Спин-орбитальные взаимодействия в полупроводниковых квантовых точках и кольцах

Глава 4

СПИН-ОРБИТАЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ РАШБЫ

ИДРЕССЕЛЬХАУСА НЕРАВНЫХ ИНТЕНСИВНОСТЕЙ

ВКВАНТОВЫХ ТОЧКАХ И КОЛЬЦАХ ВНУТРИ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ ГЕТЕРОСТРУКТУР

4.1.Спин-орбитальные взаимодействия Рашбы и Дрессельхауса неравных интенсивностей

Вобщем случае произвольных значений интенсивностей α и β спин-орбитальных взаимодействий, когда отсутствует внешнее магнитное поле, полный гамильтониан задачи можно представить в виде суммы

и возмущения вида

()

Далее рассмотрен случай, когда разность интенсивностей α−β мала по сравнению с их суммой α+β. Приближенное решение уравнения Шредингера ищется с помощью теории возмущений, когда возмущение пропорционально малому параметру

Будем решать уравнение HΨ = EΨ в два этапа. Сначала получим точное решение невозмущенного уравнения

а потом учтем влияние добавки H′ в рамках теории возмущений. Отметим, что невозмущенное уравнение (4.5) с гамильтонианом

(4.2) совпадает с уравнением Шредингера (3.2) в случае равных интенсивностей β = α, если в нем заменить α на (α + β)/2 и E на E0.

51

Перейдя к безразмерным величинам (2.3) и (3.33), а также вводя обозначение

Радиальные волновые функции в случае квантовой точки имеют вид (3.17), а в случае квантового кольца — вид (3.22) с тем отличием, что e и a заменяются соответственно на e0 и a+.

Представим возмущение в безразмерной форме:

Так как каждый уровень энергии невозмущенной системы является двукратно вырожденным с собственными функциями (4.6), то учи-

тываем вклад (4.9) по теории возмущений при наличии вырождения.

√

Вследствие того, что (σx + σy) n± = i 2 n , имеем следующие равенства:

для диагональных матричных элементов в базисе собственных ортонормированных векторов (напоминаем, что Ψ±0 |Ψ±0 =1, Ψ±0 |Ψ0 =0).

Недиагональные матричные элементы имеют вид

52

Сплошные линии соответствуют первым уровням энергии, а штриховые — вторым уровням для m = 0, m = 1 и m = 2.

53

54

Таблица 4.1. Зависимость e0 от ri при a+ = 0 и v = 400

55

Полная поправка γδ мала по сравнению с невозмущенной энергией e0, когда параметр γ достаточно мал. Отличительной особенностью использованного приближения является равенство нулю поправки при m = 0.

4.2. Взаимодействия Рашбы и Дрессельхауса неравных интенсивностей в присутствии магнитного поля

В присутствии магнитного поля и спин-орбитальных взаимодействий неравных интенсивностей (α ≠ β) полный гамильтониан рассматриваемой задачи принимает вид

где

В качестве невозмущенного гамильтониана рассматривается H0, а H′ и VZ выступают в роли возмущений. Гамильтониан (4.15) отличается от гамильтониана (3.29) всего лишь заменой α на (α + β)/2.

56

Решения невозмущенного уравнения H0Ψ±0 = E0Ψ±0 допускают факторизацию вида (4.6). Перейдя к безразмерным величинам, для радиальной волновой функции u(r) получаем уравнение вида (3.32), в котором параметр a следует заменить на a+ вида (4.7). Функции u(r) имеют структуру (3.34), в которой f(r) определяется формулами (3.43) и (3.44) для квантовой точки и формулами (3.46) и (3.47) для квантового кольца.

Воспользовавшись проведенными ранее вычислениями в параграфах 3.2. и 4.1. для поправок, связанных с возмущениями VZ и H′, получаем выражение для уровней энергии

а γ имеет вид (4.4).

Зависимость невозмущенной энергии e0 и относительной поправки −e′/e0, где e′ = 4ζb∆, от величины магнитной индукции b уже была представлена на рис. 3.3 и 3.4 для квантовой точки и на рис. 3.7 и 3.8 для квантового кольца при ζ = −0,00737, ri = 0,5 и v = 400. Разумеется, на указанных рисунках должна быть проведена замена

a = 1 на a+ = 1.

Зависимость относительной поправки δ/e0 от b при a+ = 1 показана на рис. 4.8 для квантовой точки и на рис. 4.9 для квантового кольца, когда ri = 0,5. Как и ранее, сплошные линии соответствуют первым уровням энергии, а штриховые — вторым.

57

58

Заключение

Таким образом, в монографии проведено систематическое исследование состояний электрона в двух топологически различных нанообъектах — квантовых точках и квантовых кольцах, локализованных в среднем слое двойной полупроводниковой гетероструктуры. Отличительной чертой настоящей работы является последовательный учет спин-орбитальных взаимодействий, что, с одной стороны, значительно усложняет анализ, но с другой — служит более глубокому пониманию явлений в наноструктурах. Следующая характерная особенность проведенного исследования — учет внешнего магнитного поля, которое оказывает существенное влияние на состояния электрона.

Разумеется, моделирование с помощью прямоугольных потенциалов конечной глубины является упрощением для реальных нанообъектов. Такая модель оказывается достаточно простой, чтобы находить аналитические решения уравнения Шредингера (точные или по теории возмущений). Вместе с тем используемая модель достаточно адекватно воспроизводит основные свойства нанообъектов. Значимость полученных результатов определяется тем, что они позволяют дать более достоверное описание спин-зависимых эффектов в наноразмерных системах и в дальнейшем могут быть применены для оптимизации характеристик полупроводниковых приборов, перспективных с точки зрения обработки и хранения информации.

Аналитические результаты довольно детально дополнены численными иллюстрациями, которые дают наглядное представление о поведении волновых функций и зависимостях дискретных уровней энергии от параметров нанообъектов и магнитного поля.

60