2.1.8. Основные понятия о синусоидальном переменном токе

Электрическая энергия в большинстве случаев производится, распределяется и потребляется в виде энергии переменного тока. Это объясняется тем, что переменный ток сравнительно просто трансформировать – преобразовывать в ток различного (высокого или низкого) напряжения.

При вращении витка в однородном магнитном поле в нем индуктируется ЭДС, которая в каждый момент времени равна:

e = 2Blv sinα ,

где В – магнитная индукция однородного магнитного поля; l – длина активной части витка;

v – окружная скорость витка;

α – угол между векторами магнитной индукции и скорости v. Максимальное значение, или амплитуда ЭДС будет при α=p/2, Em= 2Blv.

При равномерном вращении витка с угловой скоростью ω угол поворота

α = ω t и называется фазой ЭДС. В общем случае ЭДС будет равна:

е = Еm sin(ωt +ψe ),

где ψe – начальная фаза.

Время полного цикла изменения ЭДС называется периодом Т, а значение ƒ = 1/T= n/60 – частотой переменной ЭДС, где n – число оборотов в минуту. При этом ω = 2p /T = 2pƒ. Единица измерения угловой частоты радиан в секунду (рад/с) при подключении активной нагрузки ток в цепи будет изменяться так же, как и ЭДС.

Для периодически изменяющегося тока введено понятие действующего значения тока. Действующее значение периодического переменного тока – это ток, производящий такое же механическое и тепловое действие, как и постоянный ток того же значения.

, Iд = Im2 = 0,707Im .

Приборы для измерения периодически изменяющихся токов и напряжений регистрируют их действующие значения. Если кривая, описывающая периодическую величину симметрична относительно оси времени, то определяют среднее значение за положительный полупериод

25

Iср = 2πIm = 0,637Im .

Расчеты электрических цепей переменного тока выполняют в комплексных числах и представляют векторной диаграммой, которая позволяет наглядно представить рассматриваемые процессы. Чтобы наглядно представить формулу, описывающую изменение ЭДС, расположим под углом ψe относитльно положительной оси абсцисс вектор Еm , который вращается с угловой скоростью

ω против вращения часовой стрелки. При расчете цепи рассматриваются действующие, а не амплитудные величины как неподвижные векторы для некоторого момента времени, такая диаграмма называется векторной диаграммой. Для точных расчетов векторы представляются комплексными числами, символически представляющими синусоидальные ЭДС и токи. Символический метод позволяет выполнять расчеты сложных цепей переменного тока с большой точностью.

Комплексное число можно записать в алгебраической форме, показательной и тригонометрической:

А = А′+ jА′′ = Ae jα = A(cosα + j sinα) ,

где j – мнимая единица, это число, квадрат которого равен -1, j = −1 . Комплексное число представляет собой вектор, который вращается про-

тив часовой стрелки с угловой скоростью ω:

А– модуль, А = (А′)2 +(А′′)2 ;

α– аргумент; А′– действительная часть; А′′– мнимая часть.

Символ j перед мнимой частью комплексного числа означает, что мни -

π

мая часть повернута по отношению к вещественной на угол 2 против враще-

ния часовой стрелки.

В цепи, обладающей только активным сопротивлением, ток и напряжение определяются выражениями:

i = ur = Urm sin ωt = Im sin ωt.

Из выражения видно, что для цепи, обладающей только активным сопротивлением, ток и напряжение совпадают по фазе.

26

В цепи переменного тока только активным сопротивлением обладают реостаты, лампы накаливания, нагревательные приборы и другие подобные устройства.

В цепи с катушкой индуктивности при изменении тока возникает ЭДС самоиндукции:

eL = −L dtdi ,

с учетом мгновенного значения тока:

i = Im sinωt

ЭДС самоиндукции определяется формулой

eL = −ωLIm cosωt = ELm sin ωt − π2 .

Чтобы в цепи протекал ток, напряжение U должно быть обратно ЕL u = −eL =U Lm sin ωt + π2 ,

где xL= ωL – индуктивное сопротивление

На диаграммах ЭДС самоиндукции и приложенное напряжение находятся

впротивофазе, а ток отстает от напряжения на угол π2 .

Вцепи с ко нденсатором, включенным на напряжение переменного тока, происходит непрерывное перемещение электрических зарядов: при росте напряжения – заряд, при уменьшении – разряд. Мгновенный ток в цепи равен скорости изменения заряда Q конденсатора емкостью С

i = dQdt = C dudtc ,

uc = QC = ∫dQC = ∫idtC ,

i =С dudtC =ωCUcm cosωt = Im sin ωt + π2 ,

где Im = ω CUCm – амплитуда тока.

Величина, обратная ω C, является емкостным сопротивлением xC xC = ω1C = 2π1f C .

27

Емкостное сопротивление обратно пропорционально частоте приложенно-

го напряжения, а ток в цепи с конденсатором опережает напряжение на угол π2 .

Реальная цепь переменного тока содержит все три элемента, так как любой потребитель электроэнергии и провода цепи обладают активным сопротивлением индуктивностью и емкостью, такую цепь можно рассматривать как цепь с сосредоточенными параметрами. Векторная диаграмма для реальной цепи, по которой протекает токI , определяется уравнением, составленным по второму закону Кирхгофа U =U a +U L +UC .

Из треугольника ОВС имеем:

U 2 = (rI )2 +(xL − xC )2 I 2 ,

откуда получаем уравнение Ома для цепи переменного тока:

Сдвиг по фазе ϕ между напряжением и током определяется выражением:

где x = xL - xC – реактивное сопротивление.

Мгновенная мощность цепи переменного тока p = ui, а так как мгновенные значения тока и напряжения равны:

i = Im sin(ωt −ϕ) = 2I sin(ωt −ϕ);

u =Um sin ωt = 2U sin ωt ,

то среднее значение активной мощности за период равно:

P = 1 T∫uidt =UI cosϕ = S cosϕ , T 0

где cosϕ – коэффициент мощности; S = UI – полная мощность.

Полная мощность определяется соотношением:

S = P2 +Q2 ,

где Q – реактивная мощность, Q=UIsinφ.

Реактивная мощность измеряется в вольт-амперах (В·А) или киловольтамперах (кВ·А) иногда добавляется слово «реактивные» (вар, квар).

28