Теоретические основы электротехники. Ч.1. Численные методы анализа установившихся режимов в линейных электрических цепях. Учебное пособие

Для решения системы уравнений надо подготовить в листинге только матрицы А и В, используя команду matrix(). Введём матрицу A:

A= matrix (c(

1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, -1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, -1, 0, -1, 0, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, -1, -1, 0,

-R[1], 0, R[3], 0, R[5], 0, 0, 0,

0, R[2], 0, -R[4] , 0, -R[6], 0, 0,

0, 0, 0, 0, -R[5], -R[6], R[7], 0), ncol=8, nrow=8)

Ниже приведён результат введения матрицы указанным выше способом:

Видно, что матрица оказалась повёрнутой. Для того чтобы привести её к заданному виду проведём транспонирование1:

1 Такой подход использован в данном пособии единожды, для иллюстрации особенности ввода матриц. По умолчанию, ввод матрицы осуществляется столбцами, т.е. первой строкой вводится первый столбец, второй строкой второй и т.д. Однако, с точки зрения визуализации ввода, эффективнее вводить матрицы построчно. Тогда первая введённая с клавиатуры строка соответствует первой строке матрицы, вторая строка – второй и т.д. Для реализации такого ввода через запятую добавляется аргумент: byrow=TRUE. Далее данный аргумент будет присутствовать при каждом вводе матрицы.

Второй особенностью ввода в данном пособии будет присутствовать информационная избыточность при указании количества строк и столбцов. Как в приведённом выше примере указано количество строк матрицы, количество столбцов и введены элементы матрицы. Заметим, что достаточно было бы указать только количество строк, или только количество столбцов (nrow или ncol), второй аргумент среда рассчитает исходя из общего количества элементов. Например, если всего 16 элементов, указаны 2 строки, то количество столбцов определится равным восьми. На практике это позволяет сэкономить время ввода. Ввод полной размерности матрицы актуален лишь когда не указываются значения элементов матрицы (т.е. пустая матрица).

11

A=t(A)

В результате транспонирования матрица приняла необходимый для вычисления вид:

Далее вводим матрицу B:

B=matrix (c (J,0,-J,0,0,E[1]+E[2], E[2]-E[3],0))

Результат приведён ниже:

Решение линейной системы уравнений находим с помощью следующего оператора:

I=solve(A, B)

Ответом является столбцовая матрица токов. Для компактности записи перейдём к строковой матрице с помощью оператора транспонирования.

12

I=t(I)

Решение линейной системы уравнений может быть найдено и с помощью следующего матричного уравнения:

I = A−1 × B

Его реализация в R будет выглядеть следующим образом2:

I= solve(A) %*% B

Таким образом, второй вариант решения получается более громоздким, чем решение системы показанное выше.

Ответом задачи определения неизвестных токов является величина и направление всех искомых токов. Так как направлениями токов мы задались произвольно, то минус в ответе говорит об ошибке в выборе направления. В данном примере направления первого и шестого токов надо изменить на противоположные.

Убедимся в достоверности полученных значений токов. Для этого проверим баланс мощностей источников и приёмников в рассматриваемой электрической цепи.

Найдём значение мощности, отдаваемой источниками. Pист= E[1]*I[3]+E[2]*I[8]+E[3]*I[4]+J*(I[1]*R[1]+I[2]*R[2])

Сумма в круглых скобках даёт напряжение на зажимах источника тока. Найдём значение суммарной мощности, рассеиваемой резисторами. Так

как количеств значений токов в матрице I равно восьми, а количество значений сопротивлений в матрице R равно семи, вычисление произведений должно быть выполнено поэлементно в пределах от одного до семи. Для этого зададим счётчик n:

n=1:7

Использование такой записи даёт следующий результат:

2 В языке R выражение solve(A) выполняет инверсию матрицы A, а оператор «%*%» выполняет умножение матриц.

13

Теперь найдём сумму значений мощностей: Pпр= sum(R[n]*I[n]^2)

Результат вычисления мощностей показывает, что решение системы уравнений по законам Кирхгофа выполнено корректно:

Баланс мощностей выполняется.

1.2. ЗАДАНИЕ ДЛЯ РАСЧЁТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ № 1 «АНАЛИЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

ВУСТАНОВИВШЕМСЯ РЕЖИМЕ»

1.Подготовить схему электрической цепи постоянного тока, которая должна содержать не менее 5 независимых контуров, не менее 3 источников ЭДС и не менее 1 источника тока, и согласовать её с преподавателем.

2.Составить для электрической цепи необходимую систему уравнений по законам Кирхгофа.

3.Выбрать произвольные параметры элементов электрической цепи и рассчитать неизвестные токи (параметры цепи согласовать с преподавателем).

4.Проверить правильность решения с помощью уравнения баланса мощностей.

5.Построить потенциальную диаграмму для одного из независимых контуров, содержащего источники ЭДС (технология построения потенциальной диаграммы приведена в прил. 2).

6.Сделать выводы, в которых необходимо отразить режимы работы источников и дать оценку величинам токов в ветвях схемы.

7.Оформить отчёт о выполненной задаче по правилам оформления записки к курсовой работе или проекту. Листинги с компьютерными расчётами вынести в прил. 1.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1.В каких случаях используются преобразования электрических цепей?

2.В каких случаях используются преобразования «расщепление узла» и «расщепление ветви»?

3.Дайте определение понятию «обобщённая ветвь» и поясните её использование.

14

4.В каких случаях источники электрической энергии являются генераторами, а в каких случаях потребителями?

5.Почему в схеме замещения электрической цепи постоянного тока отсутствуют катушки и конденсаторы?

6.С какой целью составляется уравнение баланса мощностей?

7.Какие положительные стороны использования направленного графа электрической цепи?

8.Какой критерий используется при выборе метода анализа электрической цепи?

9.В каких случаях используется метод эквивалентного генератора?

10.В языке R в чём принципиальное отличие матрицы и вектора значений?

11.Для чего используется свойство byrow=TRUE?

12.Для чего используется функция solve?

15

2.АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

СИСТОЧНИКАМИ СИНУСОИДАЛЬНОЙ ЭДС

ИСИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Мгновенные значения падений напряжений на идеальных элементах R, L, C электрической цепи и мгновенные значения токов связаны выражениями:

Видно, что состояние электрической цепи в любой момент времени определяется системой дифференциальных уравнений, составленных по законам Кирхгофа. При синусоидальных токах и напряжениях анализ состояния электрической цепи упрощается благодаря использованию комплексного или символического метода. Перенос задачи на комплексную плоскость позволяет заменить дифференциальные уравнения состояния электрической цепи алгебраическими и исключить из них время.

При переносе решения на комплексную плоскость синусоидальные источники ЭДС e (t ) = E 2 sin(ωt +ψ ) замещаются комплексными векторами

E = Ee jψ , зафиксированными в момент времени t = 0 . Аналогично замещаются и синусоидальные источники тока. Сопротивления резисторов, индуктивности катушек и ёмкости конденсаторов замещаются их комплексными сопротив-

ставления уравнений необходимо использовать законы Кирхгофа в комплексной форме. После определения комплексных действующих значений неизвестных токов они записываются в виде синусоид.

Верность решения проверяется с помощью уравнения баланса мощностей в комплексной форме.

Решение иллюстрируется векторными диаграммами токов и векторными топографическими диаграммами напряжений.

2.1. СОСТАВЛЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПО МЕТОДУ КОНТУРНЫХ ТОКОВ

Анализ электрических цепей в установившемся режиме с синусоидальными источниками одинаковой частоты ведётся либо методом контурных токов, либо методом узловых потенциалов. Решение переносится на комплексную

16

плоскость. При этом система уравнений по методу контурных токов принимает следующий вид:

где Im m – неизвестные комплексные действующие значения контурных токов; Jp

– известные комплексные действующие значения контурных токов, которые определяются источниками тока; Zm m – сумма комплексных сопротивлений ветвей, образующих контур m; Zk m – сумма комплексных сопротивлений ветвей, по которым течёт контурный ток k и контурный ток m (берётся со знаком плюс, если направления контурных токов в ветвях одинаковые, в противном случае берётся со знаком минус); Em m – алгебраическая сумма комплексных действующих значений ЭДС, входящих в данный контур.

Использование направленного графа электрической цепи упрощает выбор независимых контуров и формализует составление уравнений. Предварительно необходимо избавиться от вырожденных ветвей с помощью операции расщепления узлов и ветвей. В этом случае система контурных уравнений в матричной форме принимает следующий вид.

где В – матрица контуров; Ik – матрица столбец неизвестных комплексных действующих значений контурных токов; Z – диагональная матрица комплексных сопротивлений ветвей; Е – матрица столбец комплексных действующих значений ЭДС ветвей; J – матрица столбец комплексных действующих значений источников тока.

Пример решения задачи в среде Mathcad

Использование направленного графа электрической цепи упрощает выбор независимых контуров и формализует составление уравнений и при наличии в цепи индуктивно связанных катушек. В этом случае в квадратную матрицу комплексных сопротивлений ветвей вводят на соответствующие места комплексные сопротивления взаимных индуктивностей.

На рис. 2.1 приведена электрическая цепь, в которой надо найти все неизвестные токи. На рис. 2.2 приведён направленный граф данной цепи, в котором выделено дерево графа жирными линиями.

Зададимся параметрами источников.

e1 (t) = 200 sin(1000t + 0.4) , e2 (t) = 150 sin(1000t − 0.6) , e3 (t) = 180 sin(1000t + 1) ,

J1 (t) = 0.3sin(1000t) .

17

Введём в листинг параметры элементов цепи.

Найдём комплексные сопротивления ветвей, комплексные взаимные сопротивления и комплексные действующие значения источников.

Используя граф цепи (см. рис. 2.2), подготовим матрицы источников и сопротивлений. Составим матрицу В контуров и найдём коэффициенты контурных уравнений в матричной форме. Решим систему уравнений в матричной форме и найдём контурные токи. Знаки взаимных сопротивлений в матрице сопротивлений определяются направлением ветвей графа относительно одноимённых зажимов индуктивно связанных катушек. В данном примере все катушки включены встречно, поэтому взаимные сопротивления взяты со знаком минус.

18