Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Ряды и дифференциальные уравнения числовые и функциональные ряды. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

951 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

ется расходящимся. Таким образом, по признаку сравнения исход- ный числовой ряд также будет расходящимся.

Ответ: ряд расходится по признаку сравнения.

∞ 5n

Пример 1.9. Исследуем на сходимость ряд ∑n=1 n3 − 2n2 + 12 .

Решение. Наряду с данным рядом рассмотрим ряд с общим чле-

ном b

. Применим предельный признак сравнения:

5n3

lim

= lim{

} = lim

= 5 .

n→∞ bn

n→∞

n3 − 2n2 + 12 n2

n→∞ n3

− 2n2 + 12

Так как предел отношения общих членов рассматриваемых рядов равен 5, то они ведут себя одинаково в смысле сходимости. Посколь-

∞	1
ку ряд ∑	1	является сходящимся (как ряд Дирихле с р = 2 > 1),
ку ряд ∑	2	является сходящимся (как ряд Дирихле с р = 2 > 1),
n=1	n
		∞		5n
следовательно, ряд ∑				5n			также будет сходящимся.

			3	− 2n	2	+ 12
		n=1 n		− 2n		+ 12
Ответ: ряд сходится по предельному признаку сравнения.
							∞	n n2
Пример 1.10. Исследуем на сходимость ряд ∑									.
Пример 1.10. Исследуем на сходимость ряд ∑									.
							n=1	7n + 5

Решение. Применим радикальный признак Коши:

lim n a

= lim n

n n2

= lim

n n

= lim

= 0 < 1.

7n + 5

n→∞

n→∞ 7n

Так как предел меньше единицы, то ряд сходится. Ответ: ряд сходится по радикальному признаку Коши.

∞	1
Пример 1.11. Исследуем на сходимость ряд ∑			.
	p
n=2	n ln	n

Решение. Применим интегральный признак Коши. Рассмотрим

функцию f (x) =	1	(x ≥ 2). Функция является положительной и

	x ln p x

убывающей (при условии x > e–p) на рассматриваемом промежутке. Условия теоремы выполнены, следовательно,

∞

∞ d ln x

(ln x)− p+1

∫(ln x)− p d(ln x) = lim

∫

= ∫

lim

− p + 1

2 x ln x

2 ln x

N→∞

N →∞

= lim

(ln N )− p+1

−

(ln 2)− p+1

= lim

−

− p + 1

→∞

− p + 1

N →∞ (1− p)(ln N )p−1

(1− p)(ln 2)p−1

p > 1,

при

( p − 1)(ln 2)p−1

∞

при p < 1.

∞

= ∞ (докажите самостоятельно),

В случае р = 1 интеграл

∫

x ln x

∞

следовательно, несобственный интеграл ∫

сходится при р > 1

x ln

∞

и расходится при р ≤ 1. А значит, ряд ∑

сходится и расхо-

nln

n=2

дится при тех же условиях.

∞

Ответ: ряд ∑

сходится при р > 1 и расходится при р ≤ 1.

nln

n=2

∞

Пример 1.12. Исследуем на сходимость ряд ∑

(5n

− 1)ln

n=2

Решение. При n → ∞

3n2

(5n3 − 1)ln2 n

5nln2 n

Ряд с общим членом

является сходящимся (см. прим. 1.11),

5nln2

следовательно, по признаку сравнения исходный ряд также является сходящимся.

Ответ: ряд сходится по предельному признаку сравнения.
Замечание. Напомним некоторые полезные пределы:
1) lim n n = 1.
n→∞
		ln n	lim	ln n		lim	1
Доказательство: lim n n = lim e n			= en→∞ n		=	en→∞ n = e0 = 1.
n→∞	n→∞				(по правилу Лопиталя)

2) lim n ln n = 1.

n→∞

ln ln n

lim

ln ln n

Доказательство:

lim n ln n = lim e

= en→∞ n

= e0

= 1 .

n→∞

∞

+ 7

Пример 1.13. Исследуем на сходимость ряд ∑nln

+ 6

n=1

Решение. Рассмотрим общий член ряда

+ 7

an = nln

= nln 1+

~ n

= bn

при n → ∞ .

+ 6

+ 6 n

∞

Ряд ∑

является сходящимся, как ряд Дирихле с р = 4 > 1. Сле-

n=1 n

довательно, по предельному признаку сравнения исходный ряд также является сходящимся.

Ответ: ряд сходится по признаку сравнения.
				∞		n + 1		n3
Пример 1.14. Исследуем на сходимость ряд ∑ narcsin								.
Пример 1.14. Исследуем на сходимость ряд ∑ narcsin						2		.
				n=1	n		+ 2n
Решение.
narcsin	n + 1	~ narcsin	1	~ 1 при n → ∞ ,
narcsin	n2 + 2n	~ narcsin	n	~ 1 при n → ∞ ,
	n2 + 2n		n

т.е. предел общего члена ряда не равен нулю. Следовательно, по дос- таточному признаку расходимости ряд расходится.

Ответ: ряд расходящийся по достаточному признаку расходимо- сти ряда.

∞	1 n + 4			n2
Пример 1.15. Исследуем на сходимость ряд ∑				.
Пример 1.15. Исследуем на сходимость ряд ∑		n		.
n=1	5		n + 2

Решение. Применим радикальный признак Коши:

lim n a

= lim n

1 n + 4

lim

n + 4

n→∞

5 n→∞

n + 2

n+ 2

lim

lim 1

en→∞ n+ 2 =

≈ 1,469 > 1.

5 n→∞

n + 2

Так как предел больше единицы, то ряд расходится. Ответ: ряд расходится по радикальному признаку Коши.

∞

9n2 + 2n − 3n)

Пример 1.16. Исследуем на сходимость ряд ∑(

n=1

Решение. По радикальному признаку Коши

9n2 + 2n − 3n)n

lim n an

= lim n (

9n2

+ 2n − 3n )n2

= lim (

n→∞

9n2

+ 2n

− 9n2 n

= lim

n→∞ 9n2 + 2n

+ 3n

n→∞

9 +

+ 3

= lim

n = lim

= 0 < 1.

n→∞ 3

n→∞ 3n

Так как предел больше единицы, то ряд расходится.

Ответ: ряд сходится по предельному признаку Коши

+ 3n − 1

∞

Пример 1.17. Исследуем на сходимость ряд ∑ln

+ n

n=1

Решение. При n → ∞

2n2 + 3n − 1

= ln 1+

2n − 1

2n2 + n

2n2 + n n

Ряд с общим членом

является гармоническим,

следова-

тельно, расходящимся рядом. Поэтому исходный ряд по признаку сравнения также является расходящимся рядом.

Ответ: ряд расходится по признаку сравнения.

∞

Пример 1.18. Исследуем на сходимость ряд ∑n12

n=1

Решение. По радикальному признаку Коши

3 n

lim n an

= lim n n12

lim

(n n )

< 1.

n→∞

5 n→∞

Так как предел меньше единицы, то ряд сходится. Ответ: ряд сходится по признаку Коши.

Пример 1.19. Предположим, что	lim nan = 1 . Докажем, что ряд
	n→∞
∞
∑an является расходящимся.
n=1
Решение. Так как lim nan = 1 , то и	lim	an		= 1. Следовательно, ряды
Решение. Так как lim nan = 1 , то и	lim			= 1. Следовательно, ряды
n→∞	n→∞ 1
			n

с членами an и bn						=	1	в смысле сходимости ведут себя одинаково. Но
с членами an и bn						=		в смысле сходимости ведут себя одинаково. Но
							n
		∞
ряд ∑				1	является гармоническим,				следовательно, расходящимся
ряд ∑					является гармоническим,				следовательно, расходящимся
		1 n
								∞
рядом. Поэтому ряд ∑an по предельному признаку сравнения явля-
						1
ется также расходящимся. Что и требовалось доказать.
	Пример 1.20. Предположим, что								lim n3an = 1 , тогда, что можно
									n→∞
								∞
сказать о поведении ряда ∑an .
								n=1
	Решение. Так					как lim n3an = 1 , то			и lim	an	= 1 . Следовательно,
	Решение. Так					как lim n3an = 1 , то			и lim		= 1 . Следовательно,
								n→∞	n→∞ 1
										n3
a	~	1	при n → ∞.
a	~		при n → ∞.
n		n3

∞ 1

Но ряд ∑n=1 n3 является сходящимся (как ряд Дирихле с р = 3 > 1),

∞

следовательно, и ряд ∑an также является сходящимся.

n=1

Ответ: ряд является сходящимся.

Резюме

∞

Для того чтобы исследовать знакоположительный ряд ∑an на

n=1

сходимость, внимательно посмотрите на an.

1. Если lim an ≠ 0	, то по достаточному признаку расходимости
n→∞

∞

ряда ряд ∑an расходится.

n=1

2.Если an содержит n!, kn , nn , то можно применить признак Да-

ламбера.

3.Если an представляет собой дробно-рациональное выражение в степени n или n2, то удобно применить радикальный признак Коши.

4.Если вышеприведенные признаки не дают ответа на вопрос, то постарайтесь применить признаки сравнения, интегральный признак Коши или непосредственно определение сходимости ряда.

5.Исследование некоторых рядов на сходимость упрощается по- сле определенных преобразований и применения таблицы эквива- лентных бесконечно малых.

Упражнения

Исследовать на сходимость следующие ряды и, если ряд сходится, найти его сумму.

∞

1. ∑

2 . ∑

(3n −

n=1

1)(3n + 2)

n=1

(n + 1)(n + 3)

∞

3. ∑

4. ∑

(5n −

(7n −

2)(7n +

n=1

2)(5n + 3)

n=1

∞

5. ∑

6. ∑

(3n −

(2n −

n=1

2)(3n + 4)

n=1

1)(2n + 5)

∞

7. ∑

8. ∑

(2n −

n=1

1)(2n + 3)

n=1

(8n − 1)(8n + 7)

∞

120

9. ∑

10. ∑

n=1

(n + 9)(n + 10)

n=1

(3n − 1)(3n + 5)

∞

2n + 5n

∞

3n + 5n

11. ∑

12. ∑

n=1

∞

5n − 2n

∞

7n + 5n

13. ∑

14. ∑

n=1

∞

6n − 5n

∞

4n + 5n

15. ∑

16. ∑

n=1

	∞		n	+ 7		n
17.	∑	3		+ 7				.
17.	∑			n				.
	n=1	21
	∞		2n + 3n
19.	∑							.
19.	∑			6	n			.
	n=1			6
	∞		n + 7
21.	∑		n + 7				.
21.	∑						.
	n=1		2n + 8
	∞		10n + 7
23.	∑		10n + 7						.
23.	∑								.
	n=1		2n + 8

∞n2 + 7

25.∑n=1 2(n + 8)2 .

∞(n + 1)2

27.∑n=1 2n2 + 7.

∞(3n + 7)2

29.∑n=1 2(n + 1)2 .


31.	1				+			1			+		1				+ ... +					1			+ ...
	2
					4							8										2n
33.	1				+			1				+			1					+ ... +				1					+ ...
	4
					16							64												4n
35.	1			+			1					+				1					+ ... +					1				+ ...
	6																									6n
					36							216
37.	3					+			9		+			27					+ ... +				3n					+ ...
	2
					4							8											2n
39.		3	+							9		+						27			+ ... +						3n			+ ...
	5
					25							125																5n

∞		n	n
18. ∑	8		− 3	.
			n
n=1		24

∞ 8n − 5n

20. ∑ .

n=1 40n

∞n − 7

22.∑n=1 3n + 8.

∞n − 5

24.∑n=1 2n + 5.

∞n3 + 4n2

26.∑n=1 2(n + 1)3 .

∞3n + 7

28.∑n=1 2n + 8.

∞n5 − 2

30.∑n=1 2n5 + 8.

32.	1		+	1			+				1		+ ... +				1		+ ...
	3			9							27						n
															3
34.	1		+		1				+			1			+ ... +			1			+ ...
	5																	5n
				25							125
	2			4							8						2		n
36.			+					+						+	... +						+ ...
	3			9							27
																	3
38.	1		+	2						+		4			+ ... +			2n−1				+ ...
	5																		5n
				25							125
40.		2	+			4					+	8				+ ... +				2n			+ ...
	7																			7n
				49								343

Применяя достаточные признаки сходимости числовых рядов, ис- следуйте поведение следующих рядов.

∞

4 5 6 ... (n + 3)

∞

1 3 5 ... (2n − 1)

41.

∑

42.

∑

n=1

5 7 9 ... (2n + 3)

n=1

5 8 11 ... (3n + 2)

∞

4 7 10 ... (3n + 1)

∞

2 7 12

... (5n − 3)

43.

∑

44.

∑

4 5 6

n=1

5 7 9 ... (2n + 3)

n=1

... (n + 3)

	∞		4n
45.	∑				.

	n=1	(n + 3)!
	∞		(n − 3)!
47.	∑					.
			n
	n=1	3 (n + 3)!
	∞		n	n
49.	∑				.

	n=1	(n + 3)!
	∞	n + 2			n
51.	∑				.

	n=1	5n − 1
	∞	n + 2			n2
53.	∑				.

	n=1	5n − 1

∞1

55.∑n=1 (ln(n + 2))n .

	∞				1 n
57.	∑ arcsin						.
57.	∑ arcsin					n	.
	n=1		3
	∞			1 n
59.	∑ arctg					.
59.	∑ arctg				n	.
	n=1		6
	∞					2
61.	∑											.
61.	∑											.
	n=1		(3n − 1)ln(3n − 1)
	∞				1
63.	∑										.
63.	∑		(n + 1)ln				3		(n		.
	n=1		(n + 1)ln						(n	+ 1)
	∞		1
65.	∑		1					.


	n=1	3 (5n − 1)5

∞1

67.∑n=1 1+ n2 .

∞3 + n

69.∑n=1 9 + n2 .

∞n

71.∑n=1 9 + n2 .

∞n2

73.∑n=1 9 + n5 .

	∞					n!
46.	∑					n!										.

				n	(n
	n=1	2			(n		+ 5)!
	∞		3n + 1
48.	∑								.
48.	∑								.
	n=1			n 3n
	∞		(n + 1)!
50.	∑									.
50.	∑				n	n				.
	n=1				n
	∞	3n − 2									n
52.	∑										.
52.	∑										.
	n=1	7n − 1
	∞	2n − 1									n2
54.	∑										.
54.	∑										.
	n=1	2n + 1
	∞					1											n
56.	∑																.
56.	∑																.
	n=1	ln(n +									3)
	∞										1 n
58.	∑ arcsin																.
58.	∑ arcsin										7		n				.
	n=1										7
	∞					π n
60.	∑ tg							.
60.	∑ tg					4	n	.
	n=1					4
	∞												5
62.	∑																			.
62.	∑																			.
	n=1	(2n + 1)ln(2n + 1)
	∞												1
64.	∑																				.
64.	∑																	5			.
	n=1	(4n − 1)ln																	(4n − 1)
	∞					1
66.	∑					1											.


	n=1 5 (3n − 1)3
	∞					5
68.	∑					5									.

			25 + 16n									2
	n=1		25 + 16n
	∞		2 + n
70.	∑							.
70.	∑		4 + n				2	.
	n=1		4 + n
	∞				3n
72.	∑				3n							.
72.	∑		5n + 8n								2	.
	n=1		5n + 8n
	∞					n
74.	∑					n								.

			3 (n + 1)5
	n=1		3 (n + 1)5

∞

75.

∑sin

76.

∑sin

n=1

− n + 1

n=1

∞

+ n + 1 − n

∞

77.

∑

. 78.

∑(

n − n − 1).

n=1

∞

+ 4

− n

∞

n + 1 − n − 1

79.

∑

80.

∑

n=1

n=2

∞n

81.Докажите, что ряд ∑ln n + 1 расходится. Указание: найдитеn=1

формулу для Sn.

∞	1
82. Покажите, что ∑ln (1−		) = − ln 2 .
	2
n=1	n

∞

83. Докажите, что если ряд ∑an расходится, то расходится и ряд

n=1

∞

∑can , c ≠ 0 . Указание: проведите доказательство от противного.

n=1

84. Докажите, что ряд 1 + 1 + 1 + 1 + ... является расходящимся.

2	4	6	8
	∞				∞
85. Докажите, что если ряд ∑an			расходящийся, а ряд ∑bn схо-
	n=1				n=1
∞
дящийся, то ряд ∑(an + bn )	является расходящимся.
n=1
		∞				∞
86. Докажите, что если ряд		∑an		сходящийся, то ряд		∑can
		n=1				n=1
				∞	∞
(с = const) также является сходящимся и ∑can					= c∑an .
				n=1	n=1
		∞		∞
87. Докажите, что, если ряды ∑an				и ∑bn	сходятся, то сходится
		n=1		n=1
∞				∞	∞	∞
ряд ∑(an + bn ) и выполняется равенство ∑(an + bn ) = ∑an +						∑bn .
n=1				n=1	n=1	n=1

∞4n+1

88.Докажите, что ряд ∑ 7n−1 является сходящимся, и найдите егоn=1

сумму.

∞ e n+1

89.

Исследуйте на сходимость ряд ∑

и, если он сходится,

n=1

найдите его сумму.

∞

∞ a

90.

Если ряд ∑an

расходящийся, то каким будет ряд ∑

n+1

n=1

n=1 an

∞

91. Для каких значений k и q ряд ∑

будет сходящимся рядом.

n=2 n

∞

92.

Что можно сказать о поведении ряда

∑

, если известно,

n=1 an+1

∞

что ряд ∑an сходится.

n=1

∞

93.

Докажите, что ряд ∑

сходится.

+ 1)arctg n

n=1

∞

94.

Если ряд ∑an

является сходящимся (an ≥ 0), то каким будет

n=1

∞ a

ряд ∑ n+1 .

n=1 an

95. Пусть P(n) и Q(n) многочлены по степеням n с неотрицатель- ными коэффициентами. Каким условиям должны удовлетворять эти

∞ P(n)

многочлены, чтобы ряд ∑n=1 Q(n) был сходящимся?

96. Пусть P(n) и Q(n) многочлены по степеням n с неотрицатель- ными коэффициентами. Каким условиям должны удовлетворять эти

∞
многочлены, чтобы ряд ∑	P(n)	был расходящимся.

n=1 Q(n)
		∞
97. Предположим, что lim nan		= 3 . Докажите, что ряд ∑an явля-
n→∞		n=1

ется расходящимся.

∞

98. Если ряд ∑an является сходящимся (an ≥ 0), то докажите, что

n=1

∞

ряд ∑an2 также будет сходящимся.

n=1

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.08.20261 Мб0Рынок ценных бумаг. Учебное пособие (опорный конспект лекций).pdf
#
15.08.2026870 Кб0Рынок ценных бумаг. Учебное пособие-1.pdf
#
15.08.2026896 Кб0Рынок ценных бумаг. Учебное пособие.pdf
#
15.08.20261 Мб0Рыночная экономика. Market Economy. Учебное пособие.pdf
#
15.08.2026892 Кб0Рыночные циклы как выявлять и использовать закономерности для успешного инвестирования.pdf
#
15.08.2026951 Кб0Ряды и дифференциальные уравнения числовые и функциональные ряды. Учебное пособие.pdf
#
15.08.2026847 Кб0Ряды Фурье. Интегральные преобразования Фурье и Радона. Учебно-методическое пособие.pdf
#
15.08.2026740 Кб0Ряды. Учебное пособие-1.pdf
#
15.08.2026762 Кб0Ряды. Учебное пособие.pdf
#
11.08.2026623 Кб0С английским языком в дорогу. Справочник.pdf
#
09.08.2026356 Кб0С того берега. Эссе.pdf