Спин-орбитальные взаимодействия в полупроводниковых квантовых точках и кольцах

где qe – заряд электрона. Тогда взаимодействия Рашбы и Дрессельхауса описываются формулами

Интенсивности этих взаимодействий зависят от используемых материалов. Вклад каждого из взаимодействий может быть измерен с применением различных экспериментальных методов [68,69].

Влияние спин-орбитальных взаимодействий на состояния электронов в полупроводниковых гетероструктурах активно исследуется в последнее время (см., напр., [70–72]). В общем случае полное спинорбитальное взаимодействие имеет вид

при β ≠ α. Вместе с тем значительное внимание уделяется и специальному случаю [68,73,74], когда спин-орбитальные взаимодействия Рашбы и Дрессельхауса имеют равную интенсивность. Это может быть экспериментально осуществлено, поскольку интенсивностью взаимодействия Рашбы можно управлять с помощью внешнего электрического поля, а интенсивность взаимодействия Дрессельхауса можно изменять варьированием ширины квантовой ямы по оси z [68].

В случае α = β гамильтониан электрона в гетероструктуре с учетом спин-орбитальных взаимодействий и взаимодействия Зеемана в присутствии магнитного поля, но без потенциала Vc(ρ) математически эквивалентен гамильтониану модели Раби для двухуровневой системы в одномодовом квантовом поле [75, 76], если же α ≠ β, то исследуемый гамильтониан эквивалентен гамильтониану обобщенной модели Раби [77].

Следует заметить, что существующие примеры учета спинорбитальных взаимодействий в квантовых точках [41,42,45,46] и квантовых кольцах конечной ширины [43] нельзя признать удовлетворительными из-за бесконечной глубины удерживающих потенциалов. В настоящем исследовании влияние спин-орбитальных взаимодействий на состояния электронов в полупроводниковых гетероструктурах исследуется на основе моделирования квантовых точек и колец потенциалами конечной глубины.

Дальнейшее изложение базируется на результатах работ, которые могут быть разбиты на три группы в зависимости от типа рассматриваемого спин-орбитального взаимодействия. В каждой из этих групп описываются случаи отсутствия и присутствия магнитного поля как

11

Глава 2

СПИН-ОРБИТАЛЬНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ РАШБЫ В КРУГОВЫХ КВАНТОВЫХ ТОЧКАХ И КОЛЬЦАХ

2.1.Спин-орбитальное взаимодействие Рашбы

Вслучае отсутствия магнитного поля одноэлектронная волновая функция удовлетворяет уравнению Шредингера

где Me – эффективная масса электрона, характеризующая его движение в полупроводниковой гетероструктуре. Удерживающие потенциалы Vc(ρ) описываются формулами (1.1) и (1.2), а оператор взаимодействия Рашбы VR представлен выражением (1.3). Уравнение Шредингера будем рассматривать в полярных координатах ρ, φ, связанных с декартовыми обычным образом:

Если взять относящееся к арсениду галлия GaAs значение параметра

где Me – масса электрона в вакууме, и выбрать ρo = 30 нм, то получаются следующие соответствия между безразмерными и размерными

величинами:

a = 1 → α = 18,958 мэВ нм,

(2.5)

e = 1 → E = 0,63193 мэВ.

Так, например, при выбранных параметрах безразмерной величине v = 400 соответствует глубина потенциальной ямы V = 252,77 мэВ, близкая к значению 257 мэВ в [52].

13

Как было показано в [41], уравнение (2.1) допускает разделение переменных

где Lz = −i~∂φ – оператор углового момента. Тогда получаем систему радиальных уравнений

в случае квантового кольца. Здесь введено обозначение

для отношения радиусов кольца.

Постоянство удерживающего потенциала в каждой из областей изменения переменной r, которые перечислены в (2.9) и (2.10), позволяет найти точные решения системы (2.8) как для квантовой точки, так и для квантового кольца. При этом выбираются такие частные решения, которые обеспечивают для радиальных волновых функций

14

u(r) и w(r) регулярность в начале координат r = 0 и убывание на бесконечности r → ∞. Заметим, что при a = 0 уравнения (2.8) являются уравнениями Бесселя, что дает основания использовать свойства функций Бесселя для получения точных решений рассматриваемой системы.

В первую очередь исследуем решения для квантовой точки. Применительно к области 0 < r < 1, следуя [41], используем из-

вестные соотношения [88]

()

для функций Бесселя Jn(κr), чтобы получить точные решения

u1(r) = c1f1(m,r) + d1g1(m,r),

(2.13)

w1(r) = c1g1(m + 1,r) + d1f1(m + 1,r)

системы (2.8), где

f1(m,r) = 12(Jm(κ−i r) + Jm(κ+i r)),

(2.14)

g1(m,r) = 12(Jm(κ−i r) − Jm(κ+i r))

являются действительными линейными комбинациями функций Бесселя с действительными аргументами, и

√

Здесь c1 и d1 – произвольные коэффициенты. Радиальные волновые функции u1(r) и w1(r) имеют искомое поведение в начале координат. Из (2.15) следует нижняя граница на значения энергии e > −a2/4.

Применительно к области 1 < r < ∞ следует использовать свой-

15

модифицированной функции Бесселя Kn(κr), и тогда легко получить точные решения

u2(r) = c2f2(m,r) + d2g2(m,r),

(2.17)

w2(r) = c2g2(m + 1,r) − d2f2(m + 1,r)

системы (2.8), где

f2(m,r) = 12(Km(κ−o r) + Km(κ+o r)),

(2.18)

g2(m,r) = 12(Km(κ−o r) − Km(κ+o r))

являются действительными линейными комбинациями модифицированных функций Бесселя c комплексными аргументами, и

для радиальных волновых функций и их производных в граничной точке r = 1 приводят к алгебраическим уравнениям

16

которое инвариантно относительно замен m → −(m + 1) и a → −a. Подчеркнем, что число допустимых уровней энергии является конечным.

Если значения энергии найдены численным решением уравнения (2.22), то не составляет труда получить значения коэффициентов c1, c2, d1, d2 из системы уравнений (2.21) и стандартного условия нор-

0

Теперь представим некоторые численные и графические иллюстрации. Рис. 2.1 и 2.2 демонстрируют непрерывные радиальные волновые функции для m = 1 и m = −2 соответственно.

17

В обоих случаях a = 2, v = 100 и e = 37,0825. Сплошные линии соответствуют функциям u(r), а штриховые линии соответствуют функциям w(r). Рисунки отражают в явном виде факт вырождения энергетического уровня при замене m → −(m + 1).

Табл. 2.1 показывает зависимость энергии e от параметра Рашбы

Отрицательные значения e появляются для положительных v, когда

18

Вслучае квантового кольца приходится находить решение системы радиальных уравнений в трех областях.

Вобласти 0 < r < ri, используя свойства [88]

()

модифицированных функций Бесселя, находим точные решения

u1(r) = c1f1(m,r) + d1g1(m,r),

(2.25)

w1(r) = −c1g1(m + 1,r) + d1f1(m + 1,r)

системы (2.8), где

f1(m,r) = 12(Im(κ−o r) + Im(κ+o r)),

(2.26)

g1(m,r) = 2i (Im(κ−o r) − Im(κ+o r)),

κ±o представлены выражениями (2.19). Функции (2.25) регулярны при r → 0.

В области 1 < r < ∞, используя соотношения (2.16), получаем решения

u3(r) = c3f2(m,r) + d3g2(m,r),

(2.27)

w3(r) = c3g2(m + 1,r) − d3f2(m + 1,r),

убывающие на бесконечности r → ∞, где функции f2(m,r) и g2(m,r) имеют вид (2.18). При больших значениях r функции f2(m,r) и g2(m,r) ведут себя как

где ω определяется следующим образом:

√

19

Следует подчеркнуть, что радиальные волновые функции имеют бесконечное число нулей для конечного значения энергии.

В области ri < r < 1 общее решение системы (2.8) выражается через функции Бесселя следующим образом:

u2(r) = c21f21(m,r) + d21g21(m,r)+

+c22f22(m,r) + d22g22(m,r),

(2.30)

w2(r) = c21g21(m + 1,r) + d21f21(m + 1,r)+ +c22g22(m + 1,r) + d22f22(m + 1,r).

для радиальных волновых функций и их производных в граничных точках r = ri и r = 1 эквивалентны системе алгебраических уравнений

для произвольных коэффициентов X = {c1, d1, c21, d21, c22, d22, c3, d3}. Здесь введено обозначение для матрицы

20