Методика изучения темы «Величины и их измерение» в начальной школе. Часть 1. Учебное пособие для студентов педагогических учебных заведений

даст следующий результат: брусок равен 5 стержням, или в общем случае брусок равен п стержням.

Каков смысл этого записанного в виде уравнения эмпирического высказывания? В этом уравнении мы свойство одного предмета (длину бруска) выразили через аналогичное свойство другого. Уравнение отражает экспериментально установленный факт, объективно существующее отношение вещей.

Что представляет собой это отношение и какова та операциональная ситуация, в рамках которой указанное отношение рассматривается? Прежде всего видно, что стороны этого отношения играют различные роли: брусок выступает как определяемое, стержень — как определяющее. Стержень в рамках данного отношения фигурирует не как предмет во всем многообразии своих свойств, а как вещественное воплощение лишь одного вполне определенного свойства — быть длиной, протяженностью. Все остальные свойства этого предмета не играют здесь никакой роли (масса, толщина и т. д.). Вот почему длину бруска можно было бы с равным успехом выразить через длину других предметов — кусок рельса, отрезок веревки и т. д.

Абстракции, лежащие в основе операции измерения, можно свести к трем видам:

1)отвлечение от бесконечного количества свойств сравниваемых качеств и выделение только одного;

2)отвлечение от того факта, что сравниваемое свойство имеет разные степени у разных представителей сопоставляемых классов и сосредоточение внимания только на интенсивности измеряемого свойства;

3)отвлечение от возможных изменений измеряемого свойства в процессе измерения.

Далее мы видим, что стержень выступает в этом отношении не просто как воплощенная длина, но как длина вполне определенная, как некоторая «порция» длины, как величина. Значение этого обстоятельства заключается в том, что от него непосредственно зависит результат сравнения. Если бы длина стержня оказалась в два раза меньше стандартной, то в уравнении вместо n пришлось бы поставить 2n. Уравнение изменится также и в том случае, если стержень заменить каким-либо другим предметом, не равным ему по длине.

Итак, стержень фигурирует в данной познавательной ситуации как величина, которая, во-первых, характеризует некоторое вполне определенное качество (протяженность), во-вторых, содержит в себе количественную меру, выражает определенное количество. Указанная величина выступает как средство, с помощью которого мы можем выражать соответствующие величины других предме-

11

тов (длину бруска, в частности), в то время как сама она не может быть выражена через другие величины. В этом смысле данная величина является абсолютной, а все другие величины, которые могут быть с помощью ее выражены, являются относительными. Это обстоятельство и зафиксировано в нашем уравнении:

брусок = n стержням.

Выясняя объективный смысл рассматриваемой ситуации, можно заметить, что уравнение выражает этот смысл грубо и неоднозначно. Неоднозначность его можно видеть, например, из следующего. С помощью нашего стандартного стержня мы можем, вообще говоря, выражать не только длину данного бруска, но и его вес. Если каждая часть бруска раскалывается на четыре стержня, то вес нашего бруска будет примерно равняться весу 4n стандартных стержней. Другими словами, из уравнения не видно, какая именно качественно определенная величина выражается данным уравнением — длина, вес или что-либо еще. Воспользуемся тем, что в нашей ситуации мы можем, не изменяя результат, подставлять вместо стержня любой другой равный ему по длине предмет. Получаем следующее уравнение:

брусок = nx,

где х есть пустое место, на которое можно подставлять любой предмет, равный по длине стержню.

Новое уравнение отражает объективно существующий факт взаимозаменяемости всех предметов, подставляемых вместо х, свидетельствующий о том, что во всех этих предметах, рассматриваемых в данной экспериментальной ситуации, существует нечто общее, инвариантное. Это инвариантное и выражается понятием величины, имеющей качественную и количественную определенность. Поскольку наша величина является в некотором смысле абсолютной, то по отношению к другим выражаемым через нее величинам она выступает в функции эталона.

Для того чтобы подчеркнуть, что эта величина является эталоном вполне определенного качества, эталоном длины, и чтобы не спутать его с другими эталонами, мы должны придать этой величине однозначно соответствующее ей имя. Общепринятое название эталона длины — метр (м).

Если наша величина х составляет одну десятимиллионную долю четверти парижского меридиана, то наше уравнение примет вид:

брусок = n метрам.

12

Обозначая через х измеряемую величину, через а единицу измерения и через n — их отношение, получим следующее уравнение:

n = х/a или х = na.

Полученное уравнение и есть основное уравнение измерения. Численное значение измеряемой величины выражено отвлеченным числом, напротив, результат измерения всегда является наименованным числом.

Результат измерения — численное значение величины.

Если измерения величины дают одно и то же значение, то такая величина называется постоянной. Величина, которая принимает различные численные значения (в некоторой ситуации), называется переменной.

Из определения измерения следует, что измерение есть процедура экспериментальная, что предполагает определенную экспериментальную ситуацию и соответствующий способ, с помощью которого осуществляется операция измерения.

Рассмотрим оба этих момента в отдельности. Представим, что мы решаем определенную задачу и что на каком-то шаге ее решения нам потребовалось знать вес некоторого тела. Очевидно, что в данном случае измерение является надежным способом для получения необходимой нам информации.

Прежде всего, выберем единицу измерения веса. Пусть это будет вес кубического дециметра дистиллированной воды. Поскольку измерение есть процедура экспериментальная, то помимо выбора единицы измерения нам необходимо иметь воспроизведение этой единицы в некотором вещественном образце — мере (например, в некоторой гире).

Используя измерение в качестве познавательного средства, мы должны исследовать, насколько это средство является надежным в каждом конкретном случае, т. е. выяснить, не нарушаем ли мы принцип объективности в познании, подготовляя данную экспериментальную ситуацию. Вот почему, хотя единица измерения может выбираться произвольно, тем не менее, к ее вещественному представителю — мере — мы должны предъявить весьма жесткие требования. Мера — средство получения информации, она должна обеспечить такое протекание познавательного процесса, который бы привел к объективным результатам. Если мы сделаем гирю, например, из необработанного особым образом дерева, то с течением времени масса гири будет меняться: дерево будет либо испарять влагу, либо абсорбировать ее из воздуха. В этом случае такое требование объективности, как однозначность результатов измерения, не будет обеспечено. Естественно поэтому делать гири из такого материала, физические свойства которого носят устойчивый в определенном отношении характер. Пусть, напри-

13

мер, наши гири будут из латуни. Воспроизводя единицу измерения в виде латунных гирь, мы, конечно, не можем достигнуть абсолютной точности, и наши гири будут слегка отличаться друг от друга по массе. Однако для того, чтобы гири могли играть роль меры, погрешность не должна быть выше допустимой. Величина допустимой погрешности целиком зависит от характера той познавательной задачи, которую мы решаем и для решения которой нам потребовались данные измерения.

Вторым элементом экспериментальной ситуации являются физические условия измерения. Бесспорно, что физические условия, в которых производится измерение, в той или иной степени влияют на результат измерения. Если нам известен результат измерения, но не известны соответствующие условия, то полученная информация, вообще говоря, не снимает той неопределенности, которая выражается исходным вопросом. Рассмотрим теперь вопрос о способе измерения как неотъемлемой стороне всякой измерительной процедуры.

Способ измерения включает в себя три главных момента:

1)выбор единицы измерения и получение набора соответствующих мер;

2)установление правила сравнения измеряемой величины с мерой и правило сложения мер;

3)описание процедуры сравнения. Вопрос о выборе единицы измерения был уже выше рассмотрен, рассмотрим теперь следующие из перечисленных моментов в рамках нашего примера.

Возьмем устройство, представляющее собой равноплечий рычаг — весы. Сформулируем следующее правило сравнения весов: если тела уравновешиваются на равноплечем рычаге, то массы тел равны. Учитывая свойство аддитивности (численная величина, соответствующая целому объекту, всегда равна сумме величин, соответствующих его частям, каким бы образом мы этот объект ни разбивали на части.) масс, можно сформулировать и правило сложения мер: масса гирь, положенных на одну чашку весов, равна арифметической сумме масс отдельных гирь. Тогда процедура сравнения измеряемой величины с мерой выглядит весьма просто. Уравновесим измеряемое тело на весах при помощи имеющихся у нас латунных гирь. Число гирь n, потребовавшееся для этой операции, будет как раз равно численному значению измеряемой величины. Применяя основное уравнение измерения, получаем р = п кг, где р — масса измеряемого тела.

До сих пор мы все время рассматривали так называемое прямое измерение. Однако с развитием науки все большее практическое и теоретическое значение приобретает метод косвенного измерения. При прямом измерении результат по-

14

лучается путем непосредственного сравнения измеряемой величины с эталоном, а также с помощью измерительных приборов, позволяющих непосредственно получать значение измеряемой величины (например, термометр). При косвенном измерении искомая величина определяется на основании прямых измерений других величин, связанных с первой математически выраженной зависимостью.

Возможность косвенного измерения как особой познавательной процедуры, ведущей к получению объективного знания, вытекает из того, что в объективном мире одни явления, свойства, качества связаны с другими.

Взаимозависимость различных процессов, свойств, сторон может, в частности, выражаться в том, что изменение какой-либо одной исследуемой величины обусловливает изменение другой. В математике такая зависимость называется функциональной. Из практики известно, например, что длина пути S, пройденного пешеходом, зависит от времени t, в течение которого пешеход находился в движении. Уже простое наблюдение, таким образом, может привести нас к установлению определенной функциональной зависимости:

S = f(t).

Однако полученный вывод еще не позволяет делать какие-либо заключения о том, как именно изменение одной величины зависит от изменения другой, т. е. мы не знаем правила, с помощью которого можно было бы каждому численному значению независимой величины t сопоставить соответствующее значение независимой величины S. Понятно, что такое правило и не может быть получено с помощью наблюдения. Это вытекает уже из того, что наш вопрос мы формулируем на языке величин, а о величинах можно что-либо утверждать лишь с помощью измерения. Величайшим достижением научного познания явилось как раз то, что люди научились определять значение той или иной величины, не прибегая к прямому измерению ее, т. е. задачу измерения одних величин сводить к задаче измерения других.

Для случая равномерного и прямолинейного движения тела мы можем провести прямое измерение как t, так и S. Пусть, например, в результате измерения мы получили следующую таблицу:

15

Из таблицы видно, что численное значение S можно получить путем умножения соответствующего численного значения t на 2. Итак, мы нашли правило преобразования любого численного значения независимой величины в соответствующее значение зависимой: S = 2t. Мы видим, что численное значение S зависит не только от численного значения t, но и от числа 2, которое представляет собой численное значение некоторой третьей величины, характеризующей само движущееся тело. Эта величина есть не что иное, как средняя скорость тела. В таком случае мы можем записать наше уравнение в виде физического закона:

S = vt, или v =S/t.

Очевидно, что численное значение v, которое было нами найдено, справедливо только для нашего частного случая. Тем не менее, сам способ определения величины v является универсальным для данного вида движения.

Итак, от констатации связи между величинами мы перешли с помощью измерения к установлению закона [4, с. 228–239].

Потребность в измерении величин, так же как и потребность в счете, возникла из практической необходимости. Как и при определении численности множества, люди сравнивали различные множества, сравнивали однородные величины, определяя, какая из сравниваемых величин больше, какая меньше. Такое сравнение еще не было измерением. В дальнейшем процедура сравнения величин была усовершенствована. Одна какая-нибудь величина принималась за эталон, а другие величины того же рода сравнивались с эталоном. Когда люди овладели знаниями о числах и их свойствах, величине-эталону стало соответствовать число 1. Этот эталон стал называться единицей измерения. Цель измерения стала более определенной: оценить, сколько единиц содержится в измеряемой величине. Результат измерения стал выражаться числом.

Задача измерения величин, так же как и задача измерения численности множеств предметов, является источником, порождающим числа. Однако в отличие от первой задачи, решение которой обеспечивается натуральными числами, для измерения величин этих чисел недостаточно. Еще Пифагор, который верил, что не только математика, но и все остальное может быть выведено из чисел, открыл существование несоизмеримости, в частности несоизмеримости стороны квадрата и его диагонали. Если длина стороны равна одному дюйму, число дюймов в диагонали равно корню квадратному из 2, который оказался вовсе не натуральным числом. Более наглядно это можно увидеть при измерении длин.

Нам нужно измерить длину отрезка АВ с помощью конкретной единицы измерения CD длины е (рис. 4).

16

Если такая степень точности удовлетворяет нас, то можно считать процесс измерения законченным. Однако практика часто предъявляет требование получить результаты измерений с более высокой степенью точности, т. е. с меньшей погрешностью.

С этой целью возникает необходимость продолжить процесс измерения, т. е. измерить длину остатка, отрезка А5B, в общем случае АnВ. Естественно, это нельзя сделать с помощью той же единицы измерения CD, которая не умещается на этом отрезке. Надо выбрать более мелкую единицу измерения, какую-то часть отрезка CD, допустим, десятую. Тогда длина е1 этой новой единицы измерения равна 0,1е, т. е. числу 0,1 (здесь неявно применяется свойство о возможности деления величины на какое угодно число частей).

Далее процедура измерения повторяется, но уже применительно к отрезку А5B (АnВ) и с единицей измерения длины 0,1. Значит, опять возможны два случая:

1. Новая единица измерения уместится на отрезке А5B (AnB) целое число раз, например, 3 раза, а вообще, n1 раз, где n1 < 10, так как прежняя единица измерения е не умещается на отрезке AnB. В этом случае |AВ|=5,3 (|AВ|=n, n1), т. е. для выражения числового значения длины уже потребовалось дробное число (мы взяли десятую долю первой единицы в качестве второй единицы измерения, чтобы можно было воспользоваться десятичными дробями).

2. Новая единица измерения не уложится целое число раз, т. е. точка В не совпадает с концом накладываемой единицы измерения. В этом случае получаем, например, 5,3<|АB|<5,4, или в общем виде n,n1<|АВ\<n, n1, где n1’=n1+1, т. е. каждое из чисел 5,3 и 5,4 (n, n1 и n, n1’) выражает приближенное значение длины отрезка АВ, первое — с недостатком, второе — с избытком, и оба — с точностью до 0,1. Принимая любое из этих чисел за длину отрезка АВ, мы допускаем погрешность, меньшую 0,1, а следовательно, в десять раз меньшую, чем та, которая получается, если принимать за приближенное значение длины этого отрезка натуральное число 5 или 6.

Если такая точность удовлетворительна, то процесс измерения можно считать законченным. В противном случае процесс продолжается, т. е. повторяется та же процедура, но уже применительно к новому остатку, отрезку А5,3В, и с новой единицей намерения, длина которой, например, десятая доля прежней единицы, т. е. e2=0,01. Заметим, что можно было бы принимать e1=1/2e, e2=1/2e1, и тогда были бы получены приближенные значения длины в виде двоичных дробей.

В результате получаем, например, либо |АВ|=5,36 (|АВ|=n,n1n2), либо 5,36<|АB|<5,37 (n,n1n2<|АВ|<n, n1n2’), т. е. приближенные значения длины: 5,36

18

(n,n1n2) с недостатком, или 5,37 (n,n1n2’) с избытком, но уже с точностью до 0,01 или с погрешностью, в 100 раз меньшей, чем первые приближения с помощью натуральных чисел 5 или 6.

Если такая точность достаточна для решаемой задачи, то процесс измерения считается законченным, в противном случае он продолжается, т. е. процедура измерения повторяется применительно к новому остатку и с новой единицей измерения.

Естественно возникает вопрос: до каких пор может продолжаться процесс измерения?

Оказывается, вообще возможны два случая:

1)на каком-то этапе процесса измерения единица измерения уложится целое число раз на измеряемом отрезке;

2)ни на каком этапе процесса измерения это не случится и, следовательно, процесс измерения будет продолжаться бесконечно.

Последнее обстоятельство означает, что существуют так называемые несоизмеримые отрезки, например, диагональ квадрата и его сторона. Если измерять диагональ квадрата стороной, т. е. принимая сторону квадрата за единицу измерения, то процесс измерения никогда не закончится, так как ни сама сторона квадрата, ни любая ее часть, полученная от деления стороны на целое число равных частей, не укладывается целое число раз в диагонали этого квадрата. В этом случае и рациональных чисел, т. е. целых и дробных, недостаточно для решения задачи измерения. В математике этот пробел устраняется дальнейшим расширением системы чисел с помощью введения иррациональных чисел. Иррациональные числа представляются в виде бесконечных десятичных непериодических дробей и образуют вместе с рациональными числами множество вещественных (или действительных) чисел, т. е. объединение множеств рациональных и иррациональных чисел.

Однако только теоретически процесс измерения может оказаться бесконечным. Практически же процесс измерения длин (и других величин) состоит из конечного числа шагов, что дает в результате приближенное значение измеряемой величины с любой требуемой степенью точности, зависящей от количества выполненных шагов в процессе измерения.

19

Вопросы и задания для самоконтроля

1.Рассмотрите любой из предметов, который сейчас находится перед вами. Назовите как можно больше свойств этого предмета.

2.По каждому или некоторым из свойств назовите как можно больше предметов, обладающих данным свойством.

3.Из названных при ответе на первый вопрос свойств выделите те, для которых имеет смысл сравнение двух предметов (объектов) по вопросу: у какого из этих предметов данного свойства больше? Меньше? Поровну ли этого свойства у них?

4.Перечислите все величины, изучаемые (которые можно изучать) в начальном курсе математики.

5.Свойство каких объектов отражает каждая из названных вами в ответе на первый вопрос величина? В чем и как проявляется это свойство?

6.Какая мыслительная операция лежит в основе выделения свойств объ-

ектов?

7.Чем отличается качественное сравнение от количественного?

8.Возможно ли, чтобы один и тот же объект был одновременно больше,

меньше и равен другому?

9.Какие способы количественного сравнения объектов (предметов) по каждому из свойств, отраженных в соответствующих величинах, вы знаете? Как можно сравнить предметы по длине? Площади? Объему? Массе? Времени? Как можно сравнивать изменения, движения по скорости?

10.Что такое измерение?

11.Из каких операций состоит процедура измерения?

12.Назовите свойства отношений «больше», «меньше», «равно».

13.Что может быть единицей длины? Единицей массы? Единицей площади? Единицей объема? Единицей температуры? и т. п.

20