Сопротивление материалов. Сложное сопротивление. Учебное пособие

Уравнение нулевой линии

Из уравнения следует, что при косом изгибе нулевая линия всегда проходит через начало координат и делит поперечное сечение на две части: сжатую и растянутую.

Обозначим tg yN , тогда zN

F

Рис. 3. Положение нулевой и силовой линий при косом изгибе

Из выражения (7) следует, что нулевая линия не перпендикулярна силовой линии. Углы между этими линиями тем больше отличаются друг от друга, чем больше разница между главными моментами инерции. Только в тех сечениях, у кото-

11

рых моменты инерции равны между собой ( I z I y ), нулевая

и силовая линии пересекаются по углом 90º.

Опасными точками поперечного сечения будут точки, наиболее удаленные от нулевой линии, в которых возникают экстремальные значения напряжений.

Условие прочности при косом изгибе записывается в следующем виде:

Для стержней с поперечными сечениями, имеющими угловые точки, одновременно наиболее удаленные от главных осей z и y (прямоугольник, двутавр и т. п.), условие прочности имеет вид:

При изгибе в двух плоскостях балок круглого поперечного сечения суммарный изгибающий момент Ми определится путем геометрического суммирования изгибающих моментов Мz и Мy :

а условие прочности записывается в виде

Касательные напряжения при косом изгибе могут быть определены как геометрическая сумма составляющих касатель-

ных напряжений, обусловленных поперечными силами Qz и Qy . Но обычно касательные напряжения в инженерных расче-

12

тах на косой изгиб не учитываются (в опасных точках они либо равны нулю, либо весьма невелики).

Так как косой изгиб – сочетание двух плоских изгибов в главных плоскостях инерции, то прогибы в этих плоскостях определяются так же, как и в случае поперечного изгиба. Величина полного прогиба f в любом сечении балки может быть получена геометрическим суммированием прогибов fz и fy в указанных плоскостях по формуле

Направление полного прогиба перпендикулярно нулевой линии.

2.1. Пример 1

Шарнирно опертая балка прямоугольного поперечного сечения, пролетом l = 4 м, загружена в середине пролета внешней силой F = 100 кН, направленной под углом α = 30º к вертикальной оси у (рис. 4).

Требуется: определить размеры поперечного сечения балки и полный прогиб всередине пролета.

Дано: E 0,5 105 МПа– модуль упругости материала бал-

Рис. 4. Заданная схема балки

13

Рис. 5. Построение эпюр внутренних усилий:

а − расчетная схема поперечного сечения; б − эпюры изгибающих моментов Мz, Мy

Учитывая, что h = 2b, получим

Wz bh62 b(62b) 23b3 6233 см3.

Отсюда b 3 62332 3 3 9350 21,1 см; h = 2b = 42,2 см.

Принимаем b = 22 см, h = 44 см, Wz = 7099 см3.

Для определения полного прогиба найдем прогибы в вертикальной и горизонтальной плоскостях. Для балки, загружен-

15

ной сосредоточенной силой посередине пролета, в справочниках [3] приводятся следующая формула максимального прогиба (стрелы прогиба):

Предварительно вычислим моменты инерции:

Прогиб в вертикальной плоскости от действия силы Fy (нейтральная ось z) равен:

1,48 10 3 м 1,48 мм.

Прогиб в горизонтальной плоскости от действия силы Fz (нейтральная ось y) равен:

3,42 10 3 м 3,42 мм.

Полный прогиб по формуле (12) равен:

ffz2 f y2 1,482 3,422 3,73 мм.

2.2.Пример 2

Балка переменного сечения загружена внешней нагрузкой согласно рис. 6.

Требуется проверить прочность балки.

16

Дано: q = 20 кН/м; F1 = 10 кН; F2 = 20 кН; d = 15 см; R = 80 МПа.

Вопросы концентрации напряжений не рассматриваются.

Решение. Построим эпюры изгибающих моментов Mz и My (рис. 7). Нагрузки q и F1 лежат в вертикальной плоскости, которой перпендикулярна ось z. Поэтому эпюра изгибающих моментов от действия этих нагрузок будет эпюрой Mz . Нагрузка F2 лежит в горизонтальной плоскости, которой перпендикулярна ось у. Поэтому эпюра изгибающих моментов от действия силы F2 будет эпюрой My.

Определим на каждом из участков опасное сечение. Научастке АВ опасным будет сечение, проходящее через точку А (Mz = 50 кН м и My = 80 кН м). На участке ВС опасным будет сечение, проходящее через точку В (Mz = 10 кН м и My = = 20 кН м).

Участок ВС. Поскольку на участке ВС балка имеет круглое поперечное сечение, то условие прочности имеет вид (11), где суммарный изгибающий момент равен:

Условие прочности на участке АВ не выполняется.

Таким образом, прочность балки в целом не обеспечена. Необходимо на участке АВ либо заменить материал на более прочный, либо увеличить размеры поперечного сечения.

19

3. ОДНОВРЕМЕННОЕ ДЕЙСТВИЕ ИЗГИБА И ПРОДОЛЬНОЙ СИЛЫ

Рассмотрим только стержни (брусья) большой жесткости, при расчете которых влиянием деформаций на величину изгибающих моментов можно пренебречь. В этом случае можно применить принцип независимости действия сил и определить напряжения в произвольной точке по формуле (2) как сумму напряжений от растяжения (сжатия) и изгиба.

По причинам, указанным в разд. 2, обычно расчет на прочность ведется на действие нормальных напряжений от продольной силы N и изгибающих моментов Мz и Мy. Опасное сечение находится по эпюрам N, Мz и Мy как сечение, в котором эти внутренние усилия одновременно достигают максимума. Если наибольшие значения этих усилий соответствует разным сечениям, то опасное сечение выбирается из нескольких, как соответствующее наиболее невыгодному сочетанию изгибающих моментов и продольной силы.

Если поперечное сечение имеет простую форму (прямоугольник, двутавр, коробчатое сечение и т. п.), то для определения наибольшего напряжения необходимо вычислить значения напряжений для ряда характерных точек. Если же сечение имеет сложную форму, то для отыскания наибольших напряжений используют нулевую линию, уравнение которой можно получить, приравняв напряжения нулю.

Наибольшие напряжения будут в наиболее удаленных от нулевой линии точках. В качестве примера рассмотрим балку, приведенную на рис. 8.

Для расчета балки построены эпюры изгибающих моментов Мz, Мy и продольных сил N (рис. 9).

20