Ряды и дифференциальные уравнения числовые и функциональные ряды. Учебное пособие

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

Кафедра математики

Л.Р. Ким-Тян

Ряды и дифференциальные уравнения

Числовые и функциональные ряды

Учебное пособие

Рекомендовано редакционно-издательским советом университета

Москва 2012

УДК 517

К40

Р е ц е н з е н т д-р физ.-мат. наук, проф. Б.В. Логинов (УлГТУ)

Ким-Тян, Л.Р.

К40 Ряды и дифференциальные уравнения : числовые и функ- циональные ряды : учеб. пособие / Л.Р. Ким-Тян. – М. : Изд.

Дом МИСиС, 2012. – 82 с. ISBN 978-5-87623-561-9

Учебное пособие состоит из двух глав. В каждой главе изложен основной теоретический материал, необходимый для понимания темы, разобраны при- меры, а также приведены упражнения для самостоятельного решения и за- крепления соответствующей темы и типовые варианты контрольных работ.

Предназначено для студентов всех специальностей.

УДК 517

2

3

ПРЕДИСЛОВИЕ

Большую роль в математическом анализе играют ряды. Они име- ют важные приложения в приближенных вычислениях и решениях дифференциальных уравнений. С помощью бесконечных рядов с любой степенью точности можно найти значения интегралов (инте- гралы Френеля, интегральный синус, интегральный косинус и др.), не вычисляемых стандартными способами. Учебное пособие состоит из двух глав: «Числовые ряды» и «Функциональные ряды». В первой главе приводятся необходимые и достаточные признаки сходимости знакоположительных и знакопеременных числовых рядов. Вторая глава содержит основные теоремы о свойствах функциональных ря- дов, на основе которых вычисляются суммы функциональных рядов и определяются области их сходимости. Приведены примеры с под- робными решениями и пояснениями, которые помогут студентам самостоятельно разобраться в данной теме. Также даны упражнения для самостоятельного закрепления усвоенных знаний по соответст- вующей главе. Для контроля правильности выполнения упражнений в приложении приведены ответы или даны указания для их выполне- ния. Типовые варианты контрольных работ помогут студентам под- готовиться к контрольным мероприятиям по теме «Ряды».

Автор выражает особую благодарность профессору В.А. Треноги- ну, доцентам Г.Д. Левшиной и И.С. Недосекиной за критические за- мечания и полезные советы в написании пособия.

4

1.ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

1.1.Понятие числового ряда

Рассмотрим бесконечную последовательность чисел

Определение 1.1. Числовым рядом называется формальное выра- жение вида

n=1

где аn – действительные числа, (n = 1, 2, 3, …).

Числа а1, а2, … называются членами ряда, а аn – общим членом чи-

слового ряда.

Примеры числовых рядов:

∞

4) 1+ 2 + 3 + ... + n + ... = ∑n;

n=1

Определение 1.2. Сумма конечного числа n первых членов ряда называется n-й частичной суммой ряда: Sn = a1 + a2 + … + an.

Как видно из определения, частичные суммы имеют конечное число слагаемых, т.е. значения этих сумм можно вычислить. В свою

5

очередь, эти значения частичных сумм образуют числовую последо- вательность {Sn}, которая может быть сходящейся или расходящейся последовательностью.

Определение 1.3. Если при n → ∞ существует конечный предел последовательности {Sn} частичных сумм членов данного ряда

lim Sn = S , то ряд (1.2) называется сходящимся, а число S, к которо-

n→∞

му стремится предел последовательности частичных сумм, – его суммой. (Понятие суммы ряда существует только для сходящихся рядов.) Если последовательность {Sn} не стремится к конечному пре- делу, то ряд называется расходящимся.

Определение 1.4. Ряд, членами которого являются члены ряда (1.2), начиная с (n + 1)-го, взятые в том же порядке, что и в исходном ряде, называется n-м остатком ряда (1.2) и обозначается

∞

Rn = ∑ ak = an+1 + an+ 2 + ...

k=n+1

1.2.Свойства сходящихся числовых рядов

Теорема 1.1.

∞

1. Если ряд ∑an сходится, то остаток ряда стремится к нулю при

n=1

n → ∞.

2. Если остаток ряда сходится, то сходится и сам ряд.

Доказательство

∞

1. Пусть ряд ∑an сходится и сумма его равна S. Это означает,

n=1

что предел n-й частичной суммы существует и равен S. Но

∞

∑an = a1 + a2 + ... + an + an+1 + an+ 2 + ... = Sn + Rn ,

n=1

следовательно, Sn + Rn = S, откуда Rn = S – Sn. Рассмотрим предел n-го остатка ряда при n → ∞:

т.е. получили, что если ряд сходится, то остаток ряда стремится к нулю при n → ∞. Первая часть теоремы доказана.

6

(k – фиксированное число). Тогда (по определению сходящегося ряда) m-

Sk является числом, так как представляет собой сумму конечного

числа членов ряда, следовательно, предел n-частичной суммы ряда

∞

существует и он конечен, а значит ряд ∑an сходится. Что и требо-

n=1

валось доказать.

Следствие. Отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость (или расходимость), как и не влияет приписывание

нескольких новых членов в ряде.

∞

Теорема 1.2. Если числовой ряд ∑an сходится и сумма его равна S,

n=1

∞

то сходится и числовой ряд ∑kan (k = const), сумма которого равна kS.

n=1

Доказательство

∞

∑kan = ka1 + ka2 + ... + kan + kan+1 + ... =

n=1

=k(a1 + a2 + ... + an ) + k(an+1 + an+ 2 + ...) = kSn + kRn .

7

n=1

мостоятельно).

Итак, теорема 1.2 доказана.

∞

Теорема 1.3. Пусть даны два сходящихся числовых ряда ∑an и

n=1

∞

∑bn , суммы которых соответственно равны А и В. Тогда ряды

ответственно будут равны А + В и А – В.

Другими словами, сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать.

Доказательство. Пусть Sna = a1 + a2 +…+an – n-я частичная сум-

∞

ма ряда ∑an и Snb = b1 + b2 + … + bn – n-я частичная сумма ряда

n=1

∞

∑bn . Тогда пределы последовательностей частичных сумм рядов

n=1

8

Теорема 1.3 доказана.

1.3. Критерий Коши сходимости числового ряда

∞

Теорема 1.4. Для того чтобы ряд ∑an сходился, необходимо и

n=1

достаточно, чтобы ε > 0 N : n > N и p > 0, p Z имело место неравенство an+1 + an+ 2 ... + an+ p < ε .

Другими словами, если вспомнить определение фундаментальной последовательности, то для сходимости числового ряда необходимо

идостаточно, чтобы последовательность частичных сумм ряда была фундаментальной.

Доказательство теоремы следует из определений сходимости ряда

ифундаментальной последовательности. Однако непосредственное применение критерия Коши для исследования сходимости числового ряда затруднительно, поэтому существуют другие признаки, имею- щие практическое приложение.

1.4. Необходимый признак сходимости числового ряда

а Sn–1

Sn–1

Тогда

9

аn = Sn – Sn–1.

Найдем предел общего члена ряда при n → ∞. Так как ряд сходит-

Что и требовалось доказать.

Обратное утверждение к теореме 1.5 неверно. Подтверждением этого замечания является следующий пример.

моническим рядом. Как мы видим, предел общего члена ряда равен

нулю: lim 1 = 0 . Однако этот ряд является расходящимся. Покажем это:

n→∞ n

Ясно, что при достаточно больших n можно ввести в последнее

выражение сколько угодно половинок ( 1 ). Таким образом, Sn без-

2

гранично возрастает и поэтому последовательность {Sn} расходится,

же расходится.

1.5. Достаточный признак расходимости числового ряда

∞

Теорема 1.6. Если предел общего члена числового ряда ∑an при

n=1

n → ∞ отличен от нуля, то этот числовой ряд расходится.

10