Сопротивление материалов. Сложное сопротивление. Учебное пособие

Авторы: С.А. Баранникова, М.О. Моисеенко, В.И. Савченко, Н.А. Фурсова

УДК 539.3/.6 (075.8) ББК 30.121я7

Сопротивление материалов. Сложное сопротив-

С64 ление : учебное пособие / С.А. Баранникова, М.О. Моисеенко, В.И. Савченко, Н.А. Фурсова. – 2-е изд., пересмотр. и испр. – Томск : Изд-во Том. гос. архит.-строит. ун-та, 2023. – 67 с. – Текст : непосредственный.

ISBN 978-5-6050245-1-4

Учебное пособие содержит краткие теоретические сведения, примеры расчета по разделу курса сопротивления материалов «Сложное сопротивление», задания для расчетно-графической работы по теме «Внецентренное сжатие бруса», контрольные вопросы для подготовки к экзамену по изучаемому курсу.

Учебное пособие предназначено для подготовки бакалавров по направлению 08.03.01 «Строительство», изучающих курс «Сопротивление материалов».

УДК 539.3/.6 (075.8) ББК 30.121я7

Рецензенты:

О.Ю. Малеткин, к.т.н., ГИП ООО «ПКБ ТДСК»; А.П. Малиновский, к.т.н., доцент кафедры строительной механики ТГАСУ.

2

3

ВВЕДЕНИЕ

Студенты, обучающиеся по направлению «Строительство», изучают дисциплину «Сопротивление материалов» в течение двух семестров. За это время они не только осваивают теоретические основы, необходимые для оценки напряженнодеформированного состояния элементов конструкций, методы их расчета на прочность, жесткость и устойчивость, но и получают практические навыки их выполнения.

Впроцессе освоения дисциплины «Сопротивление материалов» у обучающихся формируются общепрофессиональные компетенции. В результате изучения дисциплины студент овладеет следующими знаниями и умениями:

– будет знать основные понятия, законы и методы, применяемые в курсе сопротивления материалов;

– уметь проводить расчеты элементов строительных конструкций на прочность, жесткость, устойчивость;

– владеть основными методами оценки несущей способности, жёсткости и устойчивости строительных конструкций.

Настоящее пособие предназначено для самостоятельной работы студентов при изучении раздела «Сложное сопротивление» курса «Сопротивление материалов».

Цель пособия – изложить в доступной для понимания форме один из основных разделов дисциплины – сложное сопротивление. Теоретические вопросы сопровождаются примерами практических расчетов, что позволяет облегчить процесс самостоятельного освоения предмета.

Впособии даны варианты заданий для выполнения рас- четно-графической работы «Расчет бруса на внецентренное сжатие», а также задачи для самостоятельного решения, контрольные вопросы для подготовки к экзамену (зачету) по изучаемому

курсу, геометрические характеристики некоторых сечений и список рекомендуемой литературы.

4

1.СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ

Всопротивлении материалов рассматриваются разнообразные конструкции, которые можно свести к сравнительно небольшому числу основных форм, таких как стержни, пластины

иоболочки, массивные тела. Однако основным объектом изучения является брус (стержень), т. е. твердое тело, один размер которого – длина – значительно больше двух других. Поэтому в предлагаемом учебном пособии в качестве исходной конструкции рассматривается брус (стержень).

Вобщем случае действия внешних сил в любом поперечном сечении бруса (стержня) могут действовать шесть компонентов внутренних усилий (рис. 1): продольная сила N, попе-

речные силы Qz , Qy , изгибающие моменты Мz, My и крутящий момент Мх ( Mкр ).

z Mz

Рис. 1. Внутренние усилия в поперечном сечении бруса

Если в поперечных сечениях действует только одно внутреннее усилие, то отмечается простая деформация, или простое напряженное состояние. Выделяют четыре вида простых деформаций: растяжение (сжатие), сдвиг, кручение, изгиб.

5

Все перечисленные виды простых деформаций рассматриваются в первой части курса сопротивления материалов [1, 2].

Однако на практике часто встречаются случаи, когда в поперечных сечениях бруса одновременно действуют несколько компонентов внутренних усилий. Тогда говорят, что брус находится в условиях сложного сопротивления.

Под сложным сопротивлением подразумевают различные комбинации простых деформаций, при которых в поперечных сечениях бруса одновременно возникает не менее двух внутренних усилий. Исключение составляет плоский (прямой) поперечный изгиб, при котором расчеты на прочность и жесткость ведутся по изгибающему моменту без учета поперечных сил (т. к. величины напряжений от поперечных сил значительно меньше величин напряжений от изгибающих моментов).

На основании принципа независимости действия сил, который используется в сопротивлении материалов, напряженное состояние бруса можно определить путем суммирования напряженных состояний, вызванных каждым видом простой деформации в отдельности.

Указанный поход к расчету конструкций применим

вслучаях, когда деформации малы, а материал подчиняется закону Гука.

Рассмотрим общий случай сложного сопротивления, когда

впоперечных сечениях действуют все шесть компонентов внутренних усилий.

Продольная сила N и изгибающие моменты Мz и My вызывают в поперечном сечении бруса нормальные напряжения

. Поскольку указанные напряжения действуют вдоль одной

линии (нормали к поперечному сечению), то суммарное нормальное напряжение определяется как алгебраическая сумма напряжений:

6

Используя известные зависимости [1, 2] определения нормальных напряжений при растяжении (сжатии) и изгибе, запишем формулу для определения нормальных напряжений при сложном сопротивлении:

где A – площадь поперечного сечения; Iz, Iy – моменты инерции сечения относительно главных центральных осей z, y соответственно; z, y – координаты точки (по абсолютной величине), в которой определяются напряжения.

Знаки перед вторым и третьим слагаемыми зависят от того, какие напряжения (растягивающие или сжимающие) вызывает изгибающий момент в рассматриваемой точке (“+”, если растяжение, “–”, если сжатие).

Суммарное касательное напряжение в рассматриваемой

Для строителей наибольший интерес представляют следующие случаи сложного сопротивления: косой изгиб, одновременное действие изгиба и продольной силы, внецентренное действие продольной силы.

7

2. КОСОЙ ИЗГИБ

Косым изгибом называется такой случай изгиба бруса, при котором плоскость действия суммарного изгибающего момента в сечении не совпадает ни с одной из главных осей инерции. Таким образом, в сечении возникают два изгибающих момента

M z , M y и две поперечные силы Qz , Qy .

При расчете на прочность и жесткость внешние нагрузки, действующие на брус, заменяются их составляющими, действующими в главных плоскостях, т. е. косой изгиб заменяется сочетанием двух плоских изгибов.

Определение усилий и напряжений при косом изгибе рассмотрим на примере консоли, к которой приложена сосредоточенная сила F, направленная под углом α к оси у (рис. 2).

Рис. 2. Расчетная схема балки при косом изгибе

Разложим силу F на две составляющие по главным осям

От каждой из сил Fz , Fy построим эпюры изгибающих моментов M z , M y , соответственно. При этом необходимо учи-

тывать, что индекс у изгибающего момента показывает, какая из осей координат является нейтральной. Нейтральная ось всегда перпендикулярна плоскости, в которой происходит изгиб.

Например, от силы Fy происходит изгиб в вертикальной плос-

кости. Этой плоскости перпендикулярна ось z. Поэтому эпюра изгибающих моментов, построенная от силы Fy , будет эпюрой

M z . И наоборот, от силы Fz – изгиб в горизонтальной плоскости и эпюра M y .

При косом изгибе продольная сила N в поперечном сечении стержня равна нулю.

Для определения напряжений от каждого момента в отдельности используем формулу, полученную ранее для плоского изгиба [1, 2]. На основании принципа независимости действия сил нормальное напряжение в i-ой точке поперечного сечения стержня можно определить по формуле:

где Iz, Iy – осевые моменты инерции относительно осей z, y; zi, yi – координаты (по абсолютной величине) точки сечения, в которой определяется напряжение.

Знаки перед слагаемыми зависят от того, какие напряжения (растягивающие или сжимающие) вызывает изгибающий момент в рассматриваемой точке (+ при растяжении, – при сжатии).

Подставляя в формулу (4) координаты какой-либо точки (по абсолютной величине), получим значение напряжения в этой точке.

9

Для угловых точек рассматриваемого сечения модули координат zi и yi будут иметь максимальные значения, поэтому для указанных точек формулу (4) можно представить в виде:

где Wz, Wy – моменты сопротивления сечения.

Для точек 1, 2, 3, 4 (рис. 2) формулы для определения нормальных напряжений примут следующий вид:

Формулу (5) можно использовать и для других типов поперечных сечений, при условии, что точки, в которых определяются напряжения, одновременно наиболее удалены от обеих главных центральных осей.

Для сечений более сложных форм точки с наибольшими по величине напряжениями определяют с помощью нулевой линии. Нулевой называется линия, в каждой точке которой нормальные напряжения равны нулю. Чем дальше точка расположена от нулевой линии, тем больше по величине в ней напряжения. Максимальные напряжения возникают в наиболее удаленных от нулевой линии точках. Если нулевая линия пересекает поперечное сечение, то тем самым она делит это сечение на две части: сжатую и растянутую. Если же сечение располагается по одну сторону от нулевой линии, то напряжения в нем одного знака.

Положение нулевой линии при косом изгибе можно установить, если приравнять нулю нормальные напряжения в точках, принадлежащих этой линии. Пусть текущие координаты нулевой линии будут zN и y N (рис. 3), тогда

10