Теоретические основы электротехники. Ч.1. Численные методы анализа установившихся режимов в линейных электрических цепях. Учебное пособие
.pdf
Баланс мощностей выполняется. Теперь можно записать выражения для мгновенных значений искомых токов в виде синусоидальных функций. Например, выражение для первого тока имеет вид:
Пример решения задачи в среде R:
Введём в листинг параметры элементов цепи.
R1=60; R2=55; R3=100; R4=110; R5=80; R6=70; R7=90; R8=95
L1=0.05; L2=0.08; L3=0.09; L4=0.1; L5=0.11; L6=0.7; w=1000
M12=0.02; M13=0.04; M36=0.06; M45=0.08
C1=20e-6; C2=10e-6; C3=15e-6; C4=12e-6; C5=18e-6; C6=28e-6
Найдём комплексные сопротивления ветвей, комплексные взаимные сопротивления и комплексные действующие значения источников.
Z1=R1+1i*w*L1; Z2=R2+1i*(w*L2-(w*C1)^-1)
Z3=R8+1i*(w*L6-(w*C5)^-1 - (w*C6)^-1)
Z4=R6+1i*(w*L4+w*L5-2*w*M45); Z5=R3+1i*w*L3
Z6=R5-1i*(w*C3)^-1; Z7=R7-1i*(w*C4)^-1; Z8=R4-1i*(w*C2)^-1
Z12=1i*w*M12; Z21=Z12
Z15=1i*w*M13; Z51=Z15
Z35=1i*w*M36; Z53=Z35
E1=complex(modulus=200/sqrt(2), argument=0.4)
E2=complex(modulus=150/sqrt(2), argument= -0.6)
E3=complex(modulus=180/sqrt(2), argument=1)
J1=0.3/sqrt(2)
21
Используя граф цепи (см. рис. 2.2), подготовим матрицы источников и сопротивлений. Составим матрицу контуров В и найдём коэффициенты контурных уравнений в матричной форме. Решим систему уравнений в матричной форме и найдём контурные токи. Знаки взаимных сопротивлений в матрице сопротивлений определяются направлением ветвей графа относительно одноимённых зажимов индуктивно связанных катушек. В данном примере все катушки включены встречно, поэтому взаимные сопротивления взяты со знаком минус.
J=matrix(c(0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -J1), byrow=TRUE)
E= matrix(c(E1, E2, 0, 0, 0, 0, E3, 0), byrow=TRUE)
Zv= matrix(c(Z1, Z2, Z3, Z4, Z5, Z6, Z7, Z8), byrow=TRUE)
Z=matrix(c(
Z1, -Z12, 0, 0, -Z15, 0, 0, 0,
-Z21, Z2, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0, Z3, 0, -Z35, 0, 0, 0,
0, 0, 0, Z4, 0, 0, 0, 0,
-Z51, 0, -Z53, 0, Z5, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 0, 0, Z6, 0, 0,
0, 0, 0, 0, 0, 0, Z7, 0,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, Z8), nrow=8, ncol=8, byrow=TRUE)
B=matrix(c(
1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, -1,
0, 1, 0, 0, -1, -1, 0, 0,
0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0,
0, 0, 0, 1, 0, 0, -1, 1), nrow=4, ncol=8, byrow=TRUE)
A=B%*%Z%*%t(B)
C=B%*%(E-Z%*%J)
Ik=solve(A, C)
Найдём токи в ветвях схемы как суперпозицию контурных токов.
I=matrix(c(
Ik[1], Ik[2], Ik[3], Ik[4], Ik[1]-Ik[2], Ik[3]-Ik[2], Ik[3]-Ik[4], Ik[4]-Ik[1]-J1))
22
Для проверки правильности решения задачи найдём комплексные мощности источников и приёмников электрической энергии и убедимся в балансе мощностей.
UJ1=-I[8]*Z8
Pист=sum(E*Conj(I))+UJ1*J1
Q12=-2*Z12*abs(I[1])*abs(I[2])*cos(Arg(I[1])-Arg(I[2]))
Q15=-2*Z15*abs(I[1])*abs(I[5])*cos(Arg(I[1])-Arg(I[5]))
Q35=-2*Z35*abs(I[3])*abs(I[5])*cos(Arg(I[3])-Arg(I[5]))
Pпр=sum(abs(I)^2*Zv)+Q12+Q15+Q35
Баланс мощностей выполняется. Теперь можно записать выражения для мгновенных значений искомых токов в виде синусоидальных функций. Получим выражение для первого тока. Рассчитаем модуль и начальную фазу первого тока:
Ia1=abs(I[1])*sqrt(2)
Phi1=Arg(I[1])
Итоговое выражение:
i1(t ) = 0.844 × sin(1000 × t + 0.133)
23
2.2. ЗАДАНИЕ ДЛЯ РАСЧЁТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ № 2 «АНАЛИЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
СВЗАИМНО ИНДУКТИВНЫМИ СВЯЗЯМИ»
1.Преобразовать свою схему электрической цепи постоянного тока из предыдущей задачи, введя в каждую ветвь по одному реактивному элементу. Цепь должна содержать не менее 5 независимых контуров, не менее 3 источников синусоидальной ЭДС и не менее 1 источника синусоидального тока. У всех источников частота должна быть одинаковой, а остальные параметры разные.
2.Ввести две индуктивные связи с произвольными значениями коэффициентов связи.
3.Выбрать произвольные параметры L и C реактивных элементов (сопротивления их должны быть одного порядка с сопротивлениями резисторов) и рассчитать неизвестные токи методом контурных токов в комплексной форме. Допускается использовать матричную форму контурных уравнений на базе графа цепи.
4.Проверить правильность решения с помощью уравнения баланса мощностей в комплексной форме.
5.Построить векторную топографическую диаграмму напряжений на всех элементах и отдельно векторные диаграммы токов для каждого узла без одного.
6.Сделать выводы, в которых необходимо отразить режимы работы источников, их коэффициенты мощности и дать оценку величинам токов в ветвях схемы.
7.Оформить отчёт о выполненной задаче по правилам оформления записки к курсовой работе или проекту. Листинги с компьютерными расчётами вынести в прил.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1.Какая разница между активными и реактивными сопротивлениями элементов электрической цепи?
2.Зачем анализ состояния электрической цепи с синусоидальными токами переносят на комплексную плоскость?
3.Как перейти к комплексным сопротивлениям элементов?
4.Как используется треугольник сопротивлений?
5.Как используется треугольник проводимостей?
6.Как используется треугольник мощностей?
7.Как найти комплексное сопряжённое значение тока?
24
8.Как определяются активная и реактивная мощности?
9.Как находится реактивная мощность обмена индуктивно связанных катушек?
10.Поясните термин «одноимённые зажимы».
11.Чем отличаются резонанс напряжений и резонанс токов?
12.Как строится векторная топографическая диаграмма напряжений?
13.Зачем составляется уравнение баланса комплексных мощностей?
14.По какой частотной характеристике определяется резонансная частота двухполюсника?
15.Перечислите возможные соединения трёхфазного генератора и трёхфазного потребителя.
16.Как рассчитывается «коэффициент мощности» работы источника?
25
3. РАСЧЁТ ТРЕХФАЗНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
Трёхфазные электрические цепи являются сложными электрическими цепями, содержащими трёхфазные источники синусоидальной ЭДС. Анализ таких цепей ведётся либо методом контурных токов, либо методом узловых потенциалов. Рассмотрим примеры анализа трёхфазных цепей.
3.1. РАСЧЁТ ТРЕХФАЗНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
Пример расчёта трехфазной электрической цепи в среде Mathcad
Необходимо найти неизвестные токи в трёхфазной цепи, содержащей трёхфазный генератор, линию передачи и три потребителя, соединённые по схеме звезда с нулевым проводом, звезда без нулевого провода и треугольник
(рис. 3.1).
Рис. 3.1
Выполним анализ цепи методом узловых потенциалов. Для составления уравнений в матричной форме используем направленный граф цепи (рис. 3.2). Направления ветвей графа соответствуют условно положительным направлениям токов в трёхфазных цепях.
26
Рис. 3.2
Введём в листинг решения исходные данные в комплексной форме.
Подготовим массивы значений источников и массивы проводимостей ветвей. Составим матрицу соединений. Найдём коэффициенты узловых уравнений в матричной форме и решим систему уравнений относительно комплексных потенциалов узлов схемы.
27
Найдём напряжения на ветвях и токи в ветвях, считая ΦN := 0.
Для проверки верности решения найдём комплексные мощности источников и приёмников электрической энергии.
Баланс мощностей выполняется.
Определим, с каким коэффициентом мощности работают фазные ЭДС трёхфазного генератора.
Рассчитаем и построим векторную топографическую диаграмму напряжений для первого потребителя (рис. 3.3).
28
Рассчитаем и построим векторную топографическую диаграмму напряжений для потребителя, соединённого треугольником (рис. 3.4).
Рис. 3.3
29
Рис. 3.4
Пример расчёта трехфазной электрической цепи в среде Mathcad
Введём в листинг решения исходные данные в комплексной форме.
EA=complex(modulus=220, argument=0)
EB=complex(modulus=220, argument=-2*pi/3)
EC=complex(modulus=220, argument=2*pi/3)
ZA=4+4i; ZB=4+4i; ZC=4+4i
Z1a=50+30i; Z1b=45+35i; Z1c=60-10i
Z2a=45-20i; Z2b=40-15i; Z2c=40-25i
Zab=80+25i; Zbc=75+30i; Zca=85+15i; ZN=6+6i
Подготовим массивы значений источников и массивы проводимостей ветвей. Составим матрицу соединений. Найдём коэффициенты узловых уравнений в матричной форме и решим систему уравнений относительно комплексных потенциалов узлов схемы.
30