Расчет ферм с шарнирными узлами. Учебно-методическое пособие

разновидность способа сквозных сечений – способ моментной точки и составляют уравнение

∑МК = 0.

Точку К называют моментной точкой (точкой Риттера). Если же линии действия усилий в двух других стержнях, попавших в сечение, параллельны, то моментная точка уходит в бесконечность, и поэтому составляют уравнение

∑Fkv = 0,

где v – ось, перпендикулярная осям параллельных стержней. Такую разновидность способа сквозных сечений называют способом проекций.

Способ сквозных сечений очень удобен для определения усилий в ферме вручную. К его достоинствам относят следующие:

–нет необходимости составлять и решать систему линейных алгебраических уравнений высокого порядка, так как каждое искомое усилие определяется из одного уравнения;

–в отличие от способа последовательного вырезания узлов при записи уравнений равновесия отсеченной части не используют усилия, найденные на предыдущих этапах расчета (кроме опорных реакций);

–нет накопления погрешности вычислений.

Мысленно проведем сечение I – I (рис. 3.1).

Рассмотрим левую часть фермы: прямоугольник 1-2-4-3 (рис. 1.6).

Чтобы найти усилие N3-5 выберем моментную точку 4, в которой пересекаются линии действия сил N4-5, N4-6, (способ моментной точки) и составим для левой отсеченной части уравнение

∑М4 = 0, N3-5∙h – R1∙d = 0.

11

Рис. 1.6. Левая отсеченная часть согласно сечению I – I.

Получим

N3-5 = R1∙d / h, N3-5 = 26,7∙3 / 4 = 20,0 кН.

Усилие N4-6 определим, выбрав моментную точку 5, в которой пересекаются линии действия сил N3-5, N4-5, (обратим внимание, что точка 5 находится за пределами отсеченной части) и составив для левой отсеченной части уравнение

∑М5 = 0, F2∙h – R1∙2d – N4-6∙h = 0.

Получим

N4-6 = (F2∙h – R1∙2d) / h, N4-6 = (20∙4 – 26,7∙6) / 4 = – 20,05 кН.

Определяя усилие N4-5, заметим, что стержни 4-6 и 3-5 параллельны, следовательно, моментная точка оказалась на бесконечно большом расстоянии от рассеченной панели. Поэтому применим способ проекций и составим для левой отсеченной части следующее уравнение:

∑Fky = 0, R1 – N4-5∙sin α = 0.

Из последнего уравнения получим:

N4-5 = R1 / sin α, N4-5 = 26,7 / 0,8 = 33,38 кН.

Проверка:

∑Fkx = 0, N4-6 – F2 + N4-5∙cos α + N3-5 = 0,

– 20,05 – 20 + 33,38∙0,6 + 20,0 =40,03 – 40,05 ≠ 0.

12

Относительная погрешность составила

= ((40,03 – 40,05) / ((40,03+40,05) / 2))∙100% = – 0,05%.

Она по абсолютной величине оказалась меньше 3% и соответствует инженерной точности.

Проведем сечение II – II (рис. 1.1).

Рассмотрим левую часть фермы: трапецию 1-2-4-5 (рис. 1.7).

Составим для нее три уравнения равновесия: ∑М6 = 0, N5-7∙h – R1∙2d = 0;

∑М5 = 0, F2∙h – R1∙2d – N4-6∙h = 0;

∑Fky = 0, R1 + N5-6 – F1 = 0.

Рис. 1.7. Левая отсеченная часть согласно сечению II – II.

Получили вторую (дополнительную) форму условий равновесия, при этом ось y неперпендикулярна прямой 5-6, проходящей через моментные точки 5 и 6.

При определении N5-7 и N4-6 моментными являются точки 6 и 5 соответственно. Для нахождения усилия N5-6 использован способ проекций.

Из составленных уравнений находим усилия в стержнях: N5-7 = R1∙2d / h, N5-7 = 26,7∙6 / 4 = 40,05 кН;

13

N4-6 = (F2∙h – R1∙2d) / h, N4-6 = (20∙4 – 26,7∙6) / 4 = – 20,05 кН; N5-6 = F1 – R1, N5-6 = 50 – 26,7 = 23,3 кН.

Проверка:

∑Fku = 0,

R1∙sin 45º – F2∙cos 45º + N4-6∙cos 45º + N5-6∙sin 45º+

+ N5-7∙cos 45º – F1∙sin 45º = 0, 0,707∙(26,7 – 20 + (– 20,05) + 23,3 + 40,05 – 50) =

= 63,67 – 63,67 = 0.

Проверка выполнена.

Проведем сечение III – III (рис. 1.1).

Рассмотрим правую часть фермы: трапецию 11-12-14-13 (рис. 1.8).

Составим для нее три уравнения равновесия: ∑М10 = 0, – N11-9∙h – F3∙2d = 0;

∑М11 = 0, N12-10∙cosγ∙0,75 h – F3∙d = 0;

∑МО = 0, N11-10∙r – F3∙2d = 0.

Рис. 1.8. Правая отсеченная часть согласно сечению III – III.

14

Получили третью (дополнительную) форму условия равновесия, при этом моментные точки 10, 11 и О не должны лежать на одной прямой. Это условие выполнено.

Заметим, что при определении N11-9, N12-10 и N11-10 моментными являются точки 10, 11 и О соответственно. Усилие N12-10 разложено на вертикальную и горизонтальную составляющие, причем момент вертикальной составляющей относительно точки 11 равен нулю.

Решая уравнения, получим:

N11-9 = – F3∙2d / h, N11-9 = – 10∙6 / 4 = – 15 кН; N12-10 = F3∙d / (0,75 h∙cosγ),

N12-10 = 10∙3 / (0,75 4∙0,949) = 10,54 кН; N11-10 = F3∙2d / r, N11-10 = 10∙6 / 7,2 = 8,333 кН.

Проверка:

∑Fkx = 0 – N12-10∙cosγ – N11-10∙cosα – N11-9 = 0,

– 10,54∙0,949 – 8,333∙0,6 – (– 15) = 15 – 15,00 = 0.

Проверка выполнена.

Заметим, что найденные значения усилий в ферме (получены в кН) совпадают с точностью до трех значащих цифр с величинами, показанными на рис. 2.48 (приведены в Н), что говорит

одостоверности решения задачи.

1.7.Вопросы для самоконтроля.

1.Что понимают под расчетной схемой фермы?

2.Дайте определение фермы с шарнирными узлами.

3.Какие виды элементов можно выделить в плоской ферме?

4.Как записать условия геометрической неизменяемости и статической определимости плоской фермы с шарнирными узлами?

15

5. Как определить реакции внешних связей в плоской фер-

ме?

6.Какие существуют способы определения усилий в стержнях ферм с шарнирными узлами?

7.В чем суть способа вырезания узлов, какие он имеет достоинства и недостатки?

8.В чем суть способа сквозных сечений, его достоинства и недостатки?

9.Какие разновидности имеет способ сквозных сечений?

16

2. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О РАСЧЕТЕ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

2.1. Основные требования к оборудованию.

Пре- и постпроцессор Femap предназначен для проведения инженерного анализа с примененимем метода конечнх элементов (МКЭ). По своей сути Femap является связующим звеном между пользователем и решателем (таких как рассмотренный в настоящем пособии Nastran), осуществляющим вычисления в инженерных задачах.

Программный комплекс Femap может быть установлен под управлением многих операционных систем. В настоящем убеч- но-методическом пособии расммотрена работа в мерсией для оперционных систем семейства Windows. Рекомендуемые объемы: оперативной памяти не менее 1 Гб; дискового пространства: для установки комплекса 2,5 Гб. Видеоадаптер с объемом памяти не менее 256 Мб.

2.2. Описание интерфейса пользователя.

Работа с Femap осуществляется в так называемом интерактивном режиме, то есть в графическом режиме диалога «человек

– компьютер». После запуска программного комплекса открывается окно Open model file (Открыть файл модели) (рис. 2.1).

Если модель создана ранее, то стандартными средствами Windows (цифра 1 на рис. 2.1) следует найти сначала необходимый каталог, а затем имя файла с данными (расширение *.mod) для этой модели (цифра 2 на рис. 2.1) и левой кнопкой мыши щелкнуть по соответствующему значку. Выбранное имя файла появится в поле File name (Имя файла) (цифра 3 на рис. 2.1).

17

После этого следует нажать клавишу Open (Открыть) (цифра 4 на рис. 2.1). Модель будет нарисована на экране.

Если же создается новая модель, то необходимо нажать клавишу New model (Новая модель) (цифра 5 на рис. 2.1).

Рис. 2.1. Окно открытия модели.

В результате описанных выше действий откроется окно Femap, изображенное на рис. 2.2. В правом верхнем его углу имеются стандартные кнопки управления окном (цифра 1). Оно включает несколько функциональных зон.

1. Первая зона содержит главное меню (цифра 2), каждая позиция которого включает целый ряд подменю разного уровня, и мнемонические меню (пиктограммы): горизонтальное (цифра 3) и вертикальное (цифра 4). Кроме того, набор мнемонических меню содержит специальное окно Toolbox (Инструментарий) (цифра 5). Оно появляется не сразу, а только после вызова из главного меню: Tools Toolbox, и закрывается нажатием стандартной кнопки, расположенной в его правом верхнем углу. Мнемонические меню являются вспомогательными, служат для ускорения доступа к рабочим операциям и дублируют наиболее

18

часто используемые компоненты главного меню, поэтому подробно описывать их здесь не будем. Краткие сведения о мнемонических меню приведены в приложениях.

Рис. 2.2. Общий вид экрана.

2. Вторая зона - окно графического редактора (цифра 6 на рис. 2.2) также имеет стандартные кнопки управления окном (цифра 7). В его центре расположены изображения рабочего плана и масштабных линеек (цифры 8). Эти изображения могут быть удалены с экрана путем выполнения следующих операций:

Tools Workplane, в открывшемся окне Workplane Management (Управление рабочим планом), показанном на рис. 2.3, в поле Draw Workplane (Рисовать рабочий план) удалите флажок (цифра 1 на рис. 1.3) и нажмите клавишу Done (Сделать), отмеченную цифрой 2 на рис. 2.3, после этого два раза щелкните мышью в поле окна графического редактора. Рабочий план и

19

масштабные линейки исчезнут с экрана. Двойной щелчок мышью в поле окна графического редактора эквивалентен выполнению команды View Redraw.

Рис. 2.3. Окно управления рабочим планом.

3. Третья зона - это окно текстовых сообщений (цифра 9 на рис. 2.2). В него выдаются письменные сообщения программы Femap о проделанных операциях. Для удобства чтения сообщений окно имеет линейку прокрутки (цифра 10 на рис. 2.2).

Коротко рассмотрим функциональное назначение различных позиций главного меню Femap.

При помощи меню File (Файл) осуществляется создание новых файлов (New), открытие существующих (Open), сохранение файлов на жестком диске (Save, Save As); обмен с другими конечноэлементными комплексами и системами автоматизированного проектирования (Import, Export). Здесь же происходит настройка печатающего устройства и формата печати (Printer Setup); выдача изображений и сообщений на печать и в файл (Print, Picture, Messages), считывание изображений из файлов; подготовка задания и специальных файлов для расчета, передача управления из препроцессора программе – решателю (Analyze), считывание результатов расчета в постпроцессор; выход из программы (Exit).

20