Спин-орбитальные взаимодействия в полупроводниковых квантовых точках и кольцах

Значения энергии e являются результатом численного решения уравнения

после чего находится аналитическое решение системы (2.33) для коэффициентов, с помощью которых определяются радиальные волновые функции u(r) и w(r).

Рис. 2.3 демонстрирует функции u(r) (сплошная линия) и w(r) (штриховая линия) для m = 1, a = 10, ri = 0,8, v = 100 и e = 21,4511.

21

Видно, что радиальные волновые функции быстро убывают под барьерами.

Табл. 2.2 показывает зависимость энергии e от отношения радиусов кольца ri и параметра Рашбы a для фиксированного значения глубины потенциальной ямы v = 100 при двух значениях углового момента m = 0, 1.

Таблица 2.2. Уровни энергии в квантовом кольце для v = 100

2.2.Взаимодействие Рашбы в присутствии магнитного

поля

Уравнение Шредингера для электрона в двумерной аксиально-

где оператор P задан соотношением (1.6), а оператор взаимодействия Рашбы VR представлен выражением (1.7). Здесь имеем обычное вы-

22

где g – эффективный гиромагнитный фактор, µB – магнетон Бора и σz – матрица Паули.

Как было показано в [42], уравнение (2.36) также допускает разделение переменных (2.6) в полярных координатах ρ, φ. Кроме того, к перечню безразмерных величин (2.3) следует добавить

где обезразмеренный удерживающий потенциал vc(r) имеет вид (2.9) и (2.10).

Ищем радиальные волновые функции u(r) и w(r), регулярные в начале координат r → 0 и убывающие на бесконечности r → ∞.

которые приводят к вырожденным гипергеометрическим уравнениям для прямоугольных потенциалов (2.9) и (2.10).

23

Аналогично в области 2 при применении известных свойств

U(α,β,ξ) − dU(α,β,ξ) = U(α,β + 1,ξ), dξ

(β − 1 − ξ)U(α,β,ξ) + ξ dU(α,β,ξ) = −U(α − 1,β − 1,ξ) dξ

вырожденных гипергеометрических функций U(α,β,ξ) [88] находятся решения

Соответствующие волновые функции u(r) и w(r) имеют правильное поведение на бесконечности.

Условия непрерывности для радиальных волновых функций u(r), w(r) и их производных u′(r), w′(r) в граничной точке r = 1 могут быть записаны следующим образом:

f1(1) = f2(1), f1′(1) = f2′(1), g1(1) = g2(1), g1′(1) = g2′(1),

где штрихами обозначены производные по r. Отсюда получаем систему алгебраических уравнений

25

для четырех коэффициентов X = {c+1 ,c−1 ,c+2 ,c−2 }. Здесь M4(m,e,v,a,b) – 4 × 4 матрица

Следовательно, точное уравнение для определения энергий e(m,v,a,b) имеет вид

Это уравнение не может быть решено аналитически, но легко исследуется численно.

После того как значения e(m,v,a,b) найдены из (2.52), получаем значения коэффициентов c+1 ,c−1 ,c+2 ,c−2 из системы (2.50):

где

дартной нормировкой (2.23). Таким образом, радиальные волновые функции u(r) и w(r) построены полностью.

В дополнение к аналитическим результатам представим результаты численного решения уравнения (2.52). На рис. 2.4–2.7 сплошные линии соответствуют первым уровням энергии, а штриховые — вторым уровням при заданном значении m. В соответствии с [42] выбирается относящееся к арсениду галлия GaAs значение параметра:

g = −0,44, (2.55)

тогда получаем ζ = −0,00737. При выборе ρo = 30 нм имеет место следующее соответствие между безразмерной и размерной величиной:

26

27

Заметим, что характер указанных зависимостей сохраняется при варьировании фиксированных параметров в широком диапазоне. Вид-

28

но, что для всех состояний кривые, соответствующие v = ∞ (потенциальная яма с непроницаемой стенкой), лежат выше кривых, соответствующих v = 400.

Рис. 2.8 и 2.9 дают примеры нормированных условием (2.23) радиальных волновых функций u(r) и w(r) при фиксированном значении a = 1, b = 1 для v = 400, m = 0 и m = 1.

29

Соответствие сплошных и штриховых линий уровням энергии то же, что и прежде. Следует отметить, что радиальные волновые функции быстро убывают вне потенциальной ямы.

В случае квантового кольца рассмотрим три области 0 < r < ri (область 1), ri < r < 1 (область 2) и 1 < r < ∞ (область 3) раздельно.

Легко показать, что решения радиальных уравнений с правильным поведением около начала координат в первой области строятся так:

для m = −1, − 2, − 3, . . . Здесь величины ko± имеют вид (2.49).

В области 3 решения радиальных уравнений с правильным поведением на бесконечности строятся согласно соотношениям

где функции f2±(r) и g2±(r) имеют вид (2.47) при положительных

и(2.48) при отрицательных значениях m.

Вобласти 2 нет ограничений на выбор частных решений, и искомые функции строятся так:

30