Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Ряды и дифференциальные уравнения числовые и функциональные ряды. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

951 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

99. Предположим, что lim n52an = 1, тогда, что можно сказать о

n→∞

∞

поведении ряда ∑an .

n=1

∞

100. Докажите, что если знакоположительный ряд ∑an сходится,

n=1

∞

то ряд ∑ln(1+ an ) также сходится.

n=1

1.7.Знакопеременные ряды. Абсолютная

иусловная сходимость. Знакочередующиеся ряды.

Признак Лейбница

Определение 1.7. Ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные члены.

Рассмотрим ряд

∞
a1 + a2 + ... + an + ... = ∑an ,	(А)
n=1

где аn – произвольные действительные числа.

А также наряду с (А) рассмотрим ряд, составленный из абсолют- ных величин ряда (А) вида

∞
\| a1 \| + \| a2 \| +...+ \| an \| +... = ∑\| an \|.	(\|A\|)
n=1

Определение 1.8. Ряд (А) называется абсолютно сходящимся ря-

дом, если ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (|A|), сходится.

Определение 1.9. Ряд (А) называется условно сходящимся рядом,

если он сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин (|A|), расходится.

Теорема 1.12 (Достаточный признак сходимости знакопере-

менного ряда). Если ряд (|A|), составленный из абсолютных величин, сходится, то знакопеременный ряд (А) также сходится.

Доказательство. Пусть un = an + |an|, тогда an = un – |an|. Так как

∞

0 ≤ un ≤ 2 |an|, а ряд ∑| an | сходится по условию теоремы, то по при-

n=1

∞

знаку сравнения ряд ∑un также сходится.

n=1

По линейным свойствам сходящихся рядов (см. теорему 1.3) ряд

∞	∞	∞	∞
∑(un − \| an \|) = ∑un − ∑\| an \|= ∑an также сходится.
n=1	n=1	n=1	n=1

Что и требовалось доказать.

Достаточность признака заключается в том, что из сходимости знакопеременного ряда не следует абсолютная сходимость.

Приведем без доказательства две полезные теоремы.

Теорема 1.13 (Теорема Дирихле). Если ряд (А) абсолютно схо-

дится, то ряд

∞
a1′ + a2′ + ... + an′ + ... = ∑an′ ,	(A′)
n=1

полученный из него перестановкой членов, также сходится и имеет ту же сумму А, что и исходный ряд.

Другими словами, абсолютно сходящийся ряд обладает перемес- тительным свойством.

Таким свойством не обладают условно сходящиеся ряды.

Теорема 1.14 (Теорема Римана). Если числовой ряд (А) сходится условно, то, задав любое число М, можно так переставить члены ря- да, что его сумма окажется равной М. Более того, можно так переста- вить члены условно сходящегося ряда, что ряд, полученный после перестановки, будет расходящийся.

Определение 1.10. Ряд (А) называется знакочередующимся, если он имеет вид

∞
a1 − a2 + a3 − a4 ... + (−1)n−1 an + ... = ∑(−1)n−1 an , an > 0	(А1)

n=1

Теорема 1.15 (Признак Лейбница). Если члены знакочередую-

щегося ряда (А1):

1) образуют строго убывающую последовательность по абсолют-

ной величине: |a1| > |a2| > … > |an| > …;

2) lim an = 0,

n→∞

то ряд (А1) сходится условно, а его сумма положительна и не превос- ходит первого члена.

Доказательство. Обозначим через S2n частичную сумму четного числа членов ряда:

Но a1 – a2 > 0, a3 – a4 > 0,…, a2n-1

S2n = a1 − a2 + a3 − a4 + ... + a2n−1 − a2n =

= (a1 − a2 ) + (a3 − a4 ) + ... + (a2n−1 − a2n ).

– a2n > 0 в силу условия 1 теоре- мы, поэтому последовательность частичных сумм {S2n} является воз- растающей. С другой стороны, S2n можно представить в виде

= a − (a

− a

) + (a

− a

) + ... + (a

2n− 2

− a

) + a ,

2n−1

т.е. для любого n сумма S2n не превосходит a1 : S2n < a1.

Получили, что последовательность {S2n} возрастает и ограничена

сверху, следовательно, последовательность имеет предел: lim S2n = A.

n→∞

Рассмотрим S2n+1 = S2n + a2n+1 . Последовательность частичных сумм из нечетного числа членов ряда имеет предел:

lim S2n+1	= lim(S2n	+ a2n+1 ) = lim S2n	+ lim a2n+1	= lim S2n = A ,
n→∞	n→∞	n→∞	n→∞	n→∞

следовательно, последовательность частичных сумм знакочередую- щегося ряда имеет конечный предел, равный А, что означает сходи- мость знакочередующегося ряда. Что и требовалось доказать.

Теорема 1.16. Остаток Rn знакочередующегося ряда (А1) удовле- творяет условию |Rn| < an+1.

Пример 1.21. Исследовать на условную и абсолютную сходи- мость ряд

∞	1		1		3		1		5		3
∑(−1)n−1 n2− n =		−		+		−		+		−		+ ...
	2
n=1		2		8		4			32 32

Решение. Этот ряд является знакочередующимся: каждый после- дующий член меньше предыдущего по абсолютной величине и

lim	n	= 0 , следовательно, по признаку Лейбница ряд сходится. Рас-

n→∞ 2n

смотрим ряд, составленный из абсолютных величин данного ряда

∑∞ n . Применяя признак Даламбера к данному ряду:

n=1 2n

; a

+ 1

;

lim

= lim(

n + 1

) =

< 1

n+1

2n+1

n→∞ a

n→∞

получаем, что данный ряд сходится абсолютно.

Ответ: ряд сходится абсолютно.

Следующий пример иллюстрирует только достаточность теоремы 1.12, т.е. из сходимости знакочередующегося ряда не следует абсо- лютная сходимость этого ряда.

Пример 1.22. Исследовать на условную и абсолютную сходи- мость ряд

∞	1		1		1		1
∑(−1)n−1		= 1−		+		−		+ ...
	n
n=1		2		3		4

Решение. Данный ряд удовлетворяет всем условиям признака Лейбница, следовательно, он является сходящимся рядом. Но ряд, составленный из абсолютных величин, является гармоническим ря- дом, который является расходящимся. Следовательно, исходный ряд сходится условно.

Ответ: ряд сходится условно.

∞

cos nα

Пример 1.23. Исследовать ряд ∑

, где α – любое число, на

n=1

сходимость.

Решение. Наряду с этим рядом, рассмотрим ряды

cosα

cos 2α

+ ... +

cos nα

+ ...

+ ... +

+ ...

∞

По интегральному признаку Коши ряд ∑

является сходящим-

n=1 n

∞

cos nα

ся, а каждый член ряда ∑

не превосходит соответствующего

n=1

∞

cos nα

члена предыдущего ряда, но тогда по теореме 1.12 ряд ∑

то-

n=1

же сходится.

Ответ: ряд сходится абсолютно.

Для иллюстрации того, что сумма условно сходящегося ряда мо- жет меняться при перестановке его членов (теорема 1.14 (теорема Римана)), рассмотрим следующий пример.

∞	1		1		1		1
Пример 1.24. Знакочередующийся ряд ∑(−1)n−1		= 1−		+		−		+ ...
	n
n=1		2		3		4

сходится условно. Пусть его сумма S > 0. Сделаем перестановку чле- нов этого ряда так, чтобы за одним положительным следовали два отрицательных:

1−	1	−	1	+	1	−	1	−	1	+ ... +	1	−	1	−	1	+ ...

2		4		3		6		8			2k − 1 4k − 2 4k

Найдем сумму такого перестроенного ряда. Пусть Sn – частичная сум- ма исходного ряда. Рассмотрим сумму 3k членов перестроенного ряда:

S	′					(1					1				1		)				(		1			1			1	)					...					(		1								1		1	)
				=				−				−							+						−		−					+					+											−			−			=
3k											2				4						3					6
																											8															2k − 1 4k − 2 4k
= (			1		−		1		) + (				1			−			1		) + ... + (									1						−			1					) =
																			8									4k −							2
	2					4						6																											4k
=		1		(1−				1		) +				1		(		1		−		1			) + ... +						1		(				1						−		1	) =

	2							2				2				3				4										2				2k − 1 2k
=	1			(1−				1			+	1			− ...						+				1			−				1		) =				1			S2k →						1		S	при k.

	2							2				3												2k − 1							2k							2										2

Следовательно,

lim S′

S . Далее

lim S′

= lim(S′ +

) =

S ,

k →∞

3k +1

k →∞

2k + 1 2

lim S′

= lim(S′ +

−

) =

S . Таким образом,

lim S′

= S ' =

+ 2

k →∞

2k + 1 4k + 2 2

n→∞

S ,

т.е. после

перестановки

членов условно

сходящегося ряда

сумма его изменилась, в нашем случае уменьшилась вдвое.

∞

Пример 1.25. Найти сумму ряда ∑

с точностью δ = 0,01.

n=1 2

Решение. Всякая n-я частичная сумма сходящегося ряда является приближением к его сумме с точностью, не превосходящей абсолютной величины остатка ряда. Поэтому нужно выяснить при каком количестве членов n-й частичной суммы выполняется неравенство |Rn| ≤ δ.

Рассмотрим

∞	1		1		1
Rn = ∑		=		+		+ ... =
	2m m2		2n+1 (n + 1)2		2n+ 2 (n + 2)2
m=n+1

					=			1		(		1		+				1						+ ...).
					=		2n+1			(	(n + 1)2			+	2(n +						2)2			+ ...).
							2n+1				(n + 1)2				2(n +						2)2
Так как (n + 1)2 < (n + 2)2 < …, то
Rn <	1	1				+				1			+ ...) =								1						+		1	+	1		+					=
		(																								1									...
	2n+1	(		(n +	1)2				2(n +			1)2							2n+1 (n + 1)2							1									...
	2n+1			(n +	1)2				2(n +			1)2							2n+1 (n + 1)2										2 4
					=					1				1				=					1			.
					=	2n+1 (n + 1)2								−		1		=		2n (n + 1)2						.
						2n+1 (n + 1)2							1			1				2n (n + 1)2
													1		2
															2
Т.е. Rn <			1					. Теперь подберем n													так, чтобы									1						< 0,01 , это
			2n (n +1)2
																												2n (n +1)2
																												2n (n +1)2
уже возможно при n = 3, так как																		1			=	1			≈ 0,008 < 0,01. Следова-
уже возможно при n = 3, так как																	8 16				=				≈ 0,008 < 0,01. Следова-
																	8 16				128
тельно, с точностью δ = 0,01 сумма данного ряда S ≈ S3																														=		1		+			1	+	1	≈
тельно, с точностью δ = 0,01 сумма данного ряда S ≈ S3																														=				+				+		≈
≈ 0,58.																															2				16			72
≈ 0,58.
Ответ: S3 ≈ 0,58.
																											∞								1
Пример 1.26. Сколько первых членов ряда																											∑(−1)n−1								1			нужно
Пример 1.26. Сколько первых членов ряда																											∑(−1)n−1								2			нужно
																											n=1									n

взять, чтобы их сумма отличалась от суммы ряда на величину, мень- шую чем 10–6.

Решение. Этот ряд знакочередующийся и сходящийся по признаку Лейбница. Поэтому на основании теоремы 1.16 величина отброшен- ного при вычислении остатка ряда, который также является знакоче- редующимся рядом, не превосходит первого отброшенного члена. Нужное число членов ряда подбирается из неравенства

1		≤	1	n2	≥ 106 n ≥ 103 , т.е. начиная с n = 103 члена, требуемая
	n2
		106
точность будет достигнута.
		Ответ: n = 103
		Пример 1.27. Исследуем на абсолютную и условную сходимость
		∞				3

ряд ∑(−1)n−1							.

		n=1				5 n + 2

Решение. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин

∞

членов ряда ∑

. Так как

, а ряд ∑

рас-

5 n + 2

n=1

n + 2

5 n

n=1

5 n

ходится, как ряд Дирихле с p =

< 1, то ряд, составленный из абсо-

лютных величин членов ряда, также расходится по предельному при- знаку сравнения. Следовательно, абсолютной сходимости нет.

Исследуем сходимость ряда с помощью признака Лейбница:

1) члены ряда образуют убывающую последовательность

3	>		3	>	3		> ... ;
5 3	>	5	4	>	5 5		> ... ;
5 3		5	4		5 5
2)		lim			3			= 3lim	1	= 0.

						2			5 n + 2
		n→∞ 5 n +				2		n→∞	5 n + 2

Следовательно, ряд сходится по признаку Лейбница. Значит, ис- следуемый ряд сходится условно.

Ответ: ряд сходится условно по признаку Лейбница.

Пример 1.28. Исследуем на абсолютную и условную сходимость

∞	5 32n
ряд ∑(−1)n−1		.

n=1	5 n + 2

		5	32n			5 n
Решение. lim	an	= lim		= 2 lim			= 2	. Предел абсо-

		5	n + 2		5	n + 2

n→∞		n→∞		n→∞

лютной величины общего члена ряда при n → ∞ не равен нулю, сле- довательно, исследуемый ряд расходится, так как не выполнен необ- ходимый признак сходимости ряда.

Ответ: ряд расходится по необходимому признаку сходимости ряда.

Пример 1.29. Исследуем на абсолютную и условную сходимость

∞	4	ln(n + 1)
ряд ∑(−1)n			.

n=2		n + 2

Решение. Так как начиная с n = 2 выполняется неравенство

1	<	4 ln(n + 1)
			, то в силу признака сравнения ряд, составленный
n + 2
		n + 2

∞	4 ln(n +1)
из абсолютных величин ∑		, будет расходящимся (так как

n=2	n + 2

∞ 1

ряд ∑n=2 n + 2 расходящийся). Но для знакочередующегося ряда вы-

полнены условия признака Лейбница, поэтому ряд сходится условно. Ответ: ряд сходится условно по признаку Лейбница.

Пример 1.30. Исследуем на абсолютную и условную сходимость


∞	n−1		− n	3n + 2		n
ряд ∑(−1)	n−1		− n	3n + 2
		5			.
		5			.
n=2				3n + 1

Решение. Рассмотрим составленный из абсолютных величин его

∞

− n 3n + 2

членов ряд ∑5

. По радикальному признаку Коши

n=2

3n + 1

3n + 2

3n + 2 n

1 n

lim n an

= lim n 5− n

lim

lim 1

n→∞

3n +1

5 n→∞

3n +1

5 n→∞

3n +1

3n+1

3 e

lim

< 1.

3n +

5 n→∞

Следовательно, ряд сходится по признаку Коши, но тогда исход- ный знакочередующийся ряд сходится абсолютно.

Ответ: ряд сходится абсолютно.

Упражнения

Исследовать на сходимость знакочередующиеся ряды.


	∞				1								∞	1
101.	∑(−1)n+1				1						.	102. ∑(−1)n+1		1						.

				(n + 2) 3						n				(n + 1) 4					n
	n=1			(n + 2) 3									n=1	(n + 1) 4
	∞				1								∞	n
103.	∑(−1)n+1				1			.				104.	∑(−1)n+1	n				.
103.	∑(−1)n+1							.				104.	∑(−1)n+1					.
	n=1				n + 1								n=1	2n + 1
	∞				5								∞	1
105.	∑(−1)n	n +			5	.						106.	∑(−1)n−1	1			.
105.	∑(−1)n	n				.						106.	∑(−1)n−1				.
	n=1		3										n=1	n 3 n
	∞			2n + 1									∞	1
107.	∑(−1)n+1			2n + 1					.			108.	∑(−1)n−1	1	.
107.	∑(−1)n+1								.			108.	∑(−1)n−1	2	.
	n=1			(n + 2)n									n=1	n
	∞			3n									∞	ln n
109.	∑(−1)n+1			3n			.					110.	∑(−1)n+1	ln n		.
109.	∑(−1)n+1						.					110.	∑(−1)n+1			.
	n=1			n + 2									n=1	n

	∞							ln n
111.	∑(−1)n+1							ln n			.
111.	∑(−1)n+1										.
	n=1							n
	∞ sin(nπ / 2)
113.	∑									.
113.	∑		n		2					.
	n=1		n
	∞
115.	∑(−1)n+1 sin π
	n=1											n
	∞								1
117.	∑(−1)n+1								1								.


	n=1							n + 1
	∞		3	n
119.	∑	−		.
119.	∑	−	4	.
	n=1		4
	∞		3				n
121.	∑	−	3				.
121.	∑	−					.
	n=1		2
	∞			n				n											n
123.	∑(	−1)		n				n
															.
															.
	n=1							2n + 1
	∞						ln n
125.	∑(−1)n						ln n		.
125.	∑(−1)n							n	.
	n=1						7
	∞								2n
127.	∑(−1)n−1								2n											.

								n(n +						2)
	n=1							n(n +						2)
	∞								n
129.	∑(−1)n+1								n										.


	n=1							(n + 1)!
	∞							1
131.	∑(−1)n							1								.

						n(ln n)							2
	n=1					n(ln n)
	∞								1
133.	∑(−1)n−1								1									.


	n=1							3 n + 6
	∞							2	n
135.	∑(−1)n+1							2				.
135.	∑(−1)n+1											.
	n=1							n 3 n
	∞							2	n
137.	∑(−1)n							2							.

						(π + 1)						n
	n=1					(π + 1)
	∞							n + 1
139.	∑(−1)n+1							n + 1				.
139.	∑(−1)n+1											.
	n=1							n 5 n

	∞	cos nπ
112.	∑	cos nπ								.
112.	∑									.
	n=1			n
	∞								sin n
114.	∑(−1)n								sin n
114.	∑(−1)n
	n=1									n					n
	∞							1
116.	∑nsin							1				.
116.	∑nsin											.
	n=1					n
	∞															1
118.	∑(−1)n+1															1										.

													n + 1 +
	n=1												n + 1 +												n
	∞				2 n
120.	∑		−			.
120.	∑		−			.
	n=1				7
	∞				5		n
122.	∑		−		5		.
122.	∑		−				.
	n=1				3
	∞					3n								n
124.	∑		−											.
124.	∑		−											.
	n=1				4n + 1
	∞				1 n										n
126.	∑		−																.
126.	∑		−										2						.
	n=1				2 n										+ 1
	∞												3				n
128.	∑(−1)n−1												3				n					.
128.	∑(−1)n−1																					.
	n=1										n 3 n +								6
	∞														1
130.	∑(−1)n+1														1								.

											(n +					1)			5 / 2
	n=1										(n +					1)
	∞																			1
132.	∑(−1)n nln 1+																			1				.
132.	∑(−1)n nln 1+																			2				.
	n=1																			n
	∞												1
134.	∑(−1)n												1					.

							3n					2			+	7
	n=1						3n								+	7
	∞											e			n
136.	∑(−1)n−1											e					.
136.	∑(−1)n−1																.
	n=1										n 3 n
	∞																4					n
																	4
138.	∑(−1)n+1 1−																				.
138.	∑(−1)n+1 1−																				.
	n=1															3n
	∞															1
140.	∑(−1)n−1															1											.

																1)(n +									3)
	n=1										(n +					1)(n +									3)

∞

141.

Доказать, что если ряд ∑an расходящийся, то и ряд

∑| an |

n=1

также является расходящимся.

142.

Показать, что

lim an = 0 не является достаточным условием

n→∞

∞

для сходимости знакочередующегося ряда ∑(−1)n+1 an .

n=1

143.

−

Исследовать

на сходимость ряд

2 − 1

+ 1

3 − 1

–

−

...

3 + 1

4 − 1

4 + 1

∞

144.

Доказать,

что

если ряды ∑an2

и ∑bn2

сходятся,

то ряд

n=1

∞

∑anbn сходится абсолютно.

n=1

∞

145. Показать, что если ряд ∑an абсолютно сходится, то и ряд

n=1

∑∞ n + 1 an также абсолютно сходится.

n=1 n

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.08.20261 Мб0Рынок ценных бумаг. Учебное пособие (опорный конспект лекций).pdf
#
15.08.2026870 Кб0Рынок ценных бумаг. Учебное пособие-1.pdf
#
15.08.2026896 Кб0Рынок ценных бумаг. Учебное пособие.pdf
#
15.08.20261 Мб0Рыночная экономика. Market Economy. Учебное пособие.pdf
#
15.08.2026892 Кб0Рыночные циклы как выявлять и использовать закономерности для успешного инвестирования.pdf
#
15.08.2026951 Кб0Ряды и дифференциальные уравнения числовые и функциональные ряды. Учебное пособие.pdf
#
15.08.2026847 Кб0Ряды Фурье. Интегральные преобразования Фурье и Радона. Учебно-методическое пособие.pdf
#
15.08.2026740 Кб0Ряды. Учебное пособие-1.pdf
#
15.08.2026762 Кб0Ряды. Учебное пособие.pdf
#
11.08.2026623 Кб0С английским языком в дорогу. Справочник.pdf
#
09.08.2026356 Кб0С того берега. Эссе.pdf