Методика изучения темы «Величины и их измерение» в начальной школе. Часть 1. Учебное пособие для студентов педагогических учебных заведений

2. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ВЕЛИЧИН

Величина, как и понятие числа, выступает основным понятием начального курса математики. Ведущей задачей курса математики начальной школы является формирование у младших школьников представлений о величинах как свойствах физических тел и явлений, проявляющихся при их сравнении и связанных с измерением. А значит эти свойства могут быть количественно оценены. Например, геометрические тела можно сравнить, и при сравнении проявляется свойство занимать место в пространстве, которое обозначается терми-

ном объем.

Всовременной начальной школе обучение математике осуществляется по различным программам. Эти программы отличаются содержанием учебного материала, методическими подходами к формированию ключевых понятий. Однако при осуществлении процесса формирования математических понятий учителю важно знать теоретические положения, лежащие в его основе.

2.1.Общеметодический подход

кформированию понятия величины

Вначальной школе изучаются величины: длина, площадь, масса, объем, скорость, время, производительность труда.

Длина — свойство всех материальных тел и геометрических объектов, заключающееся в их протяженности в пространстве в каждом (из возможных) направлений.

Разновидности длины: длины взаимно-перпендикулярных сторон предмета — длина, ширина, высота, длина пути, длина сторон предмета; длина границы тела; периметр основания; длина линий на поверхностях предметов; длина отрезка; длина сторон многоугольника; расстояние между точками, линиями, плоскими и криволинейными поверхностями, между объемными телами (расстояние — длина кратчайшего пути между соответствующими объектами).

Ощутить свойства предметов окружающего мира, отраженные в понятии длины можно через зрительные образы занятости зрительного пространства, осязательные и мышечные ощущения длительности движения по определенной траектории.

Площадь — свойство всех поверхностей материальных и геометрических тел, плоских геометрических фигур, характеризующее «суммарную» одновременную протяженность в бесконечном множестве направлений, сводимых

21

в каждой точке (в каждое мгновение) к двум. Площадь — это свойство, отражающее практическую возможность сравнения по вопросам: «У чего (у кого) поверхность больше (меньше)?» Образно поверхность можно представить как тончайшую, «нулевой» толщины оболочку любого материального объекта. Ощутить свойство, отраженное в понятии площадь, можно по длительным движениям ладони по поверхности.

Объем — свойство всех материальных тел и «объемных», трехмерных геометрических тел, характеризующее (отражающее) «суммарную» протяженность объектов в бесконечном множестве направлений, сводимых к трем направлениям, не относящимся к одной плоскости. Математическое понятие объема отражает прежде всего способы сравнения физических тел по «количеству» занимаемого или ограниченного ими пространства.

Ощутить свойства, отраженные в понятии «объем», можно через ощущение заполненности, занятости, замкнутости части пространства, через возможность или невозможность помещения одного предмета внутрь другого и т. п.

Масса — свойство всех материальных тел и частиц. Она проявляется в земных условиях через силу тяжести, ощущаемую нами как давление предмета на руку, на другие части тела, на основании чего мы разделяем предметы на более или менее тяжелые, на более или менее легкие и на одинаковые по тяжести. Сила тяжести не есть масса. Она зависит от массы.

Время — свойство процессов, явлений, событий, свойство жизни. Время и пространство — способы существования материи. Ощущение времени — это отношение перехода событий, процессов и т. п. из настоящего в прошлое, из будущего в настоящее, из прошлого в настоящее, из настоящего в будущее через ощущение изменений.

Скорость — это свойство любых изменений, происходящих во времени. Разновидности скорости: скорость движения (механического), скорость выполнения работы — производительность труда, скорость чтения, скорость говорения, скорость роста, скорость загрузки вагонов, скорость разгрузки, скорость вращения чего-либо, скорость мыслительных процессов («быстрый ум»), скорость нагревания, скорость роста денежных доходов и т. п. Проявляется в сравнении «количества» однородных изменений за один и тот же промежуток времени.

Стоимость — свойство всех объектов, изготовленных, произведенных, добытых для продажи; отражает количество затрат ресурсов, труда, времени, интеллекта и т. д.

22

В современной начальной школе перечень планируемых результатов обучения по данной теме прослеживается через цели опорного уровня «Выпускник научится» и цели пропедевтического уровня «Выпускник получит возможность научиться».

Раздел «Числа и величины»

Выпускник научится:

•читать и записывать величины (массу, время, длину, площадь, скорость), используя основные единицы измерения величин и соотношения между ними (килограмм — грамм; час — минута, минута — секунда; километр — метр, метр — дециметр, дециметр — сантиметр, метр — сантиметр, сантиметр — миллиметр).

Выпускник получит возможность научиться:

•выбирать единицу для измерения данной величины (длины, массы, площади, времени), объяснять свои действия.

Раздел «Геометрические величины»

Выпускник научится:

•измерять длину отрезка;

•вычислять периметр треугольника, прямоугольника и квадрата, площадь прямоугольника и квадрата;

•оценивать размеры геометрических объектов, расстояний приближенно (на глаз).

Выпускник получит возможность научиться:

•вычислять периметр и площадь нестандартной прямоугольной фигуры.

В современной начальной школе задачи изучения раздела «Величины и их измерение» расширены. Ученики, оканчивающие начальную школу (по любой программе), должны:

1.Иметь представление о величине как о свойстве объектов, предметов и явлений, которые проявляются при их сравнении, могут быть измерены и количественно оценены.

2.Уметь измерять длины отрезков и площадь фигур с помощью различных мерок и инструмента (линейки, палетки).

3.Уметь определять вместимость сосудов, массу тел, время по часам, дату по календарю, температуру по термометру.

23

4.Знать, что однородные величины можно сравнивать, устанавливая между ними отношения «больше», «меньше», «равно», измерять, складывать, умножать и делить на натуральное число, находить часть величины и кратное отношение величин.

5.Уметь выполнять преобразование единиц величин (заменять мелкие единицы крупными и наоборот).

Таким образом, в начальном курсе математики изучаются некоторые величины — длина, масса, объем (вместимость), время, температура и градусная мера угла (последние изучаются, например, в программах по начальной математике Л.Г. Петерсон, И.И. Аргинской, Э.И. Александровой). Кроме этого рассматриваются величины, характеризующие различные процессы, — движения (скорость, время, расстояние), купли-продажи (цена, количество, стоимость), работы (объем работы, производительность, время).

Данная тема изучается в течение всех лет обучения в начальной школе, материал раздела «вплетен» в основное содержание курса математики, введение единиц измерения величин сопряжено с изучением нумерации целых неотрицательных чисел, поскольку соотношение между ними (за исключением единиц времени) выражено в десятичной системе счисления (1 м = 10 дм = 100 см). Помимо этого, в курсах начальной математики разных авторов (Л.Г. Петерсон, Н.Б. Истоминой, М.И. Моро) данный факт связан с реализацией идеи параллелизма в изучении чисел и действий над ними, при котором суть понятия натуральное число раскрывается с теоретико-множественной точки зрения (количественное число), в аксиоматической интерпретации (порядковое число) и теории измерения величин (число как мера величин).

Обучение измерению каждой величины в начальном курсе математики происходит поэтапно [22, с. 101–104].

1этап. Уточнение представлений младших школьников о величине. Введение термина.

Цель данного этапа — сформировать у учащихся представление о том, что все окружающие нас объекты обладают свойствами или признаками, их можно сравнивать: ручка короче указки, арбуз тяжелее яблока, прямоугольник ABCD больше круга, перемена длится меньше, чем урок, и т. п. Сравнение различных предметов по протяженности, уточнение смысла слов «ближе», «короче», «уже», «выше», позволяет ввести термин длина; сравнение различных по форме

иназначению предметов (чаще — плоских геометрических фигур разной формы) является основой для введения термина площадь. Здесь важно осознать

24

практическую значимость изучаемого понятия, связать его с различными объектами, перевести житейские понятия на язык математики.

На данном этапе уместно использовать учебно-проблемные ситуации двух видов:

1.Учащимся предлагаются для анализа и сравнения объекты, одинаковые по всем внешним признакам (цвету, размеру, назначению). Требуется найти отличие. Например, две одинаковые внешне коробки могут отличаться массой.

2.Учащимся предлагаются для анализа и сравнения объекты, различные по внешним признакам (например, кружка и коробка). Требуется указать общее свойство. Таковым может быть объем (вместимость), высота, масса.

Опыт общения учащихся с заданиями указанных видов позволит им самостоятельно выйти на нужное свойство и зафиксировать его вербально — масса, длина, объем. Основу деятельности учащихся на данном этапе составляют практические действия, самостоятельно выполняемые в различных, как правило, игровых ситуациях.

2этап. Непосредственное сравнение величин.

Цель данного этапа — сформировать у учащихся представление о том, что величины можно сравнивать, устанавливая отношение порядка (как правило, нестрогого, ибо величины могут быть равны) на множестве однородных величин.

Логика учебных ситуаций определяется способом непосредственного сравнения величин, который подлежит усвоению — сначала визуальный (здесь различия должны быть очевидны), затем приложением (длины), наложением (площади), с помощью мускульных усилий (массы), ощущений (время, температура).

Взавершении данного этапа учащимся предлагается проблемная задача — задание, иллюстрирующее невозможность применения известных способов сравнения величин. Например, сравнить по длине объекты, которые удалены друг от друга (отрезки, расположенные на разных частях классной доски). Разрешение указанных противоречий заключается в выборе мерки — посредника.

3этап. Опосредованное сравнение величин.

Цель данного этапа — сформировать у учащихся представление о том, что:

1)мерка должна быть однородной с измеряемой величиной, удобной;

2)численное значение величины зависит от выбранной единицы измерения (мерки): чем больше мерка, тем число (мера) меньше, и наоборот;

3)сравнивать можно только величины, измеренные одной единицей изме-

рения.

Здесь учащиеся выполняют упражнения на выбор подходящей мерки (например, для измерения длин — веревочки, полоски бумаги, кусочки прово-

25

локи, палочки разного размера). Осуществляя измерение величин различными мерками, учащиеся устанавливают зависимость между величиной и единицей величины, осознают необходимость введения единой (общепринятой) единицы. Целесообразно ознакомить учащихся со старинными единицами измерения величин — сажень, фут, фунт, ярд, локоть, шаг. Методически верно подобранная система заданий наглядно иллюстрирует учащимся, что все используемые ранее единицы (до введения стандартных) были связаны, как правило, с частями тела человека и его способностями, а значит, носили субъективный характер.

4 этап. Введение стандартных единиц измерения величин.

Цель данного этапа — познакомить учащихся с общепринятыми единицами величин. Происходит это методом демонстрации: учитель предлагает вниманию учащихся различные предметы — носители единичной величины; учащиеся должны осознать, что независимо от материала, из которого изготовлен данный образец (бумага, проволока, пластилин, нитка), все объекты обладают общим свойством — длиной, например.

5 этап. Формирование измерительных умений.

Цель данного этапа — сформировать у учащихся способность к измерению длин отрезков, площадей фигур, масс тел, вместимости сосудов с помощью стандартных величин. Решение учебной задачи направлено на осознание учащимися неэкономичности во времени использования образца — эталона для измерения величин, и как следствие — введение измерительного инструмента (линейки, палетки, транспортира).

6 этап. Выполнение арифметических действий с именованными числами.

Цель данного этапа — развитие вычислительных умений и навыков, формирование представлений о свойствах величин, формирование у учащихся способности к преобразованию, сравнению, сложению, вычитанию, умножению и делению величин, выраженных в единицах сначала одного, затем разных наименований. Здесь важно, чтобы учащиеся осознали, что для выполнения действий с именованными числами их нужно выразить в единицах одного наименования. Также следует обратить внимание учащихся на связь между действиями с отвлеченными числами и именованными (за исключением именованных чисел, выраженных в единице времени).

Заметим, что независимо от программы, в соответствии с которой младшие школьники осваивают математику, представления о величинах и процессе их измерения следует формировать в данной логике. Вместе с тем, при анализе содержания раздела «Величины» учебников по начальной математике не обнаружено заданий, направленных на раскрытие сути каждой конкретной величины,

26

недостаточно упражнений на измерение величин разными мерками (в том числе старинными), что негативно сказывается на качестве учебных достижений школьников в данной области математического знания. Полагаем, что необходима коррекция содержания учебного материала, его обогащение специальными заданиями на каждом этапе изучения величин.

Предложим некоторые задания, вопросы, игры для младших школьников, которые могут быть использованы при формировании у детей общих представлений о величине (задания разработаны С.Е. Царевой) [28, с. 48–51].

1.Посмотрите вокруг себя. Какие предметы вы видите? Назовите их. Возьмите в руки любые два из них (подойдите к двум из них, покажите любые два из них). Чем похожи эти предметы друг на друга? Чем они отличаются друг от друга? Рассмотрите другие два предмета. Ответьте на те же вопросы.

2.Что общего между листом бумаги, земным шаром и деревянным кубиком? (У всех этих предметов есть поверхность, которую можно количественно оценить по площади; все названные предметы имеют протяженность; у всех предметов одни части отстоят от других на некотором расстоянии; все предметы имеют форму; и т. д.) Назовите как можно больше общих свойств.

3.Какой из предметов длиннее: карандаш или ручка? Стол или окно? Диван или воздушный шарик? Подтвердите свой ответ практическими действиями с этими предметами или каким-либо иным способом.

4.Рассмотрите эти кубики (учитель показывает два кубика различные по размеру, например, синий и желтый, причем синий больше желтого по длине стороны.) Покажите большой кубик. Покажите маленький кубик.

Этот кубик большой или маленький? Сделайте метку на нем.

Теперь посмотрите на эти кубики (показываем синий кубик из предыдущего набора и зеленый, больше синего). Какой из этих кубиков больше другого? Покажите большой кубик. Покажите маленький кубик. Синий кубик большой или маленький? (Показываем все три кубика.)

5.Проведите рукой по поверхности книги (всей поверхности, т. е. по поверхности всех граней книги), а затем по поверхности стакана (цилиндра, цветочного горшка). Чем похожи и чем отличаются эти поверхности? Какая поверхность больше по площади? Почему ты сделал такой вывод?

6.Положи (реально или мысленно) на одну чашу весов пакет (пачку) соли,

ана другую тетрадь. Какая чаша перетянет (опустится вниз)? Масса какого предмета больше? Меньше? Какие бы метки ты поставил на пакете с солью и на тетради или на бирках к ним, чтобы с их помощью можно было легко узнать («прочитать»), масса чего больше? Меньше?

27

7. На столе несколько предметов: пенал, ваза, тетрадь, книга, игрушечная машинка, матрешка. Выбери самый легкий предмет, самый тяжелый. Расставь все предметы в порядке возрастания тяжести. (Этот же порядок сохранится, если расставить предметы в порядке возрастания массы.) Сделай из бумаги бирки и поставь на них такие метки, чтобы по ним легко было определить, какой предмет легче, не прибегая к сравнению.

2.2.Длина. Изучение длины

Сраннего возраста дети начинают осваивать свойство реального мира, отраженное в понятиях «длина» и «расстояние». Длина — это числовая характеристика протяженности линии, а расстояние — кратчайший путь от одного предмета до другого, от одной точки до другой. При этом под путем понимают любую линию, соединяющую данные точки. Часто расстояние — это длина отрезка, соединяющего точки. Кроме слова «длина» для обозначения размеров предметов используют слова «высота» и «ширина», которые обозначают длину предмета в других направлениях, перпендикулярных направлению длины. Таким образом, длина, ширина и высота — это названия трех взаимно перпендикулярных сторон предмета.

Под длиной понимается выражение некоторого свойства предметов, границ поверхностей, границ видимости, воспринимаемых нами как линии; это свойство траекторий движения (перемещения) в пространстве в каком-либо (в каждый момент времени одном) направлении.

Длина как свойство проявляется лишь в сравнении предметов друг с другом.

При непосредственном сравнении по длине один предмет укладывается вдоль другого в направлении его линейной протяженности так, чтобы их начала были совмещены. Непосредственное «укладывание» одного предмета вдоль другого позволяет установить между ними отношения больше, меньше, равно по длине (расстоянию), а также отношения больше на… и меньше на… По-

следние могут быть заданы без измерения (рис. 5).

Рис. 5

28

Отрезок AB длиннее отрезка CD на отрезок KB.

Следующий способ сравнения — опосредованный, с применением предмета посредника (мерки). Это измерение (рис. 6).

Рис. 6

Результатом измерения является число мерок, полностью уложившихся в измеряемом объекте: lAB = 6e.

Длина мерки е принимается за единицу, поэтому говорят, что отрезок АВ измерен в единицах длины е.

При знакомстве учащихся с длиной учитель опирается на опыт ребенка. Рассматривая различные предметы, устанавливается, что отдельные предметы обладают свойством иметь длину, т. е. свойством иметь протяженность. Предметы по длине сравниваются визуально и приложением. Это приводит к понятию длины; два предмета имеют одну и ту же длину, если один совпадает с другим при приложении; если один из них накладывается на часть другого, не покрывая его целиком, то длина первого меньше длины второго.

Далее длины предметов сравниваются с помощью условных мерок, которые могут быть выбраны правильно.

Следует иметь в виду, что с объектами, для которых можно устанавливать отношения «длиннее», «короче», «выше», «ниже», «шире», «уже», «дальше», «ближе», учащиеся встречаются задолго до поступления в школу. В первом классе перечисленные отношения уточняются за счет расширения множества объектов, к которым они могут быть отнесены.

Учитель побуждает детей к измерению длин разных объектов «на глаз» (визуально), предлагая им различные задания. От такого задания переходят к таким, которые дают возможность учащимся переходить от сравнения длин различных объектов «на глаз» к измерению длины путем наложения «единиц» измерения на измеряемый объект.

29

При обучении учащихся измерению длины:

1.Показывают, что для сравнения длин различных объектов измерение следует проводить одной и той же «единицей». При этом сначала сравнивают два объекта приложением. Затем измеряют их с помощью двух разных мерок. Делают вывод: объекты нужно измерять одной и той же меркой.

2.Устанавливают, что не все предметы можно сравнивать по длине непосредственным наложением их друг на друга. Такие предметы следует сначала измерить одной и той же меркой, а потом сравнить полученные числа.

3.Вводят стандартные единицы длины в определенной последовательности.

4. Осуществляют переход от сравнения и измерения длины предметов с помощью основной единицы длины к сравнению и измерению длин отрезков.

Главный способ сравнения длин — измерение. Но измерение ценно и само по себе. Ведь часто бывает нужно просто узнать длину какого-нибудь предмета, высоту здания, ширину реки, глубину лужи, толщину дерева.

А какова длина указательного пальца на этой руке? Она больше чем 7 сантиметров, но меньше чем 8 сантиметров. Чтобы узнать точнее, можно воспользоваться другой линейкой, на которой сантиметры разделены на более мелкие единицы — миллиметры.

Кроме сантиметров и миллиметров есть и другие единицы длины: дециметр, метр, километр.

В одном дециметре 10 сантиметров.

Метр получится, если взять дециметр 10 раз. В одном метре 10 дециметров или 100 см, или 1000 мм. В километре 1000 метров. Это большое расстояние. Ты проходишь его быстрым шагом за 12–15 минут. Впрочем, у каждого человека своя скорость ходьбы. Она зависит до средней длины шага, конечно, зависит от того, какой у человека рост. Например, взрослый мужчина среднего роста проходит в час столько километров, сколько он делает шагов за 3 секунды. А как узнать, с какой скоростью ходишь ты? Для этого нужно узнать длину твоего среднего шага и частоту шагов. Длину шага можно узнать, пройдя обычным шагом известное тебе расстояние и сосчитав число сделанных шагов. Напри-

30