Методика изучения темы «Величины и их измерение» в начальной школе. Часть 1. Учебное пособие для студентов педагогических учебных заведений

мер, если тебе известно, что отрезок пути равен 200 м, и ты сделал на этом отрезке 400 шагов, то раздели 200 на 400 и получится, что длина твоего шага равна половине метра, т. е. 50 см.

Чтобы узнать частоту шагов, нужно пройти обычным шагом в течение 2 минут, считая шаги. Если за это время сделано 240 шагов, то раздели 240 на 2, и ты узнаешь, что за одну минуту ты делаешь 120 шагов. При таких данных скорость твоей ходьбы равна 120 х 50 = 6000 см в минуту, или 60 м, около 3 км в ч. Зная длину своего шага, ты можешь измерять расстояния. Сколько метров от дома до школы? Иди и считай шаги. Готово? Теперь умножь число шагов на длину шага в метрах. Не только ноги, но и руки помогают в измерениях. Измерь длину своего указательного пальца. Им можно пользоваться для измерения небольших предметов. Ты растешь, и полученные тобой сегодня данные меняются. Их нужно возобновлять примерно каждые полгода. Единицы длины часто используются в жизни. Их принято обозначать сокращенно: километр — км, метр — м, дециметр — дм, сантиметр — см, миллиметр — мм.

При особо точных измерениях используются такие единицы, как микрон — одна тысячная часть миллиметра и миллимикрон — одна тысячная часть микрона. А при измерении очень больших расстояний (например, расстояния между звездами) используются такие единицы, как световой год — расстояние, проходимое лучом света за год. Основной единицей измерения считается метр. Измерения с помощью метров люди проводят с начала XIX в. Прежде существовали (да и теперь существуют в разных странах) другие единицы мер. Они приведены в этой таблице.

Меры длины

МЕТР — основная мера длины. Метр введен в употребление в конце XVIII в. во Франции. Метром назвали одну сорокамиллионную долю длины парижского меридиана Земли. Эталон метра отлит из сплава платины с иридием; он хранится в специальном помещении в городе Севре, близ Парижа. Копии этого эталона хранятся в таких же помещениях в разных странах мира. Российская копия эталона метра находится в Пулковской обсерватории, в Санкт-Петербурге. Вот по-

31

чему метровые линейки во всех странах мира имеют совершенно одинаковую длину.

ДЕЦИМЕТР — метрическая мера длины. Дециметр равен одной десятой доле метра. Записывается один дециметр так: 1 дм (без точки).

САНТИМЕТР — метрическая мера длины. Сантиметр равен одной сотой доле метра, т. е. десятой доле дециметра. Записывается один сантиметр так: 1 см (без точки).

МИЛЛИМЕТР — метрическая мера длины. Миллиметр равен одной тысячной доле метра, то есть десятой доле сантиметра. Записывается один миллиметр так: 1 мм (без точки).

МИКРОН — метрическая мера длины. Микрон равен одной миллионной доле метра, т. е. одной тысячной доле миллиметра. В последнее время микрон чаще называют микрометром. Записывается один микрон так: 1 мк (без точки). Или один микрометр: 1 мкм (без точки).

МИЛЛИМИКРОН — метрическая мера длины. Миллимикрон равен одной тысячной доле микрона, т. е. одной миллиардной доле метра. В последнее время чаще называется нанометром. Записывается один миллимикрон так: 1 ммк (без точки). Или один нанометр: 1 нм (без точки)

КИЛОМЕТР — метрическая мера длины. Километр равен тысяче метров. Записывается один километр так: 1 км (без точки).

СВЕТОВОЙ ГОД — мера длины, употребляемая в астрономии. Световой год равен расстоянию, которое проходит световой луч в течение одного года. Имей в виду, что за одну секунду свет проходит 300000 км!

Свойства длины отрезка раскрываются на системе упражнений, которые рассматриваются в следующей последовательности:

1.Упражнения, иллюстрирующие упорядоченность множества отрезков отношением «иметь меньшую длину».

2.Упражнения, раскрывающие суть равенства длин двух отрезков, т. е. отношение «иметь одинаковую длину».

3.Упражнения, показывающие, что длины отрезков можно скрадывать.

4.Упражнения, приводящие к понятию длины отрезка.

5.Упражнения, иллюстрирующие переместительное свойство сложения длин отрезков.

6.Упражнения, иллюстрирующие сочетательное свойство сложения длин отрезков.

7.Задания, иллюстрирующие свойство монотонности сложения в множестве длин отрезков.

32

8. Задачи, неявно вводящие следующее свойство длины отрезка: длину отрезка можно делить на любое число одинаковых частей, и длина отрезка равна сумме длин составляющих его частей (не имеющих общих внутренних точек).

На первых порах длину отрезка дети измеряют с помощью модели сантиметра. В дальнейшем убеждаются в том, что измерять длину отрезков этой моделью (наложением ее на измеряемый объект) очень трудно; чтобы облегчить процесс измерения длин отрезков, изготавливают сами линейку с нанесенными на нее делениями. Этой линейкой они пользуются для измерения предметов. Измерительные навыки учащихся закрепляются при измерении отрезков, построении отрезков заданной длины, при решении простых задач на увеличение или уменьшение на несколько единиц, на разностное сравнение длин отрезков, при умножении и делении длины отрезков на число и т. д.

Понятие «дециметр» формируется у учащихся на основе уже знакомого понятия «сантиметр». Учитель объясняет, что некоторые отрезки неудобно измерять в сантиметрах. Заменив каждые 10 см дециметром (1 дм = 10 см), ученики измеряют длину стола, доски, комнат с помощью мерной ленты, разделенной на дециметры. Школьники далее убеждаются в том, что длины многих предметов выражаются в дециметрах и сантиметрах. Выполняются преобразования единиц, при этом следует использовать соотношение 10 см = 1 дм справа налево или слева направо. При этом преобразования величин связаны с изучением нумерации натуральных чисел. Эту связь следует показать, например,

1 дес. = 1 дм, 1 ед. = 1 см и т. д.

Мерная лента длиной 10 дм служит моделью новой единицы длины — метра. Учитель показывает детям и другие модели метра: деревянную метровую линейку, складную модель метра, мерную модель метра. С помощью различных моделей метра учащиеся определяют длину тесьмы, коридора, беговой дорожки. Преобразуя величины, учащиеся пользуются соотношением 1м = 10 дм, 1 м = 100 см, 1 дм = 10 см.

Понятие «миллиметр» можно ввести на основе выполнения практических работ или сообщить, что миллиметр — это десятая доля сантиметра. Соотношением 10 мм = 1 см пользуются при преобразовании величин длины.

Меру длины «километр» следует вводить при работе на местности. Соотношение 1000 м = 1 км используется при преобразовании величин длины.

Сведения о мерах длины систематизируются, и учащиеся составляют вместе с учителем таблицу единиц длины:

33

Содержание этой таблицы учащиеся должны запомнить. Этому способствует выполнение упражнений:

на перевод длины, выраженной в крупных единицах измерения, в мелкие и наоборот;

на сравнение длины, где величины преобразуются: крупные заменяются мелкими, а мелкие — крупными;

на сложение и вычитание длин, выраженных в одних или двух (и более) различных наименованиях;

на умножение и деление длины на число.

Вопросы и задания для самоконтроля

1.Какое свойство пространства и материальных объектов отражается в понятии «длина»?

2.Какие слова русского языка называют линейную протяженность пространства и предметов, описывают результаты сравнения предметов по длине? Какие из них являются математическими терминами?

3.Перечислите основные математические объекты, используемые в качестве моделей материальных тел и пространства для изучения «длины» как их свойства.

4.Докажите, что численное значение длины суммы двух отрезков равно сумме численных значений длин отрезков-слагаемых.

5.Какие из следующих суждений верные? Какие неверные: а) по построению; б) по смыслу? (а1, а2, а3 — суждения о длине отрезка; б1, б2, б3 — о пути от школы до дома).

– Измерьте величину отрезка. (а1)

– Измерьте отрезок. (а2)

– Измерьте длину отрезка. (а3)

– Расстояние от дома до школы равно четыремстам метрам. (б1)

– Величина расстояния от дома до школы равна четыремстам метрам. (б2)

– Путь от дома до школы равен четыремстам метрам. (б3)

– Длина пути от дома до школы равна четыремстам метрам. (б4)

– Длина пути от дома до школы равна 7 минутам ходьбы (б5)

– Путь от дома до школы равен семи минутам ходьбы. (б6)

6.В какой период жизни дети впервые встречаются с длиной как свойством пространства, предметов?

34

7.Что и в какой последовательности нужно сделать, чтобы измерить длину какого-либо предмета, отрезка?

8.Как правильно сформулировать задания: «Сложи 6 м и 7 м»; «Сложи значения длины 6 м и 7 м»; «Сложи именованные числа 6 м и 7 м». Ответ обос-

нуйте.

2.3. Площадь. Изучение площади

Площадь — это одна из величин, характеризующая поверхность. Это свойство двумерного пространства, характеризующее как плоские фигуры, так и поверхности пространственных тел. Понятие «площадь» возникло из решения задач практического содержания, связанных с вычислением площадей, т. е. с их измерением. При этом основой вычисления площадей является операция сравнения. Наиболее просто сравнивать площади плоских поверхностей. Для этого надо одну поверхность наложить на другую. Однако эта процедура не дает ответы на вопросы: «На сколько площадь одной поверхности больше (меньше) другой?», «Равны ли площади рассматриваемых фигур?». Площади изогнутых поверхностей сравнивать наложением практически невозможно. В этой связи появилась задача измерения площадей поверхностей, которая решается в рамках математики.

Известно несколько способов сравнения площадей поверхностей фигур:

1)непосредственным наложением одной фигуры на другую;

2)разрезанием одной поверхности с последующим наложением полученных кусков на другую;

3)замена одной поверхности другой, равной ей по площади, и др.

Однако наиболее распространенным способом является прямое измерение площади поверхности с помощью единичной мерки. В этом случае выбранную для измерения поверхность «замощают» единичными мерками (без зазоров) и подсчитывают число таких мерок, которое является числовой характеристикой площади. В качестве единичной мерки наиболее часто выбирают квадрат со стороной, равной единице. В начальной школе квадрат и прямоугольник являются основными фигурами, которые используются для формирования представлений учащихся о площади.

Квадраты и прямоугольники принадлежат множеству многоугольников, для которых теоретическая задача измерения площадей к настоящему времени считается решенной. Перейдем к рассмотрению вопроса измерения площади прямоугольников с позиции математики. Обозначим буквой М множество всех

35

многоугольников плоскости. Говорят, что на множестве М установлено измерение площадей, если задано отображение S:M→R , удовлетворяющее трем условиям:

1.Равным многоугольникам соответствуют равные площади.

2.Если многоугольник состоит из двух многоугольников, то его площадь равна сумме площадей составляющих многоугольников.

3.Существует квадрат со стороной, равной одной единице, площадь которого равна одной единице площади или одной квадратной единице.

Условия 1–3 называются аксиомами измерения площадей многоугольников. Пусть P — произвольный прямоугольник, S (P) — его площадь, a и b —

его измерения, т. е. длины сторон этого прямоугольника. Докажем, что функция S(P) = ab удовлетворяет аксиомам измерения площадей.

Разделим прямоугольник P на два прямоугольника P1 и P2c помощью прямой, параллельной одной из сторон прямоугольника P (см. рис. 7). При этом получим два прямоугольника с измерениями a1, a2 и b, причем a1 + a2 = a.

Рис. 7

Прямоугольник P разбит на два прямоугольника P1 и P2. a = a1 +a2. S(P) = ab, S(P1) = a1b, S(P2) = a2b.

S(P1) + S(P2) = a1b + a2b = b(a1 + a2) = ab = S(P).

Таким образом, площадь исходного прямоугольника равна сумме площадей прямоугольников разбиения.

Рассмотрим прямоугольник P0 c измерениями a = 1 и b = 1. P0 — квадрат. В этом случае S(P0) = 1. Квадрат P0 — единица измерения площади.

Таким образом, функция S(P) = ab удовлетворяет всем аксиомам измерения площадей, а число ab является площадью прямоугольника с измерениями a и b.

Площадь — свойство всего материального мира, всех материальных объектов, т. е. свойство поверхностей материальных тел, свойство двумерного пространства. Площадь — также свойство плоских геометрических фигур (геометрические фигуры есть модели поверхностей физических тел) и поверхностей объемных геометрических тел.

36

Являясь свойством пространства, свойством материальных тел и геометри-

ческих фигур, площадь обладает рядом свойств:

равные поверхности и фигуры (равенство понимается как полное совпадение при наложении) имеют равные площади; фигуры, имеющие равные площади, называются равновеликими;

если поверхность или фигура составлена из неперекрывающихся частей, то площадь всей поверхности или фигуры равна сумме площадей всех частей (аддитивность);

площади поверхностей или геометрических фигур, которые (поверхности и фигуры) могут быть составлены из одинакового набора поверхностей или фигур, равны, а сами такие поверхности или фигуры называются равносостав-

ленными.

Процедура сравнения «по количеству площади» для установления отношений «больше», «меньше», «равно» может быть выполнена несколькими способами:

1. Наложение одной сравниваемой поверхности на другую.

2. Перекраивание одной из сравниваемых поверхностей, фигур, или перекраивание обеих поверхностей, фигур и составление новой (новых) фигуры (фигур), для которой (которых) возможно сравнение наложением. При перекраивании меняется форма поверхности (фигуры), но не меняется ее площадь.

3. Замена одной или обеих сравниваемых поверхностей другой или другими равной (равными) ей (им) по площади, но имеющей (имеющими) форму, удобную для сравнения по площади первыми двумя способами.

4. Разбиение (расчерчивание, разбиение) сравниваемых поверхностей, фигур на соответственно одинаковые между собой части.

Эти способы сравнения по площади поверхностей геометрических фигур позволяют узнать о двух любых поверхностях или геометрических фигурах, равны ли они по площади, а если не равны, то площадь какой поверхности или фигуры меньше, а какой — больше.

Проблему сохранения результатов сравнения и возможности установления количественных отношений по площади между одними объектами на основе результатов сравнения других объектов решает измерение площади.

5. Измерение площади (прямое).

Процедура измерения площади аналогична процедуре измерения длины. Она включает:

– выбор поверхности, геометрической фигуры в качестве мерки, признание «количества площади» в ней равным единице площади (фигура должна

37

быть такой, чтобы ей было удобно «замостить» измеряемые поверхности или фигуры;

–покрытие измеряемой поверхности или фигуры мерками либо расчерчивание измеряемой поверхности, фигуры на части, совпадающие по форме и размерам с меркой;

–подсчет числа мерок или частей, равных мерке, полностью покрывающих измеряемую поверхность (расчерчивание может быть произведено с помощью палетки — прозрачной пленки, заранее разделенной на части, совпадающие по форме с размером мерки).

Итак, площадь — это свойство поверхностей тел и геометрических фигур, проявляющееся в наложении самих поверхностей, геометрических фигур друг на друга или их заменителей, «скроенных» из полного набора частей сравниваемых поверхностей, без изменения их формы или с определенными изменениями, например, «спрямлениями».

Представим систему работы по формированию у младших школьников понятия площади. Она базируется на включении в процесс обучения жизненного опыта учащихся. Поэтому так же, как при изучении длины, ведущая задача учителя — актуализировать, систематизировать, сделать предметом осознания соответствующий жизненный опыт детей. Сделать это можно посредством выполнения заданий на сравнение. Для осмысления понятия площади важно на интуитивном уровне владеть представлениями о равнодополнимости и равносоставленности геометрических фигур.

Ш. Курманалина рекомендует строить методику формирования представлений о площади фигуры в соответствии с общей методикой формирования представлений о величине. При этом введение понятия площади проводится с опорой на привычные для детей представления о том, что каждая фигура занимает определенное место на плоскости — большее или меньшее [14].

Ввести и закрепить понятие площади можно при помощи фронтальной и индивидуальной работы с учениками. На доске, фланелеграфе, наборном полотне прикрепляются различные геометрические фигуры (2 квадрата, 2 круга, 2 треугольника разных размеров), у детей на партах соответствующий раздаточный материал, и проводится сравнение. Допустим, берем большой круг и маленький треугольник. Вопрос: какая фигура поместится во вторую? Покажите это. Наложением дети показывают, что треугольник поместится в середину круга. На доске тоже сначала закрепляется круг, а потом на него треугольник. Вывод: этот треугольник «часть» этого круга, значит, его площадь меньше площади круга. (Можно сказать, что площадь — это место, которое занимает фигура на плоскости). Представления о площади закрепляются у детей аналогичной

38

практической работой, а обобщение проводят по учебнику. Для закрепления понятия площади имеет смысл брать фигуры различной конфигурации и цвета, чтобы предупредить ошибку учеников (площадь имеют только прямоугольник и квадрат). Однако спрашивать, что такое площадь, у детей не стоит — понятие формируется на интуитивно-практическом уровне.

Следующим шагом будет практическая работа над фигурами, которые не вмещаются одна в другую. При выполнении этого задания нужно познакомить детей со сравнением фигур при помощи их разбиения на отдельные квадраты. На обратной стороне фигур разлинованы квадраты (одинаковые и неодинаковые). Пересчитывается их количество, делаются выводы.

Затем аналогичные упражнения выполняются по учебнику и чертежам на доске. Требуется показать случаи, когда разные по форме фигуры имеют одинаковую площадь. Упражнения: подсчитайте квадраты, входящие в данную фигуру, начертите фигуры, состоящие из... квадратов. Эти упражнения помогают формировать понятие площади как количества квадратных единиц.

Введение стандартных единиц измерения начинается со знакомства с квадратным сантиметром.

В тетрадях вычерчивается отрезок в 1 см и квадрат со стороной в 1 см. Первая единица используется при измерении длины, а вторая, которая называется «квадратным сантиметром», для измерения площади и сокращенно записывается см2. Вообще, в качестве условной мерки для измерения площади можно выбрать площадь, отличную от квадратного сантиметра.

Затем в квадратных сантиметрах измеряется площадь прямоугольника. Рекомендуется не давать правило в готовом виде, а подвести самих детей к необходимому выводу. С этой целью желательно остановиться на четырех типах упражнений:

1.Прямоугольник разделен линиями на квадратные сантиметры. В этом случае рассматривается число столбиков и число квадратных сантиметров в одном столбце. Произведение этих чисел и дает площадь прямоугольника в квадратных сантиметрах.

2.Прямоугольник не полностью разделен (это деление намечено частично) на квадратные сантиметры, но можно выяснить, сколько квадратных сантиметров укладывается вдоль каждой его стороны.

3.Стороны прямоугольника точками разделены на сантиметры.

4.К сторонам прямоугольника приложены измерительные линейки. По их шкалам находятся длина и ширина в сантиметрах.

Выполняя такие упражнения, учащиеся усваивают алгоритм вычисления площади прямоугольника: измеряется длина прямоугольника (в сантиметрах),

39

ширина (в сантиметрах), вычисляется произведение полученных чисел, полученное число и соответствует площади в квадратных сантиметрах.

Квадратный дециметр строится детьми в тетради и разбивается на квадратные сантиметры для установления непосредственным подсчетом зависимо-

сти: 1 дм2 = 100 см2.

Модель квадратного метра следует разбить на квадратные дециметры, а один из квадратных дециметров — на квадратные сантиметры. Модель квадратного метра может быть использована учителем для вывода таблицы:

1 м2 = 100 дм2

1 дм2 = 100 см2

1 м2 = 10000 см2

С помощью таблицы можно решать задачи на кратное сравнение величин, на увеличение и уменьшение площади в 10, 100 и т. д. раз.

После знакомства с каждой единицей площади желательно проводить практические работы по вычислению площади (тетради, книги, классной доски, пола, спортивного зала, площадки и т. д.) Далее следует рассмотреть практические работы по определению площади фигур, которые можно разбить на прямоугольники (квадраты). Площади таких фигур равны сумме площадей составляющих их прямоугольников.

Чтобы предупредить ошибки смешивания понятия периметра и площади прямоугольника, целесообразно предложить учащимся найти периметр и площадь прямоугольника одновременно. При этом необходимо обратить внимание детей на разницу в названиях единиц, в которых измеряется площадь и периметр прямоугольника.

Для определения площади фигур, имеющих форму, отличную от прямоугольника, используется палетка. До введения палетки можно провести практическую работу по определению площади кругов, начерченных на миллиметровой бумаге. Учитель обращает внимание детей на то, что они не образуют квадратный сантиметр. Учащиеся убеждаются в возможности замены неполных квадратов полными: число полных квадратов составляет примерно половину числа неполных.

После такой подготовительной работы при определении площади плоских фигур, начерченных как на линованной, так и на нелинованной бумаге, можно использовать палетку.

Если нужно окрасить стены в комнате масляной краской, то встает вопрос: сколько краски понадобится? Обычно мы просто идем и покупаем банку краски, а если не хватит, покупаем еще. Но все-таки можно решить этот вопрос и заранее. На банке краски бывает написано, на какую площадь она рассчитана. Значит, нужно знать площадь окрашиваемых стен.

40