Теория поля сборник задач по курсу «Высшая математика». Учебно-методическое пособие

~

~

~

y

z

3:5: ~a = 2 xi + (7y + 2)j + 7 zk;

P : x + 2

+ 3

= 1:

~

~

~

x

3:6: ~a = (2x + 1)i

yj + 3 zk;

P :

3

+ y + 2z = 1:

~

~

y

3:7: ~a = (5y + 3)j + 11 zk;

P : x +

3

+ 4z = 1:

~

~

3:8: ~a = 9 yj + (7z + 1)k; P : x + y + z = 1:

Задача 4. Найти поток векторного поля ~a через замкнутую

поверхность S (нормаль внешняя).

4:1: ~a = (e

z

~

x~

y~

+ 2x)i + e j + e k; S : fx + y + z = 1; x =

0;

y = 0; z = 0:g

~

~

2

~

S : fz

2

=

4:2: ~a = (cosz + 3x)i + (x

2y)j + (3z + y

)k;

36(x2 + y2); z = 6:g

4:3: ~a = (1 +

p

~

p

~

~

2

2

+

y2);

z)i + (4y

x)j + xyk; S : fz

= 4(x

z = 3:g

~

~

4:4: ~a = (x + z)i + (z + y)k;

S : x2 + y2 = 9; z = x; z = 0; (z 0):

~

~

4:5: ~a = 2xi + zk;

~

~

~

4:6: ~a = 2xi

+ 2yj

+ zk;

4:7:

~ ~

~

~a = (z + y)i + yj

xk;

S : x2 + z2 = 2y; y = 2:

4:8:

~

~

~

~a = xi

(x + 2y)j

+ yk;

5:1:

~

2

~

2

~

F = (x

2y)i + (y

2x)j; l : отрезок MN;

M(4;

0);

N(0; 2):

~

2

~

2

~

x2

= y;

5:2: F = (x + 2y)i + (y

+ 2x)j; l : 2

8

M(4;

0);

N(0; 2):

5:3:

~

2 ~

~

F = x yi

yj; l : отрезок MN;

M(1;

0);

N(0; 1):

5:4:

~

~

l : y = sinx;

F = xyi;

M( ; 0);

N(0; 0):

5:5: F~ = (xy x)~i +

x2

~j; l : y = 2p

x;

2

M(0; 0);

N(1; 2):

~

~ ~

2

+ y

2

= 4(y 0);

5:8: F = (x y)i + j; l : x

M(2; 0);

N(2; 0):

2

~

~

~

6:1: ~a = (x

y)i + xj + k;

: x2 + y2 = 1; z = 1:

6:2:

~

~

~

~a = 4xi + 2j

xyk;

:

z = 2(x2 + y2) + 1; z = 7:

6:3:

~

~

~

~a = 2yi + j

2yzk;

: x2 + y2

z2 = 0; z = 2:

6:4:

~

~

~

~a = 4xi

yzj + xk;

: x2 + y2 = 1; x + y + z = 1:

6:5:

~

~

~

~a = yi

xj + 2zk;

: nx2 + y2

z2

= 0; x + y + z = 1:o

4

6:6:

~

~

2~

~a = yi

2xj + z k;

6::7: z

= 4(x2 + y2) + 2; z = 6:

~a = 3zi~

2yj~ + 2yk;~

:

x2 + y2 = 4; 2x 3y 2z = 1:

6:8:

~

~

~

~a = yzi

xzj + xyk;

U(x; y; z) и V (x; y; z)

в точке M

y3

4z3

z3

1

2

!:

v = 9p2x3

2p

+

p

; u =

; M

; 2; r

xy2

3

3

2

3

Задача 2. Найти векторные линии в векторном поле ~a

~

~

~a = 2xi + 4yj:

Задача 3. Найти поток векторного поля ~a

через часть плос-

кости P; расположенную в первом октанте (нормаль образует

острый угол с осью 0z )

~ ~

~

~a = xi + yj + 2zk;

~a = (3z

2

~

x

~

~

2

2

=

+ x)i + (e

2y)j + (2z xy)k; S : x + y

z2;

z = 1; z = 4:

Задача 5.

Найти работу силы

~

F при перемещении вдоль

линии l от точки M к точке N

~

~

~

2

+ y

2

= 4(y 0);

F = (x + y)i + 2xj; l : x

M(2; 0); N(2; 0):

Задача 6.Найти модуль циркуляции векторного поля ~a

вдоль контура

~

~

~

~a = yzi + 2xzj + xyk;

:

x2 + y2 + z2 = 25; x2 + y2 = 9(z > 0):

U(x; y; z) и V (x; y; z)

в точке M

; 2; r

!

v = 3p2x2

p2

3p2z2; u = xy2 ; M

3

2

:

y2

z2

1

3

Задача 2. Найти векторные линии в векторном поле ~a

~

~

~a = 4zi 9xj:

острый угол с осью 0z )

~

~

~

P = x + 2y + 3z = 1:

~a = 8xi + 11yj + 17zk;

Задача 4. Найти поток векторного поля ~a через замкнутую

поверхность S (нормаль внешняя)

~

~

y

~

~a = (lny + 7x)i + (sinz

2y)j + (e

2z)k;

S : x2 + y2 + z2 = 2x + 2y + 2z 2:

Задача 5. Найти работу силы

~

F при перемещении вдоль

линии l от точки M к точке N

~

~

~

2

= y;

F = (x + y)i + (x y)j; l : x

M(1; 1); N(1; 1):

Задача 6.Найти модуль циркуляции векторного поля ~a

вдоль контура

~a = (x

~ ~

~

y)i + xj

zk;