zk;

3:2:

~

~

P : x + y + z = 1:

~a = yj + zk;

3:3:

~

~

~

P : x + 2y + 3z = 1:

~a = x i + 2yj + zk;

~

~

~

y

3:4:

~a = 7xi + (5 y + 2)j + 4 zk; P : x + 2 + 4z = 1: