Теоретические основы электротехники. Ч.1. Численные методы анализа установившихся режимов в линейных электрических цепях. Учебное пособие

E=matrix(c(EA, EB, EC, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0), byrow=TRUE) Z=c(ZA, ZB, ZC, ZN, Z1a, Z1b, Z1c, Z2a, Z2b, Z2c, Zab, Zbc, Zca) A=matrix(c(

-1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, -1, 0, -1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, -1, 1, 0, 0, 0, -1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, -1, 1, 0, 0, 0, 1, -1, -1, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0,

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -1, -1, -1, 0, 0, 0), nrow=5, ncol=13, byrow=TRUE) Y=Z^-1

Yd=diag(Y)

B=A%*%Yd%*%t(A)

C=A%*%(-Yd%*%E)

Ф=solve(B)%*%C

Найдём напряжения на ветвях и токи в ветвях, считая фn=0. U=matrix(c(-Ф[1], -Ф[2], -Ф[3], Ф[4], Ф[1]-Ф[4], Ф[2]-Ф[4], Ф[3]-Ф[4], Ф[1]-

Ф[5], Ф[2]-Ф[5], Ф[3]-Ф[5], Ф[1]-Ф[2], Ф[2]-Ф[3], Ф[3]-Ф[1]), byrow=TRUE)

I=Yd%*%(U+E)

В результате получим матрицу токов:

Для проверки верности решения найдём комплексные мощности источников и приёмников электрической энергии.

31

n=1:13 Sпр=sum(abs(I[n])^2*Z[n]) Sист=sum(E[n]*Conj(I[n])

Получим:

Баланс мощностей выполняется.

Определим, с каким коэффициентом мощности работают фазные ЭДС трёхфазного генератора.

cos(Arg(EA)-Arg(I[1]))

cos(Arg(EB)-Arg(I[2]))

cos(Arg(EC)-Arg(I[3]))

Рассчитаем векторную топографическую диаграмму напряжений для первого потребителя.

n=1:4

I1=matrix(nrow=4)

I1[n]=I[n]

I1re=Re(I1); I1im=Im(I1)

U1re=matrix(c(0, Re(EC), Re(Ф[3]), Re(Ф[4]), Re(Ф[1]), Re(EA), 0), byrow=TRUE)

U1im=matrix(c(0, Im(EC), Im(Ф[3]), Im(Ф[4]), Im(Ф[1]), Im(EA), 0), byrow=TRUE)

U2re=matrix(c(0, Re(Ф[4]), Re(Ф[2]), Re(EB), 0), byrow=TRUE) U2im=matrix(c(0, Im(Ф[4]), Im(Ф[2]), Im(EB), 0), byrow=TRUE)

Построим векторную топографическую диаграмму напряжений для первого потребителя (рис. 3.5).

plot(0, 0, type="n", xlim=c(-240, 240),ylim=c(-240, 240))

Построим вектора токов:

arrows(0,0, I1re*20 ,I1im*20, angle=20, length=0.1, lwd=2)

Обозначим вектора:

32

text(x=220, y=-50, labels="Ia") text(x=-170, y=-120, labels="Ib") text(x=-60, y=220, labels="Ic") text(x=-30, y=20, labels="In")

Построим вектора напряжений s1=seq(length(U1re)-1)

arrows(U1re[s1],U1im[s1],U1re[s1+1],U1im[s1+1], angle=20,length=0.1, lwd=2) s2=seq(length(U2re)-1)

arrows(U2re[s2],U2im[s2],U2re[s2+1],U2im[s2+1], angle=20, length=0.1, lwd=2)

Обозначим вектора:

text(x=220, y=20, labels="A"); text(x=170, y=-40, labels="a") text(x=-120, y=-180, labels="B"); text(x=-110, y=-120, labels="b") text(x=-120, y=180, labels="C"); text(x=-50, y=180, labels="c") text(x=10, y=20, labels="N"); text(x=-30, y=-10, labels="n1")

Прорисуем сетку и оси:

abline(v=0, h=0, lwd=2); grid(col="black")

Рассчитаем и построим векторную топографическую диаграмму напряжений для потребителя, соединённого треугольником (см. рис. 3.5).

n=11:13

I2=matrix(nrow=3)

I2[n]=I[n]

I2re=Re(I2); I2im=Im(I2)

U4re=matrix(c(Re(EC), Re(Ф[3]), Re(Ф[1]), Re(EA), Re(EC)), byrow=TRUE)

U4im=matrix(c(Im(EC), Im(Ф[3]), Im(Ф[1]), Im(EA), Im(EC)), byrow=TRUE)

U5re=matrix(c(Re(EA), Re(EB), Re(Ф[2]), Re(Ф[1])), byrow=TRUE) U5im=matrix(c(Im(EA), Im(EB), Im(Ф[2]), Im(Ф[1])), byrow=TRUE) U6re=matrix(c(Re(EB), Re(EC), Re(Ф[3]), Re(Ф[2])), byrow=TRUE) U6im=matrix(c(Im(EB), Im(EC), Im(Ф[3]), Im(Ф[2])), byrow=TRUE)

33

Обозначим вектора:

text(x=220, y=20, labels="A"); text(x=170, y=-40, labels="a") text(x=-120, y=-180, labels="B"); text(x=-120, y=-120, labels="b") text(x=-120, y=180, labels="C"); text(x=-50, y=180, labels="c")

Прорисуем сетку и оси (рис. 3.6): abline(v=0, h=0, lwd=2); grid(col="black")

Рис. 3.6

3.2. ЗАДАНИЕ ДЛЯ РАСЧЁТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ № 3 «АНАЛИЗ ТРЕХФАЗНОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ»

1.Составить схему и записать систему уравнений для трехфазной цепи соединения звезда– звезда с нулевым проводом по методу узловых потенциалов. При составлении учесть линейные сопротивления проводов, фазные сопротивления приёмников и сопротивление нулевого провода.

2.Составить систему уравнений для трехфазной цепи соединения звезда– треугольник по методу контурных токов.

35

3.Для схемы (см. рис. 3.1) выбрать произвольно номиналы нагрузки (учитывая, что вся нагрузка должна быть активно-реактивной).

4.Исследовать электрическую цепь, приведённую на рис. 3.1, работающую

вследующих режимах.

4.1.Обрыв линейного провода (все типы соединения).

4.2.Короткое замыкание фазного провода соединения звезда– звезда с нулевым проводом и без нулевого провода.

4.3.Обрыв фазного провода при соединении нагрузки треугольником.

5.Для всех режимов построить векторные диаграммы токов и векторные топографические диаграммы напряжений.

6.Сделать выводы, в которых необходимо отразить режимы работы трёхфазной электрической цепи.

7.Оформить отчёт о выполненной задаче по правилам оформления записки к курсовой работе или проекту. Листинги с компьютерными расчётами вынести в прил. 1.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1.Какая разница между активными и реактивными сопротивлениями элементов электрической цепи?

2.Зачем анализ состояния электрической цепи с синусоидальными токами переносят на комплексную плоскость?

3.Как перейти к комплексным сопротивлениям элементов?

4.Как используется треугольник сопротивлений?

5.Как используется треугольник проводимостей?

6.Как используется треугольник мощностей?

7.Как найти комплексное сопряжённое значение тока?

8.Как определяются активная и реактивная мощности?

9.Перечислите возможные соединения трёхфазного генератора и трёхфазного потребителя.

10.Как рассчитывается «коэффициент мощности» работы источника?

11.Чем отличаются друг от друга прямая последовательность фаз, обратная и нулевая последовательности?

12.Что такое смещение нейтрали?

13.Как создаётся круговое вращающиеся магнитное поле?

20. Какая связь между линейной и фазной ЭДС трёхфазного генератора?

14. Какая связь между амплитудным и действующим значениями синусоидальной ЭДС?

36

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Развитие компьютерной техники и специализированного математического программного обеспечения позволило реализовать в рамках учебного процесса

ввысших учебных заведениях решение более сложных задач по электротехнике. При этом ряд применяемых исторически методов теряет свою актуальность,

вчастности, метод контурных токов и метод узловых потенциалов, призванные снизить количество уравнений в системе. Использование математического ПО позволяет быстро решать систему из большого количества уравнений, поэтому использование системы уравнений, составленной по законам Кирхгофа, является наиболее эффективным методом для расчёта электрических цепей в установившемся режиме работы.

Впособии приводятся решения в двух средах – Mathcad и R. Авторы рекомендуют использовать именно R, так как данный язык бесплатный. Существует значительное количество других сред, в которых можно эффективно проводить расчёты, и их использование приветствуется.

37

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Теоретические основы электротехники: [в 3 т.]: учеб. для вузов: Т.1 / К.С. Демирчан [и др.]. – 4- е изд., доп. для самостоят. изучения курса; Гриф МО. – СПб.: Пи-

тер, 2006. – 462 с.

2. Теоретические основы электротехники: [в 3 т.]: учеб. для вузов: Т.2 / К.С. Демирчан [и др.]. – 4- е изд., доп. для самостоят. изучения курса; Гриф МО. – СПб.: Пи-

тер, 2006. – 575 с.

3.Бессонов, Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи: учеб. для вузов / Л.А. Бессонов. – 11- е изд., испр. и доп. – М.: Гардарики, 2007. – 701 с.

4.Сборник задач по теоретическим основам электротехники: учеб. пособие для вузов / Л.А. Бессонов [и др.]; под ред. Л.А. Бессонова. – 4- е изд., перераб. и испр.; Гриф МО. – М.: Высшая школа, 2003. – 528 с.

5.Бычков, Ю.А. Основы теории электрических цепей: учеб. для вузов / Ю.А. Бычков, В.М. Золотницкий, Э.П. Чернышев. – 3- е изд., стер. – СПб.: Лань, 2004. – 464 с.

6.Шакурский, В.К. Теоретические основы электротехники. В 2 ч. Ч. 1. Аналитические и численные методы анализа установившихся режимов в линейных и нелинейных электрических цепях: учебное пособие / В.К. Шакурский. – Тольятти :

Тольят. гос. ун-т, 2013. – 219 с.

38

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1

Построение простых графиков в среде R

Команда plot()

Общий вид команды plot():

plot(x, y, …)

Синтаксис: plot(x, y)

где x – массив значений аргумента; y – массив соответствующих значений функции; … – набор дополнительных команд.

Пример

Определим зависимость и построим график:

x=1:100

y=x^2

plot(x,y)

В результате получим следующий график (рис. П.1.1). Пример использования функции plot() приведен на рис. П.1.1.

Рис. П.1.1

Дополнительные команды включают в себя: type – переменная определяющая тип линии. Следующие значения типов линий доступны:

∙“p” – точки (points);

∙“l” – линия (line);

∙“b” – совместно прерывистая линия и точки (both);

39

∙“c” – линия от “b” с исключением точек (прерывистая линия);

∙“o” – непрерывная линия с точками (overplotted);

∙“h” – гистограмма (histogram);

∙“s” – ступени (steps);

∙“S” – ступени c ранним переходом (steps);

∙“n” – без начертания (no plotting).

Синтаксис: plot(x, y, type = “o”)

Пример. На рис. П.1.2 приведен пример изменения типа линии в команде

plot().

x=1:100

y=x^2

plot(x,y, type="l")

Рис. П.1.2

main – основной заголовок графика. sub – нижняя подпись под графиком. xlab – наименование оси абсцисс. ylab – наименование оси ординат.

asp – задание пропорции координат y/x.

Синтаксис: plot(x, y, main= “Graph1”, sub=“Example”, xlab= “x” , ylab=

“y”, asp = 1)

Пример. Пример использования подписей графика показан рис. П.1.3.

x=1:100

y=x^2

plot(x,y, main="Квадратичная зависимость", sub="График функции

y=x^2", xlab="x", ylab="x^2", type="l")

40