Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Спин-орбитальные взаимодействия в полупроводниковых квантовых точках и кольцах

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

808 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

где

(m + 1 − ki±,m + 1,br2),

f21±(r) = M

ki±

M m + 1 − ki±,m + 2,br

g21± (r) =

( ki±

−

)

m + 1

+ e/4b + ζ

1/2

(

)

−

(2.62)

f22±(r) = U(m + 1 − ki±,m + 1,br

2),

U m + 1 − ki±,m + 2,br

g22± (r) =

(

ki±

+ e/4b + ζ

−

1/2 )

для m = 0,1,2, . . . , и

−

,br2

)

f21(r) = M(1 − ki , − m + 1

(

)

g± (r) =

m M −ki±, − m,br

−

k±

+ e/4b + ζ

−

1/2

(2.63)

,br2

f22(r) = U(1 − ki ,

− m + 12

)

g±

(r) =

−ki±, − m,br

−

k±

1/2

i (+

− )

для m = −1, − 2, − 3, . . . Здесь величины ki± имеют вид (2.45). Условия непрерывности для радиальных волновых функций u(r),

w(r) и их производных в граничных точках r = ri и r = 1 могут быть записаны следующим образом:


f1		(ri) = f2	(ri),	f2		(1)	= f3	(1),
f1	′	(ri) = f2	′(ri),	f2	′(1)		= f3	′(1),
g1		(ri) = g2	(ri),	g2		(1)	= g3	(1),
g1	′	(ri) = g2	′(ri),	g2	′(1)		= g3	′(1).

Отсюда получаем систему алгебраических уравнений

M(m,e,v,a,b,ri) X = 0

для восьми коэффициентов X = {c+1 ,c−1 ,c+21,c−21, c+22,c−22,c+3 ,c−3 };

˜	матрица вида
M(m,e,v,a,b,ri) – 8 × 8	матрица вида			4),
	M˜ =	(M˜3	M˜	4),
		˜	˜
		M1	M2

(2.64)

(2.65)

(2.66)

состоящая из четырех блоков:

M˜1 =

f1+(ri) f1−(ri) −f21+ (ri) −f21−(ri)

f+′(ri) f−′

(ri)

−

′(ri)

−

f−

′(ri)

−

(ri) g1−(ri)

g21(ri)

g21− (ri)

g+′(r

) g−′

)

−g+

′(r

)

−g−

′(r

)

					−f22+ (ri) −f22−(ri) 0 0
	M˜2 = −					f+		′(ri)			−		f−′		(ri) 0 0				,
	M˜2 = −						+				−		22						,
			−				22				−		22
						g22(ri)							g22− (ri)				0 0
					−g+			′(r		)	−g− ′				(r	)	0 0
							22		i				22		i
							0	0			f21+ (1)				f21−(1)
							0	0		f+		′(1)			f−′(1)
											21				21
		M˜3 =			0			0			21	(1)			21
		M˜3 =			0			0			g+	(1)			g− (1) ,
											21				21
					0			0		g+		′(1)			g− ′(1)					.
			f22+ (1)				f22−(1)					−f2+(1)					−f2−(1)
M˜4	=		f+	′(1) f−					′(1)				f+′(1)				f−′(1)
M˜4	=	g+		(1)			g−		(1)			− g+(1)					− g−(1)
			22					22				−		2			−	2
			22					22				−		2			−	2
			22					22						2				2
		g+		′(1)			g−		′(1)			−g+′(1)					−g−′(1)
			22					22						2				2

Уровни энергии e(m,v,a,b,ri) находятся из уравнения
˜	(2.67)
det M(m,e,v,a,b,ri) = 0,	(2.67)

которое решается численно. Если значения энергии e(m,v,a,b,ri) найдены из (2.67), то значения искомых коэффициентов c+1 , c−1 , c+21, c−21, c+22, c−22, c+3 , c−3 легко получить из уравнения (2.65) и условия нормировки.

Теперь представим примеры поведения решений уравнения (2.67). В случае квантового кольца выбирается то же значение параметра ζ = −0,00737, что и в случае квантовой точки. Графикам соответствует отношение радиусов квантового кольца ri = 0,5. Сплошным линиям соответствуют первые уровни энергии, а штриховым — вторые уровни энергии для данного значения m.

На рис. 2.10 и 2.11 в безразмерных единицах представлена зависимость энергии e от магнитной индукции b при фиксированных значениях параметра Рашбы a.

40
38
	m ‡ 1
			m ‡ 0
36
34
e
32	m ‡ -2
30	m ‡ 1		m ‡ -1
30			m ‡ 0
			m ‡ 0
28			m ‡ -2
			m ‡ -2
			m ‡ -1
26
0	1	2	3	4
		b
Рисунок 2.10. Зависимость e от b при a = 0,1, ri = 0,5 для v = 400
40
38	m ‡ 1
			m ‡ 0
36
34
e	m ‡ -2
32	m ‡ -2
32
30			m ‡ -1
30
	m ‡ 1
28			m ‡ 0
28
			m ‡ -2
26			m ‡ -1
26
0	1	2	3	4
		b
Рисунок 2.11. Зависимость e от b при a = 1, ri = 0,5 для v = 400

Сравнение полученных данных показывает существенное влияние интенсивности спин-орбитального взаимодействия на поведение указанной зависимости.

Рис. 2.12 и 2.13 демонстрируют зависимость уровней энергии e от
параметра Рашбы a при фиксированных значениях магнитной индук-
ции b.
55
50
45
40
e	m ‡ 1
	m ‡ 1
35	m ‡ -2
	m ‡ -2
30		m ‡ 0
30	m ‡ 1
	m ‡ 1	m ‡ -1
		m ‡ -1
25		m ‡ 0	m ‡ -1
		m ‡ 0
			m ‡ -2
20
0	1	2	3	4
		a
Рисунок 2.12. Зависимость e от a при b = 0,5, ri = 0,5 для v = 400
55	m ‡ 1
	m ‡ 1

45
		m ‡ 0
40	m ‡ 1
e	m ‡ 1
35
		m ‡ -1
30	m ‡ -2	m ‡ 0
	m ‡ -2	m ‡ 0
25		m ‡ -2
25		m ‡ -1
20
0	1	2	3	4

Рисунок 2.13. Зависимость e от a при b = 3, ri = 0,5 для v = 400

В табл. 2.3 приведена зависимость e от отношения радиусов кольца ri для фиксированных значений a = 1, b = 1 и v = 400. В табл. 2.4 показана зависимость e от глубины потенциальной ямы v при фиксированных значениях a = 1, b = 1 и ri = 0,5. Первый и второй столбцы для данного значения m представляют соответственно первый и второй уровни энергии. Видно, что энергия уровней возрастает с ростом ri и v.

Таблица 2.3. Зависимость e от ri при a = 1, b = 1, v = 400

ri	m = −2		m = −1		m = 0		m = 1
					e

0,1	11,1546	20,5634	8,40784	11,6889	8,07216	16,0687	14,7685	29,0068
0,3	15,2333	22,0607	14,8695	15,6909	14,4308	20,1349	18,7835	30,5326
0,5	26,6594	31,1076	27,0008	27,2145	26,6594	31,5576	30,1207	39,6641
0,7	60,0830	62,9589	60,2745	61,0963	60,4248	64,9463	63,4123	71,6304
0,9	217,766	219,587	217,804	219,066	218,264	222,606	220,965	228,388

Таблица 2.4. Зависимость e от v при a = 1, b = 1, ri = 0,5

v	m = −2		m = −1		m = 0		m = 1
					e

25	11,1356	15,5883	11,0065	11,6889	10,4833	15,9651	14,5421	20,6312
50	15,0121	19,6818	15,2366	15,3623	14,7204	19,8905	18,4485	28,2691
100	19,1740	23,7577	19,4880	19,6275	19,0631	24,0567	22,6185	32,3247
400	26,6724	31,1076	27,0008	27,2145	26,6594	31,5576	30,1207	39,6634
1000	30,4209	34,8152	30,7516	30,9818	30,4279	35,3066	33,8699	43,3697

Глава 3

СПИН-ОРБИТАЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ РАШБЫ

ИДРЕССЕЛЬХАУСА РАВНЫХ ИНТЕНСИВНОСТЕЙ

ВПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ КВАНТОВЫХ ТОЧКАХ

ИКОЛЬЦАХ

3.1.Спин-орбитальные взаимодействия Рашбы

иДрессельхауса равных интенсивностей

Когда взаимодействия Рашбы (1.3) и Дрессельхауса (1.4) имеют равную интенсивность β = α, полное спин-орбитальное взаимодействие (1.9) принимает вид

VSO = α(σx − σy)(px + py)/~.

(3.1)

В случае отсутствия внешнего магнитного поля уравнение Шредингера для электрона в двумерной системе выглядит следующим образом:

(	p2	+ Vc(ρ) + VSO)Ψ = E Ψ.	(3.2)
	2Me

Легко убедиться в том, что в случае уравнения Шредингера (3.2), наряду с очевидным интегралом движения

σ = σx − σy ,			(3.3)
	√
		2
имеется и менее очевидный интеграл движения
L = Lz + αMe (x − y)(σx − σy)/~.			(3.4)

Будем искать такие решения уравнения (3.2), которые являются собственными функциями операторов σ и L. Тогда решения допускают факторизацию вида

[ √ ]

Ψ±(x,y) = n± exp i 2 αMe (x + y)/~2 eimφu(ρ), m = 0,±1,±2, . . . ,

(3.5)

где n± – ортонормированные собственные векторы матрицы σ:

( )

1		1	(3.6)
σ n± = ±n±, n± = √		±e−iπ/4 .
	2

Волновые функции (3.5) удовлетворяют соотношениям

σ Ψ±(x,y) = ±Ψ±(x,y), L Ψ±(x,y) = m~ Ψ±(x,y).

(3.7)

Отметим, что функции Ψ±(x,y) являются ортогональными:

Ψ±|Ψ = 0.

(3.8)

В безразмерных величинах (2.3) имеем радиальное уравнение

d2u	1 du			+(e + a2	m2		)u = 0,	(3.9)
	+				− vc(r) −
d r2		r	dr			r2

где удерживающий потенциал vc(r) имеет вид (2.9) для квантовой точки и (2.10) для квантового кольца. В каждой из областей изменения r уравнение (3.9) является уравнением Бесселя.

В случае квантовой точки для 0 < r < 1 (0 < ρ < ρo), учитывая свойства функций Бесселя [88], выбираем частное решение уравнения (3.9) в виде

u1(r) = c1Jm(κir),				(3.10)
где	√			(3.11)
κi =		e + a2	.

Это решение является конечным около начала координат.

Для 1 < r < ∞ (ρo < ρ < ∞) подходящее решение радиального уравнения выражается через модифицированную функцию Бесселя [88]

u2(r) = c2Km(κor),				(3.12)
где	√			(3.13)
κo =		v − e − a2	.

Это решение стремится к нулю на бесконечности.

Условие непрерывности радиальной функции и ее первой производной в граничной точке r = 1 приводит к уравнениям

c1Jm(κi) = c2Km(κo), c1κiJm+1(κi) = c2κoKm+1(κo)

(3.14)

для коэффициентов c1 и c2. Следовательно, правило квантования для значений энергии e(m,v,a) имеет вид

κiJm+1(κi)Km(κo) − κoKm+1(κo)Jm(κi) = 0.

(3.15)

Из уравнения (3.9) устанавливаем зависимость e от a:
		e(m,v,a) = e(m,v,0) − a2.					(3.16)
Найденное значение e(m,v,a) следует подставить в окончательные вы-
ражения
		N Km(κo)Jm(κir), 0 < r < 1,
u(r) = {N Jm(κi)Km(κor),					1 < r < ∞.		(3.17)
Нормировочный множитель N определяется условием
		∫0	∞ u2(r)r dr = 1.				(3.18)
На рис. 3.1 приведены непрерывные нормированные радиальные
волновые функции для v = 400 при m = 0 и m = 1. Здесь и да-
лее в данной главе сплошные линии соответствуют первым уровням
энергии, а штриховые — вторым.
4 m ‡ 0
3		m ‡ 1
m ‡ 0		m ‡ 1
2			m ‡ 1
uHrL
1
0
-1
-2	0.2	0.4	0.6	0.8	1.0	1.2	1.4
0.0	0.2	0.4	0.6	0.8	1.0	1.2	1.4
				r
Рисунок 3.1. Радиальные волновые функции для квантовой точки

Результаты численного решения уравнения (3.15) представлены в табл. 3.1, которая показывает существенную зависимость первого и второго уровней энергии e от глубины потенциальной ямы v для фиксированного значения a = 0 при m = 0 и m = 1.

Таблица 3.1. Зависимость e от v

v			e

	m = 0		m = 1

25	3,97628	19,6144	9,93968
50	4,42129	22,8248	11,1606	36,0629
100	4,77212	24,9665	12,0895	40,0819
400	5,24437	27,6068	13,3102	44,5609
1000	5,43376	28,6232	13,7938	46,2253

В случае квантового кольца для 0 < r < ri (0 < ρ < ρi), учитывая свойства модифицированных функций Бесселя [88], выбираем частное решение уравнения (3.9) таким:

u1(r) = c1Im(κor),

(3.19)

оно регулярно в начале координат.

Для 1 < r < ∞ (ρo < ρ < ∞) подходящее решение радиального уравнения также выражается через модифицированные функции Бесселя:

u3(r) = c3Km(κor),

(3.20)

оно стремится к нулю на бесконечности.

При ri < r < 1 (ρi < ρ < ρo) искомые функции строятся следующим образом:

u2(r) = c21Jm(κir) + c22Ym(κir),

(3.21)

т. е. как комбинации функций Бесселя первого и второго рода [88]. Здесь κi и κo определены соответственно выражениями (3.11) и (3.13). Таким образом, радиальная функция имеет вид

	u1(r),		0 < r < ri,
u(r) =	u2	(r),	ri < r < 1,			(3.22)
		(r),	1 < r <	∞	.
	u3	(r),	1 < r <		.
Условие непрерывности
u1(ri) = u2(ri), u1′(ri) = u2′(ri),			u2(1) = u3(1),			u2′(1) = u3′(1)
						(3.23)

для функции u(r) и ее первой производной в граничных точках r = ri и r = 1 приводит к системе алгебраических уравнений

T4(m,e,v,a,ri) X = 0

(3.24)

для четырех коэффициентов X = {c1,c21,c22,c3}; T4(m,e,v,a,ri) – 4 × 4
матрица вида										.
	Im(κori)		Jm(κiri)		Ym(κiri)			0
T4 = κoIm+1(κori)		κ−iJm+1(κiri) κ−iYm+1(κiri)						0
	0		Jm(κi)		Ym(κi)			Km(κo)
	0	κiJm+1(κi)		−	κiYm+1(κi) κ−oKm+1(κo)
		−		−						(3.25)
Уравнение для определения энергии записывается следующим обра-
зом:										(3.26)
		det T4(m,e,v,a,ri) = 0.								(3.26)
Для того чтобы построить функцию u(r) полностью, найдем зна-
чения коэффициентов:
	c21					κoIm+1(κori)		),
	(c22) = −c1T3−1(m,e,v,a,ri) (					0		),		(3.27)
	c3					0
где	κ Jm+1(κiri) κiYm+1(κiri)					0	).
	κ Jm+1(κiri) κiYm+1(κiri)					0
T3 = ( i Jm(κi)			Ym(κi)			−Km(κo)				(3.28)
	−κiJm+1(κi) −κiYm+1(κi) κoKm+1(κo)
Значение коэффициента c1 устанавливается из условия нормировки
(3.18).
На рис. 3.2 приведены нормированные радиальные волновые
функции для v = 400, m = 1 при ri = 0,1 и ri = 0,5.
3
	ri ‡ 0.1
			ri ‡ 0.5
			ri ‡ 0.5
2			ri ‡ 0.1
2
1
uHrL
0
-1
-2
0.0	0.2	0.4	0.6	0.8		1.0	1.2		1.4
			r
Рисунок 3.2. Радиальные волновые функции для квантового кольца

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]