Специальные главы информатики и вычислительной техники. Учебник

всей системы. ИУ, задача которого – воспроизводить на выходе входной сигнал, должно иметь в идеале передаточную функцию единичного типа, т.е. W(jw) = 1, и отличие реальной передаточной функции от единицы определяет динамическую точность работы рассматриваемого устройства.

Применительно к случайным воздействиям используется подход, когда вводятся допуски на динамическую точность и на потерю информации, которые приводят к снижению требований, предъявляемых к характеристикам ИУ, датчиков и приборов систем управления. Если входной сигнал ограничен полосой частот F, то по теореме Котельникова, воспроизводя этот сигнал через интервалы времени Dt = 1/2F, можно точно восстановить входной сигнал. Для этого необходимо располагать единичным фильтром низких частот от a до F. Таким образом, рассматривается задача воспроизведения сигнала реальным фильтром; возможные обратные связи предполагаются внутренними. В процессе воспроизведения на выходе появится динамическая ошибка, которая определится новой полосой пропускания единичного фильтра. Оценивая динамическую ошибку воспроизведения, можно выбрать параметры ИУ в соответствии с допустимыми значениями ошибки. Поэтому требования к характеристикам ИУ будут менее жесткими.

Теория информации в своем классическом виде использует схему передачи информации, приведенную на рис.  2.7.

Рис.  2.7. Классическая схема передачи информации

Ограничения, накладываемые на скорость передачи информации, определяются кодом сигнала, кодовыми возможностями канала и влиянием шума. При передаче сигналы, получаемые от источника информации, считаются дискретными и обрабатываются без перехода к непрерывной форме.

Мощности сигналов могут быть незначительными. В системах автоматического управления в большинстве случаев используются непрерывные сигналы с их непрерывной обработкой. Кодовые ограничения по аналогии определяются принятой системой измерения, статистическими и динамическими характеристиками систем измерения и управления. Из-за того, что кодовые ограничения описываются непрерывными зависимостями, возникают трудности непосредственного использования выводов теории информации. Хотя сигналы на входе и выходе каналов являются непрерывными функциями, они обычно подвергаются ограничениям, которые позволяют считать их на любом конечном интервале времени некоторым дискретным и конечным множеством переменных. В теории связи на основе фильтрующей способности канала и приемника показано, что семейство временных функций, ограниченных полосой частот F и временным интервалом длины Т, при соответствующей математической интерпретации этих ограничений можно представить в виде 2TF независимых переменных. В основе этого представления лежит теорема Котельникова.

При создании ИУ следует помнить, что достижение их частотных характеристик формы как можно более близкой к прямоугольной потребует наличия чрезмерно большого запаса энергии, уровень которой в реальных случаях всегда ограничен. Поэтому возникает задача проектирования ИУ, датчиков, приборов систем управления с заданной динамической точностью. А это возможно, если расширить трактовку теоремы Котельникова. Обобщение теоремы для случая воспроизведения сигнала с заданной динамической точностью при действии стационарных случайных возмущений (воздействий) с нулевым математическим ожиданием сформулирована в [10].

Если случайная функция x(t) не содержит частот выше F, то она с заданным коэффициентом точности K определяется последовательностью своих мгновенных значений, взятых в моменты времени, отстоящие друг от друга на расстояние

Dt =1/2F – K,

причем спектральная плотность сигнала ограничена соотношением

2p(F−K)

гдеSx(w) – спектральная плотность сигнала;

e2max – предельно допустимая среднеквадратическая ошибка.

Возможно нахождение ограничения спектра и для нестационарной случайной функции, но при условии, что будет известен закон изменения во времени всех моментов случайной функции. Отметим, что предельные оценки точности можно получить лишь с помощью прямоугольной характеристики ИУ как фильтра в полосе частот F – K.

В этом случае переходный процесс устанавливается мгновенно (предельный идеальный случай). Но в реальных ИУ существуют фазовая характеристика и переходный процесс. Накладывая условия равенства ошибок, можно получить ограничения на выбор амплитудно-частотных характеристик ИУ (кривые 1, 2, рис.  2.8). В этом случае при стационарных случайных воздействиях переходный процесс будет существовать, а кривые 1, 2 удовлетворяют заданной точности.

Рис.  2.8. Амплитудно-частотные характеристики A(if) измерительных устройств, удовлетворяющие заданной точности

Коэффициент точности воспроизведения K определяет точность интерполяции и связан с передаточной функцией ошибки We(if), а именно [9]:

∞

K = ∫We (jf)df.

−∞

Спектр этой функции имеет вид прямоугольника 01аF на рис.  2.8. Отметим, что в случае непрерывных распределений энтропия бесконечна, поэтому для решения задачи интерполяции нужен фильтр с бесконечной полосой пропускания. Тогда, задав точность наблюдения e, можно вычислить соответствующую ей эпсилон-энтропию, которую ввел А.Н. Колмогоров.

Действительно, на непрерывной плоскости (x;t) существует бесконечное число разных сигналов. Из-за этого при энтропии, равной бесконечности, сигнал x(t) нельзя записать в виде двоичного кода. Для определения понятия энтропии и для бесконечных множеств необходимо объединить достаточно близкие по свойству элементы в одну группу так, чтобы количество получившихся групп было конечно. Зависимость количества таких групп от расстояния между элементами ε сети и определяет эпсилон-энтропия. Известны работы, в которых рассмотрены вопросы приближения непрерывного сигнала x(t) многочленами разной степени. В итоге он становится дискретным. Из-за различной крутизны исходного сигнала его преобразование в дискретный проводится через разные интервалы времени. Для оценки способов дискретизации и аппроксимации непрерывного сигнала приближающими функциями и используется эпсилон-энтропия А.Н. Колмогорова.

Рассмотрим еще один аспект информационной оценки ИУ

исистем автоматического управления. Значительное количество объектов в различных областях человеческой деятельности, как правило, подвержено воздействию незакономерно

ирезко изменяющихся возмущений, а также влиянию ряда факторов, обычно не поддающихся учету, например нелинейностей. Поэтому встает задача построения систем автоматического управления, обеспечивающих требуемую степень точности поддержания на заданном уровне тех иди иных ре-

гулируемых параметров, несмотря на незакономерный характер возмущений и влияние нелинейностей, вносящих неучитываемые искажения информации/сигналов. В принципе, любая система автоматического управления характеризуется определенной точностью. Но не всякую систему можно считать системой, в которой динамическая ошибка близка к нулю или малой величине e. Построение таких систем связано в первую очередь с нахождением предельных характеристик, к которым надо стремиться. Однако достичь их весьма трудно. Но стремление приблизиться к ним приводит к тому, что достигаются характеристики систем, работающих с заданной высокой точностью. Назовем их системами с точностью до eзад, где eзад – предельно допустимая, но очень малая по величине ошибка. В таких системах принципиально возможно свести ошибку к нулю за счет выбора реальных передаточных функций, в точности соответствующих их расчетным значениям. Но последнее невозможно из-за наличия различных неучтенных факторов, технологических погрешностей, помех и т.п.

Если структурная схема систем такова, что эти условия не могут быть реализованы и имеются существенные нелинейности, то ошибка системы не сводится к нулю. Но в этом и нет необходимости, так как равенство этой ошибки нулю приводит к тому, что система перестает существовать как система управления. Поэтому идут на упрощения, в частности анализ и синтез систем ведется на базе линейной модели. Также считается, что различные зоны нечувствительности, зоны типа петлей гистерезиса, релейные эффекты не вносят искажений. Но, как правило, всегда имеют место характеристики со случайной петлей гистерезиса и др., которые существенно влияют на законы распределения передаваемых сигналов. При этом важно уметь учитывать (численно) наложение функции распределения случайного сигнала на петлевую нелинейность неоднозначного типа, например в виде релейной петлевой характеристики, гистерезисной петли (рис.  2.9), причем F(x) – петлевая нелинейность, являющаяся одной из названных видов.

Рис.  2.9. Типовые двузначные нелинейности:

а– релейная петлевая характеристика на два положения;

б– петля гистерезиса; R, C – высота и ширина релейной характеристики; K и А – угол наклона и ширина гистерезисной петли; f(x,t) – плотность функции распределения вероятно-

стей сигнала (процесса)

Обычно для исследования нелинейных автоматических систем при случайных воздействиях используют методы статистической и гармонической линеаризации.

Однако теория информации позволяет дать принципиально новые оценки качества систем автоматического управления, отличные от оценок, основанных на определении среднеквадратических значений ошибки этих систем в статистическом плане. Информационные оценки основаны на том факте, что эквивалентность аппроксимации нелинейной функции линейной характеристикой обеспечивается при одинаковых изменениях этими характеристиками энтропии сигнала x(t). При гауссовских процессах эта задача решается достаточно просто. При высоком уровне помех полезный сигнал при нелинейном преобразовании сильно искажается и неоднозначности петлевых характеристик играют второстепенную роль. При этом возможен более грубый анализ преобразования случайной функции с помощью энтропии порядка β для случая неполных распределений вероятностей:

Hb (p)=(1−b)−1 −log(∑ piв)/ ∑ pi; ∑ pi ≤1; b >0, b ≠1.

При b → 1 это выражение сводится к энтропии Шеннона, если Spi = 1, b характеризует вероятности «хвостов» распределений.

Как было показано в пункте  1.8.2, формула (1.53) позволяет найти необходимый минимум информации, при котором система еще может обладать заданной точностью. Если на выходе системы оказывается меньшее количество информации, то ошибка системы будет превышать заданную. Причем информационные оценки могут быть различными при одинаковых среднеквадратических ошибках. Максимальные потери информации определяются формулой

g(e)max = M{−logmaxe1/2}.

В частном случае, при гауссовских процессах, ИУ представимо в виде системы первого порядка, имеем для вероятности ошибки:

P(e)=2s2xexp −g(e) .

С точки зрения теории информации необходимо, чтобы система управления или ИУ, работающие с ошибкой, давали бы на выходе минимальную информацию, которая обеспечивает заданную точность. Поэтому из двух систем, имеющих одинаковую точность, предпочтительней является та, на выходе корой меньшее количество информации [20].

Изменение количества информации в любой момент времени в общем случае можно оценить по формуле [9]:

гдеH(x) – энтропия входного сигнала для стационарных случайных сигналов с полосой частот F в произвольный момент времени;

Dx, DZ – приращения сигналов X(t) и Z(t) на входе и выходе системы;

k(t) – якобиан преобразования координат в момент t, т.е.

Получение последнего соотношения в общем виде весьма затруднительно. В частном случае, например при гауссовских процессах, эта задача решается просто. Как известно, якобиан является постоянным при линейном преобразовании координат. Полагая Dx = Dz и gz = 1, найдем, что величина количества информации gz(X,t) не меняется при изменении масштаба. Это означает независимость информации в переходном режиме от уровня случайной величины X(t), т.е. от квантования по уровню.

Из изложенного в подразделе  2.6 следует, что требуется, чтобы характеристика системы в пределе была прямоугольной в полосе частот F – K. Но реализовать такую характеристику невозможно.

Однако прямоугольная характеристика в такой полосе частот означает, что система способна предсказывать будущие значения функции на бесконечно большом интервале времени. Поэтому при обработке информации с меньшей частотой отсчетов будут появляться дополнительные ошибки из-за реализации функции отсчетов.

Наиболее близко приближаются к идеалу персональные компьютеры (ПК), ноутбуки, планшеты с цифровыми приложениями, так как требуемая импульсная переходная функция может быть введена в память компьютеров, ноутбуков. Из-за ограничений, связанных с точностью, объемом памяти ПК, возможно, быстродействием, функция отсчетов будет конечной. Поэтому в наиболее тяжелом случае при обработке информации одновременно с процессом будем иметь требуемые значения с запаздыванием. Величина последнего зависит от времени такта обмена, программы управления и стандартных программ обработки.

Очевидно, для каждого конкретного ПК или ноутбука возможно оценить максимальную ошибку и минимальное запаздывание при обработке информации одновременно с процессом.

Контрольные вопросы

1.  Назовите основные этапы становления системного подхода.

2.  Определите иерархию системности.

3.  Назовите основные этапы исследования систем. 4.  Опишите структуру процесса проектирования.

5.  Назовите основные сферы взаимодействия среды с системой.

6.  Дайте определение компонентов базиса и сфер.

7.  Назовите основные понятия, входящие в определение системы.

8.  Определите понятия «простая система», «сложная система» и «большая система».

9.  Дайте определение свойству эмергентности.

10.  От каких параметров зависит интегративность систем? 11.  Какие виды функционирования вы знаете?

12.  Назовите особенности гомеостазиса.

13.  В чем смысла принципа целеобусловленности? 14.  Дайте определение иерархии систем.

15.  Опишите структуру модуля управляемого контура. 16.  В чем смысл принципа моделируемости?

17.  Что такое принцип симбиозности?

18.  Какие формы информации используются в современных системах?

19.  Какие сигналы выдает исследуемая система? 20.  В чем смысл принципа связанности?

21.  Какова сущность информационного подхода к случайным воздействиям, когда вводятся допуски на динамическую точность систем управления?

22.  Приведите особенности классической схемы передачи информации.

23.  Охарактеризуйте трудности непосредственного использования выводов теории информации при непрерывных сигналах в каналах связи.

24.  Какова формулировка обобщенной теоремы отсчетов Котельникова, в чем ее содержательный смысл? Назовите новые возможности ее использования.

25.  Что такое прямоугольная характеристика фильтра как ИУ? Приведите амплитудно-частотные характеристики ИУ, удовлетворяющие заданной точности.

26.  Каково влияние нелинейностей петлевого типа на искажения информации системах управления? Как оценивается качество систем в этом случае?

27.  Дайте обоснование того, что информационные оценки могут быть различными при одинаковых среднеквадратических ошибках систем управления.

28.  Как оценивается изменение количества информации в переходном процессе для любого момента времени? Что такое якобиан преобразования координат?

29.  Каковы возможности использования ПК, ноутбуков при цифровой обработке информации одновременно с процессом?