Ряды и дифференциальные уравнения числовые и функциональные ряды. Учебное пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

= ∑(−1)n xn ,

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

951 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

Проинтегрируем этот степенной ряд в пределах от 0 до х ( x < 1):

x	dt	x		∞	∞ x	∞	x	n+1
∫		= ∫		∑(−1)n tn dt = ∑∫(−1)n tndt =∑(−1)n					,

0	1+ t	0	n=0		n=0 0	n=0	n + 1

но с левой стороны интеграл равен ln(1 + x), поэтому справедлива формула

∞	x	n+1
ln(1+ x) = ∑(−1)n			(2.21)
	n + 1
n=0

для всех х (–1, 1). Можно показать, что в точке х = 1 ряд сходится к ln2, поэтому областью сходимости ряда (2.21) является полуинтервал

(–1, 1].

5. Разложение функции f (x) = (1+ x)μ в биномиальный ряд.

Заметим, что функция f (x) = (1+ x)μ (μ – произвольное действи-

тельное число) является решением задачи Коши
(1+ x) f '(x) = μf (x) , f(0) = 1.	(2.22)

С другой стороны, решение задачи Коши будем искать в виде степенного ряда

S(x) = 1+ a x + a x2		+ ...+ a xn + ...	(2.23)
1	2	n

Подставляя S(x) в уравнение (2.22) и приравнивая коэффициенты, стоящие при одинаковых степенях х, получаем так называемые би- номиальные коэффициенты

a0	= 1, a1 = μ, a2	= μ(μ − 1) , ..., an	= μ(μ − 1)(μ − 2)...(μ − n + 1) ,
		2	n!

Подставляя их в формулу (2.23), получим

S(x) = 1+ μ x + μ(μ − 1) x2 + ... + μ(μ − 1)(μ − 2)...(μ − n + 1) xn + ...

1! 2! n!

Если μ – целое положительное число, то начиная с члена, содер- жащего xμ+1, все коэффициенты равны нулю и ряд превращается в

многочлен. Если μ – дробное или отрицательное целое число, то имеем бесконечный ряд. По признаку Даламбера определим область сходимости данного ряда:

lim

un+1 (x)

= lim

μ(μ − 1)(μ − 2)...(μ − n)

xn+1 :

μ(μ − 1)(μ − 2)...(μ − n + 1)

n→∞

un (x)

n→∞

(n + 1)!

= lim

μ − n

n→∞ (n + 1)

Следовательно, x < 1 – область абсолютной сходимости ряда. Так

как функция S(x) удовлетворяет дифференциальному уравнению (2.22) и начальному условию S(0) = 1 на интервале (–1, 1), то S(x) то- ждественно равна (1 + х)μ, т.е. справедлива формула

(1+ x)μ = 1+ μ x + μ(μ − 1) x2 + ... + μ(μ − 1)(μ − 2)...(μ − n + 1) xn + ... (2.24) 1! 2! n!

Заметим, что при μ ≤ –1 х (–1, 1); –1 < μ < 0 х (–1, 1]; μ ≥ 0 х [–1, 1].

Замечание. Отметим два важных разложения, часто используемых при решении задач:

∞

= 1+ x + x2 + ... + xn + ... = ∑xn ,

< 1,

(2.25)

1− x

n=0

∞

= 1− x + x2 − ... + (−1)n xn + ... = ∑(−1)n xn ,

< 1

(2.26)

1+ x

n=0

Эти ряды называются геометрическими рядами.

6. Разложение функции f (x) = arctgx .

Рассмотрим ряд

∞

∑(−1)n x2n = 1− x2 + x4 − ... + (−1)n x2n + ...

1+ x

n=0

Областью абсолютной сходимости этого ряда является интервал (–1, 1), следовательно, внутри этого интервала сходимости ряд мож- но почленно интегрировать (см. теорему 2.4). Проинтегрируем этот

ряд от 0 до х (

< 1):

∞

∞ x

∞

2n+1

∫

= ∫

∑(−1)n t2n dt = ∑∫(−1)n t2ndt =∑(−1)n

1+ t

2n + 1

0 n=0

n=0 0

n=0

С другой стороны,

x	dt
∫			= arctgx ,
	1+ t	2
0

следовательно, внутри области сходимости выполняется равенство

В точках х = 1 и х = –1 ряд условно сходится по признаку Лейбни- ца, следовательно, областью сходимости является отрезок [–1, 1].

Итак, получили шесть основных разложений в ряд Тейлора.

Пример 2.5. Разложить функцию f(x) = ch x в ряд Маклорена.

Решение. Функция chx =

ex + e− x

Воспользуемся разложением

функции ех в ряд Маклорена:

∞

ex = ∑

= 1+ x +

+ ... +

+ ..., x R .

n=0

Заменяя в этом разложении х на – х, получаем разложение

∞

(−1)

e− x = ∑

= 1− x +

−

+ ... +

+ ..., x R .

n=0

Сложив эти два ряда и разделив на 2, получим разложение функции f(x) = ch x в ряд Маклорена:

∞

chx = ∑

= 1+

+ ... +

+ ..., x R .

(2n)!

n=0

2! 4!

(2n)!

Пример 2.6. Разложить функцию f(x) = sh x в ряд Маклорена.

Решение. Функция shx =

− e− x

. Тогда

− e

− x

∞

shx =

∑

−

∑

(−1)

n=0

x2n+1

x R

= x +

+ ... +

+ ...,

(2n + 1)!

или

∞	x	2n−1		x R .
shx = ∑			,
	(2n − 1)!
n=1
Пример 2.7. Разложить функцию				f (x) = ln	2 − 3x	в ряд Тейлора

				3 + 2x

по степеням х и указать область сходимости полученного ряда.

Решение. Так как

2 − 3x

= ln(2 − 3x) − ln(3 + 2x) ,

3 + 2x

и используя разложение (2.24) для функций

ln(2 − 3x) и ln(3 + 2x) ,

получаем

ln(2 − 3x)

= ln 2(1−

)

= ln 2

+ ln 1−

∞

n+1

∞

n+1

= ln 2 + ∑(−1)n −

= ln 2 + ∑(−1)2n+1

n + 1

n=0

n + 1

n=0

∞

n+1

xn+1

= − ln 2 − ∑

n + 1

n=0

;

для всех

ln(3 + 2x)

= ln

3(1+

)

= ln 3

+ ln 1+

∞

n+1

∞

n+1

xn+1

= ln 3 + ∑(−1)n

n + 1

n=0

n + 1

n=0

для всех

Следовательно, разложение в ряд Тейлора по степеням х данной функции примет вид

	2 − 3x	∞	3 n+1	xn+1
f (x) = ln		= ln(2 − 3x) − ln(3 + 2x) = ln 2 − ∑			− ln 3 −

	3 + 2x	n=0	2	n + 1

∞

n+1 xn+1

∞

3 n+1

2 n+1

xn+1

−

∑

(−1)n

= ln

−

(−1)n

n + 1

∑

n=0

n + 1

верное для всех

Пример 2.8. Разложить функцию f (x) = sin 2x в ряд Тейлора по

степеням x + π и указать область сходимости полученного ряда.

Решение. Сделаем замену переменных: t = x + π x = t − π

∞

n (2t )

sin 2x = sin 2 t −

= sin 2t −

= − cos 2t = −∑(−1)

(2n)!

n=0

∞

n+1 2

∞

n+1 2

= ∑(−1)

x +

(2n)!

n=0

(2n)!

Это разложение верно х R.

∞

Ответ: sin 2x = ∑(−1)n+1

x + π

x R .

n=0

(2n)!

Пример 2.9. Разложить функцию

f (x) =

в ряд Тейлора в

3 27

−

окрестности точки х = 0 и указать область сходимости полученного ряда.

Решение.

										x							x							x					4	−		1
f (x) =										x			=				x				=			x			−		4	−		3	=
																									1					x
						3	27 − 4x																3		1				27	x
						3									33 1−			4
																		4		x
																		27		x
																		27
		=		x				−		1	−		4			+	1 4				−		4		2		x2 + ... +
					1									x
			3		1									x								27
			3							3		27					9 2!					27

	−	1	(−			1		−	1)(−			1	−	2)...(−				1	− n + 1)											n
	−		(−					−	1)(−				−	2)...(−					− n + 1)										4
+... +		3				3						3						3								−					n	+ ... =
		3				3						3						3												x	n
													n!															27		x
													n!															27

=x 1+ 3

x +

1 4

+ ... +

1 4 7 10 ... (3n − 2)

4 n

3n n!

∞

1 4 7 10 ... (3n − 2) 4

+ ∑

n=1

3 n!

∞ 1 4 7 10 ... (3n − 2) 4

n+1

∑

3n+1 n!

n=1

+ ... =

Областью сходимости данного ряда является множество х, удов- летворяющих условию

Ответ: x


		4	x	< 1	x	<		27	.
		4						27

		27					4
		27					4
∞	1 4 7 10 ... (3n − 2)						4
+ ∑
+ ∑		3n+1 n!
n=1		3n+1 n!					27

n	xn+1 ,	x	−	27	;	27	.

			4 4

Пример 2.10.	Разложить функцию f (x) =	7	в ряд Тейло-
		12 + x − x2

ра в окрестности точки х = 1 и указать область сходимости получен- ного ряда.

Решение. Введем новую переменную t = x – 1 x = t + 1, тогда функцию можно записать в виде

f (x) =	7	=	7		=	7		=	7	.
	12 + x − x2			12 + t + 1− (t + 1)2			12 − t − t2		(t + 4)(3 − t)

Представим дробь в виде суммы двух дробей с неопределенными коэффициентами:

(t + 4)(3 − t)

A(3 − t) + B(t + 4)

A(3 − t) + B(t + 4) = 7

t +

4 3

− t

(t + 4)(3 − t)

A = 1, B = 1

(t + 4)(3 − t)

t +

− t

4 3

Каждую дробь можно представить в виде геометрического ряда

(см. формулы (2.25) и (2.26)):

∞

t n

∑(−1)n

< 1 ;

t +

4 n=0

1 ∞

∑

< 1 .

3 − t

3 n=0

3 1−

Следовательно,

1 ∞

∑(−1)n

∑

− t

(t + 4)(3 − t) t +

4 n=0

3 n=0

∞

(−1)

= ∑(

)tn ,

< 3 .

4n+1

3n+1

n=0

Возвращаясь к переменной х, получаем искомое разложение по степеням (х – 1):

∞

(−1)

= ∑(

)(x − 1)

x − 1

< 3 x (−2; 4) .

12 + x − x

n+1

n=0

∞

(−1)

Ответ: ∑(

)(x − 1)n , x (−2; 4) .

4n+1

3n+1

n=0

Для удобства использования разложений элементарных функций в ряд Тейлора сведем их в таблицу:

Разложение функции в ряд Тейлора в точке х = 0

Область

сходимости

∞

х R

ex = ∑

= 1 + x +

+ ... +

+ ...

n= 0

∞

2n−1

∞

2n+1

х R

sin x = ∑(−1)n−1

= ∑(−1)n

n=1

(2n − 1)!

n= 0

(2n + 1)!

∞

х R

cos x = ∑(−1)n

= 1 +

∑(−1)n

(2n)!

n= 0

n=1

∞

n+1

х (–1, 1]

ln(1+ x) = ∑(−1)n

n + 1

n= 0

∞

х (–1, 1)

= 1+ x + x2 + ... + xn + ... = ∑xn

1 − x

n= 0

∞

х (–1, 1)

= 1− x + x2 − ... + (−1)n xn + ... = ∑(−1)n xn

1+ x

n= 0

∞

2n+1

х [–1, 1]

arctgx = ∑(−1)n

2n + 1

n= 0

∞

x2n−1

x2n+1

х R

shx = ∑n=1

= x +

+ ... +

+ ...

(2n − 1)!

(2n + 1)!

∞

x2n

х R

chx = ∑n= 0

+ ... +

+ ...

(2n)!

μ(μ − 1)

μ(μ − 1)(μ − 2)...(μ − n + 1)

μ –1 х (–1, 1);

(1+ x)

= 1 + 1! x

+ ... +

+ ...

–1 < μ < 0 х (–1, 1];

μ ≥ 0 х [–1, 1]

Упражнения

174. Разложить функцию f (x) = xsin 5x

в ряд Тейлора в окрест-

ности точки х = 0 и указать область сходимости полученного ряда.

175. Разложить функцию	f (x) = x2e−3x в ряд Маклорена и указать
область сходимости полученного ряда.
	5
176.Представить функцию	f (x) =		в виде степенного ря-
		6 − x − x2

да по степеням х и указать область сходимости полученного ряда.

177.Разложить функцию f (x) = x 5 32 + x в ряд Тейлора в окрест- ности точки х = 0 и указать область сходимости полученного ряда.

178.Разложить функцию f (x) = 1− e− x2 в ряд Тейлора в окрестно-

сти точки х = 0 и указать область сходимости полученного ряда.

179. Разложить функцию f (x) = ln(8 + x) в ряд Тейлора в окрест- ности точки х = 0 и указать область сходимости полученного ряда.

180.Разложить функцию f (x) = sh x в ряд Тейлора в окрестности точки х = 1 и указать область сходимости полученного ряда.

181.Разложить функцию f (x) = ex2 −6 x+ 2 в ряд Тейлора в окрестно- сти точки х = 3 и указать область сходимости полученного ряда.

182.Разложить функцию f (x) = 3x в ряд Тейлора в окрестности

точки х = 1 и указать область сходимости полученного ряда.

183. Разложить функцию f (x) = 1 в ряд Тейлора в окрест-

(1+ x)2

ности точки х = 0 и указать область сходимости полученного ряда.

2.6. Приложения рядов к приближенным вычислениям

Важную роль ряды играют в приближенных вычислениях. Рас- смотрим некоторые их приложения.

Пример 2.11. Найти интеграл ∫ sinx x dx в виде степенного ряда и

указать область сходимости.

Решение. Функцию sinx можно представить в виде степенного ря-

да (2.19)

∞

2n−1

∞

2n+1

sin x = ∑(−1)n−1

= ∑(−1)n

х R,

n=1

(2n −1)!

n=0

(2n + 1)!

тогда

sin x

∞

2n+1

∞

= ∑(−1)n

x(2n +

(2n +

x n=0

1)! n=0

1)!

Внутри области сходимости ряд можно почленно интегрировать (теорема 2.4),тогда

sin x

∞

∫

dx =

∑(−1)n

dx =∑

∫

(−1)n

dx =

(2n +

∫ n=0

1)!

n=0

1)!

∞

x2n+1

= ∑(−1)n

+ C .

n=0

(2n + 1)!(2n + 1)

Областью сходимости данного ряда является вся числовая прямая,

т.е. х R.

0,5 ln(1	+ x2 )
Пример 2.12.Вычислить ∫		dx с точностью до 0,001.

0	x

Решение. Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена, используя разложение (2.21):

ln(1+ x2 )		1	∞	n x2n+2		∞	n x2n+1
	=		∑(−1)			= ∑(−1)			.
					n + 1
x		x n=0				n=0		n + 1

Областью абсолютной сходимости данного ряда является интер- вал (–1, 1), следовательно, внутри этого интервала ряд можно по- членно интегрировать:

0,5 ln(1+ x2 )

0,5 ∞

n x2n+1

∞ 0,5

n x2n+1

∫

dx = ∫ ∑(−1)

dx = ∑ ∫

(−1)

dx =

n + 1

0 n=0

n=0 0

∞

2n+2

= ∑(−1)n

0,5

−

0,5

− ... =

(n + 1)(2n + 2)

n=0

−

− ...

8 16

18 64

Полученный числовой ряд является знакочередующимся рядом, и по признаку Лейбница абсолютная погрешность вычислений не пре- высит абсолютной величины первого отброшенного члена в остатке ряда. Так как третье слагаемое

1	=	1	<	1
18 64
	1152		1000

уже меньше заданной точности, то, начиная с этого слагаемого, мож- но отбросить все последующие за ним члены ряда, и тогда

1	−	1	= 0,125 − 0,0078125 = 0,1171875 .
8		8 16

Округляя до заданного знака, получаем

0,5∫ ln(1+ x2 )dx ≈ 0,117 с точностью до 0,001.

0 x

Ответ: 0,117

1/ 27

Пример 2.13. Вычислить ∫ 3 xexdx с точностью ε = 0,001.

Решение. Используя разложение (2.18) функции ex в ряд Маклоре- на, получаем

∞			∞		n+	1
	x	n		x	3
3 xex = 3 x ∑			= ∑				.
	n!
n=0			n=0	n!

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.08.20261 Мб0Рынок ценных бумаг. Учебное пособие (опорный конспект лекций).pdf
#
15.08.2026870 Кб0Рынок ценных бумаг. Учебное пособие-1.pdf
#
15.08.2026896 Кб0Рынок ценных бумаг. Учебное пособие.pdf
#
15.08.20261 Мб0Рыночная экономика. Market Economy. Учебное пособие.pdf
#
15.08.2026892 Кб0Рыночные циклы как выявлять и использовать закономерности для успешного инвестирования.pdf
#
15.08.2026951 Кб0Ряды и дифференциальные уравнения числовые и функциональные ряды. Учебное пособие.pdf
#
15.08.2026847 Кб0Ряды Фурье. Интегральные преобразования Фурье и Радона. Учебно-методическое пособие.pdf
#
15.08.2026740 Кб0Ряды. Учебное пособие-1.pdf
#
15.08.2026762 Кб0Ряды. Учебное пособие.pdf
#
11.08.2026623 Кб0С английским языком в дорогу. Справочник.pdf
#
09.08.2026356 Кб0С того берега. Эссе.pdf