Спин-орбитальные взаимодействия в полупроводниковых квантовых точках и кольцах

Результаты численного решения уравнения (3.26) представлены в табл. 3.2–3.4, которые демонстрируют зависимость уровней энергии e от отношения радиусов кольца ri, значения квантового числа m и глубины потенциальной ямы v при a = 0.

Таблица 3.2. Зависимость e от ri при v = 100

Таблица 3.3. Зависимость e от ri при v = 400

Таблица 3.4. Зависимость e от ri при v = 700

41

Из данных таблиц видно, что число допустимых связанных состояний увеличивается с ростом v и уменьшается с ростом ri.

3.2.Взаимодействия Рашбы и Дрессельхауса равных интенсивностей в присутствии магнитного поля

При рассмотрении состояний электрона с учетом внешнего однородного постоянного магнитного поля в уравнении Шредингера (3.2) следует заменить оператор импульса p на оператор P вида (1.6), а также учесть взаимодействие Зеемана VZ вида (2.37).

Полный гамильтониан рассматриваемой задачи представим в виде суммы невозмущенного гамильтониана

где Vc(ρ) – удерживающий аксиально-симметричный прямоугольный потенциал, и возмущения VZ .

Так как не удается найти точное решение полного уравнения

сначала получим точное решение невозмущенного уравнения

а потом учтем влияние взаимодействия Зеемана в рамках теории возмущений.

Заметим, что и при учете внешнего магнитного поля в случае невозмущенного уравнения Шредингера (3.31) с гамильтонианом (3.29) сохраняются оба интеграла движения (3.3) и (3.4), и искомые решения Ψ±0 (x,y) уравнения (3.31) имеют вид (3.5). Специфика этих решений определяется конкретными выражениями для радиальных волновых функций u(ρ).

Перейдя к безразмерным величинам (2.3) и (2.38), запишем радиальное уравнение

для прямоугольных потенциальных ям (2.9) и (2.10), моделирующих квантовую точку и квантовое кольцо. Здесь введено обозначение

42

В каждой из областей изменения r радиальное уравнение (3.32) совпадает с уравнением для радиальной волновой функции электрона в однородном магнитном поле без учета спин-орбитального взаимодействия [89], если заменить e0 на e0 + a2 −vc(r). Поэтому, следуя [89], представим искомую функцию u(r) в виде

где f(r) выражается через вырожденные гипергеометрические функции. Из уравнения (3.32) видно, что выполняется следующее соотношение:

Выражение для взаимодействия Зеемана в безразмерных величинах принимает вид

Напоминаем, что и при наличии магнитного поля каждый уровень энергии невозмущенной системы является двукратно вырожденным с собственными функциями (3.5).

Вследствие того, что σz n± = n , в базисе собственных векторов |Ψ+0 и |Ψ−0 невозмущенного гамильтониана для диагональных матричных элементов выполняются равенства Ψ±0 |σz|Ψ±0 = 0. Недиагональные матричные элементы имеют вид

43

Для поправки e′ выполняется соотношение

Нормированные собственные функции нулевого приближения, которые соответствуют собственным значениям e±, описываются формулами

Ψ±0 |Ψ±0 = 1.

Условие непрерывности для первой производной волновой функ-

для определения энергии e0(m,v,a,b).

Теперь представим результаты вычислений для квантовой точки при ζ = −0,00737 и v = 400.

На рис. 3.3 и 3.4 в безразмерных единицах показана зависимость невозмущенной энергии e0 и относительной поправки −e′/e0 к энергии от магнитной индукции b при фиксированном значении параметра a = 1.

44

45

В случае кругового квантового кольца функция f(r) имеет вид

Здесь c1, c21, c22, c3 – произвольные коэффициенты, а функции f1(r), f21(r), f22(r), f3(r) выражаются через вырожденные гипергеометрические функции следующим образом:

f1(r) = M(γo,βm,br2),

f21(r) = M(γi,βm,br2), f22(r) = U(γi,βm,br2), (3.47)

f3(r) = U(γo,βm,br2).

Условия непрерывности для функции u(r) и ее первой производной в граничных точках r = ri и r = 1 приводят к системе алгебраических уравнений

˜

для четырех коэффициентов X = {c1,c21,c22,c3}; T4(m,e0,v,a,b,ri) – 4×4 матрица вида

Следовательно, значения энергии e0(m,v,a,b,ri) определяются уравнением

Приведем графические иллюстрации для кругового квантового

кольца при ζ = −0,00737, ri = 0,5 и v = 400.

На рис. 3.7 и 3.8 представлена зависимость невозмущенной энергии e0 и относительной поправки −e′/e0 к энергии от магнитной индукции b при фиксированном значении a = 1. На рис. 3.9 и 3.10 представлена зависимость e0 и −e′/e0 от интенсивности спин-орбитального взаимодействия a при фиксированном значении b = 1.

47

Табл. 3.5 показывает существенную зависимость невозмущенной энергии e0 и относительной поправки −e′/e0 к энергии от отношения радиусов кольца ri при фиксированных значениях a = 1 и b = 1. В скобках приведены значения величины −e′/e0. Значению ri = 0 соответствует квантовая точка. В табл. 3.5 приведены только два первых уровня энергии. Заметим, что при ri = 0,9 уже вторые уровни энергии лежат выше потенциальной ямы, безразмерная глубина v

48