Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Расчет статически неопределимой стержневой системы на изгиб и устойчивость. Методические указания к самостоятельной работе студентов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

788 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

				Таблица 2
Гибкость	Коэффициент снижения допускаемых напряжений φ
λ	Ст.2, Ст.3	Сталь 45	Чугун	Дерево
0	1,00	1,00	1,00	1,00
10	0,99	0,97	0,97	0,99
20	0,96	0,95	0,91	0,97
30	0,94	0,91	0,81	0,93
40	0,92	0,87	0,69	0,87
50	0,89	0,83	0,57	0,80
60	0,86	0,79	0,44	0,71
70	0,81	0,72	0,34	0,60
80	0,75	0,65	0,26	0,48
90	0,69	0,55	0,20	0,38
100	0,60	0,43	0,16	0,31
110	0,52	0,35	-	0,25
120	0,45	0,30	-	0,22
130	0,40	0,26	-	0,18
140	0,36	0,23	-	0,16
150	0,32	0,21	-	0,14
160	0,29	0,19	-	0,12
170	0,26	0,17	-	0,11
180	0,23	0,15	-	0,10
190	0,21	0,14	-	0,09
200	0,19	0,13	-	0,08

Подставляя (3.2) в неравенство (3.1), условие устойчивости
представляется в виде:
	F	[ ],	(3.3)


	A

где F – сжимающая сила, A – площадь поперечного сечения стойки, При расчетах стержней на устойчивость могут возникнуть две задачи. Если заданы размеры стержня и требуется определить максимально допускаемую сжимающую силу, то из формулы (3.3)

следует: Fmax A [ ].

Если же требуется определить размеры поперечного сечения стержня, то задача усложняется. Коэффициент , входящий в правую

часть неравенства (3.3), зависит от гибкости, которая в свою очередь зависит и от размеров поперечного сечения стержня. Поэтому в этом случае для решения задачи используется метод последовательных приближений. В первом приближении задается величина коэффициента 1 (рекомендуется принимать 1 0.5 ). Из условия устойчивости (3.3) определяется площадь

A	F	,	(3.4)

	1[ ]

затем вычисляются минимальный момент инерции поперечного сечения стержня Imin , радиус инерции imin и гибкость стержня

	lc	. Здесь – коэффициент приведенной длины,	lc	– длина

	imin
стержня. По полученному значению из таблицы			2	находят
соответствующее значение 1 .

Если разница между 1 и 1 больше 5%, то следует повторить вычисление, задавшись новым значением

2 1 1 .

Расчеты по указанной схеме повторяются до тех пор, пока различие между заданным значением и полученным из таблицы не

будет превышать пяти процентов. Например, для к-го приближения должно выполниться неравенство

	q				\| k	k \|	100% 5%.
	q						100% 5%.
А			В			k
А	3l	l	В


		lc
			С	Пример 1. Определить размеры
			С	поперечных сечений балки и стойки,
				поперечных сечений балки и стойки,
	Рис. 4			соединенных между собой шарниром
	Рис. 4			(рис.4), для		следующих исходных

данных: lс 1,2м; l 1м; q 30кН/м; c 0,9; E 2 105 МПа , [ ] 160МПа . При расчете балки полагать, что площадь поперечного

сечения стойки A		20Ix		.

c		lc	2
Как следует	из задания к расчетно-проектировочной работе,

поперечные размеры балки следует находить из условия прочности, а размеры стойки – из условия устойчивости.

Решение. Данная стержневая система является один раз статически неопределимой, т.к. на систему наложены три связи в заделке A и одна связь в точке С . Разбиваем балочно-стержневую систему в точке B на две части (рис. 5). Действие частей друг на друга заменяем неизвестной силой X . Приведенная на рисунке 5,а система является эквивалентной системой.

1. Определение силы Х. Каноническое уравнение метода сил получается из условия, что прогиб балки 1 в точке B равен величине уменьшения длины стойки lc : 1 lc . Учитывая, что 1 11X 1F , получим

	11X 1F lc ,	(4.1)
где 11	– прогиб балки в точке B от действия единичной силы	X~ 1,
1F –	прогиб в точке B от действия внешних нагрузок,	lc –

величина сжатия стойки. Указанные величины определяются с помощью интегралов Мора (1.3):

	11		Mx1 Mx1	ds ,	1F	MxFMx1	ds.	(4.2)


			EIx			EIx		X~ 1
Здесь Mx1	– изгибающий момент от действия единичной силы
(рис. 6,б),	MxF	– изгибающий момент от действия внешних нагрузок

(рис. 6,а). Выражения для этих моментов записываются по участкам.

Участок BD, 0 z 1м , M

X~z

z .

Mx1 Mx1

11BD

z12dz1

EIx

EJx 0

3EJx

D M

1BDF

ds 0 .

EIx

Участок DA, 0 z2 3м, MxF q z22 , Mx1 X~(l z2) (l z2) .

а)

б)

Рис. 5

3l z2

б)

в)

г)

Qy, кН

69,5

д)

Mx,

27,5 20,5

X~ 1

B z

20,5

Рис. 6

1 (4l)3

63l3

l z2 dz2

EJx

3EJx

EJx

1DAF

) (l z2) dz2

z22dz2

z23dz2

EIx 0

EIx

(3l)3

(3l)4

117ql

8EIx

EIx

2 4

Следовательно,

64l3

117ql4

(4.3)

1F 1F

3EJx

8EJx

В поперечных

сечениях стойки возникает

продольная сила

N X (рис. 5,б), следовательно

X lc

(4.4)

E A

где Ac – площадь поперечного сечения стойки.

Подставляя формулы (4.3), (4.4) в (4.1), получим

64l

117ql4

(4.5)

3EI

8EI

Для расчета балки на прочность и стойки на устойчивость используется следующая схема:

1. Учитывая, что Ac 20Ix , из канонического уравнения (4.5) lc2

находится величина неизвестной силы X .

2.Проводится расчет балки на прочность, определяется номер двутавра и соответствующий этому номеру момент инерции Iх.

3.С использованием найденного значения X проводится расчет стойки на устойчивость и вычисляется минимально допустимая

площадь поперечного сечения стойки Amin .
	20Ix		c
4. По формуле A			определяется площадь поперечного

c	lc	2

сечения стойки и проверяется выполнение условия Ac Acmin . Если это условие выполняется, то определяются размеры поперечного

сечения стойки. Если же Ac Acmin , то делается заключение о необходимости увеличения размеров поперечного сечения стойки.

Выполним расчеты по описанной схеме для рассматриваемого примера.

1. Определение

силы Х.

Подставляя

выражение A

20Ix

уравнение (4.5), получим:

64l3

lc3

117ql4

3EIx

EIx

8EIx

Следовательно,

117ql4

20,5(кH м) м4

20,5кН .

м3

(64l3 3lc3)

2. Расчет балки на прочность. Для эквивалентной системы (рис.

6,в) определяются поперечная сила и изгибающий момент.

Участок BD, 0 z1 1м

Qy X 20,5кН,

Mx Xz1 .

z1 0,

Mx 0;

z1 1м,

Mх

20,5кНм .

Участок DA, 0 z2

3м

Qy X qz2 ,

Mx X l z2 q

z22

z2 0,

Qy 20,5кН,

Mх 20,5кНм ;

z1 3м,

Qy 69,5кН,

Mх 53кНм .

Так как, на этом участке поперечная сила Qy в начале и в конце участка имеет разные знаки, определяется координата z2* , для которой

на этом участке изгибающий момент		Mx	принимает экстремальное
значение. Из	условия Qy X qz2	0	находим z2	X	0,68м.

				q
Следовательно Mx(0,68) 27,5кН.
Эпюры Qy	и Mx представлены на рис. 6,г и 6,д.

В опасном сечении (в заделке) Mx Mmax 53кНм. Из условия прочности при изгибе (2.1) определяем момент сопротивления поперечного сечения балки

W		Mmax	53кНм	53 103Нм	3,31 10 4 м3 331см3 .
		[ ]		160 106 Н м2
x			160МПа
Из	таблицы		сортамента выбирается		двутавр №25, у которого

Wx 317см3 ,Ix 3800см4 .

3. Расчет стойки на устойчивость. Стойка ВС (рис. 5,б) находится в состоянии сжатия и может потерять устойчивость. Для определения ее поперечных размеров проведем расчет на устойчивость методом последовательных приближений.

В первом приближении принимаем 1 0,5. Из условия устойчивости (3.4) определяется площадь поперечного сечения стойки

A	X		20,5 103 Н	2,56 10 4 м2 2,56см2 .
			0,5 160 106 Па
c	1 [ ]
Учитывая,		что	площадь кольцевого сечения вычисляется по

формуле Ac D2 /4 d2 /4 D2 1 c2 /4, находим внешний радиус кольца

4 2,56см2

4,15см .

(1 c2)

3,14(1 0,92)

Гибкость

стойки

подсчитывается по

формуле

где

imin

– минимальный

момент

инерции

сечения.

Для

Imin / Ac

шарнирно закрепленной по концам стойки (рис. 5,б)

1. Момент

инерции

кольцевого

сечения

определяется

по формуле

Imin

(1 c4)

. Следовательно,

D 1 c2

4,15 1 0,92

см

imin

1,4см .

Гибкость стойки

1 120см

86.

imin

1,4см

Из таблицы 2 для материала Сталь 3 по найденной величине

определяем		новое	значение коэффициента							1 .	Для гибкости
80	коэффициент			0,75,			для гибкости			90	коэффициент
0,69.		Обозначим			1	80,		2	90 ,	Т 0,75,		Т 0,69,
										1		2
2	1 10.		Предполагая,				что		между этими			значениями

коэффициент меняется по линейному закону, для вычисленного

значения гибкости стойки									* 86						определяем ( *).						Для этого
используем формулу линейного интерполирования																			1
используем формулу линейного интерполирования
								1( *) 1Т				2Т 1Т				* 1 .
								1( *) 1Т								* 1 .
Следовательно,
Следовательно,										0,69 0,75
										0,69 0,75
							1	(86) 0,75						(86 80) 0,714.
							1	(86) 0,75			10			(86 80) 0,714.
											10								1
	Различие между значением 1 и														полученным				1	из таблицы
		\| 1 1 \|					100% 30%.
							100% 30%.
				1
	Так как 5% проводим расчет во втором приближении.
	Для						коэффициента							задаем				новое			значение:
			2		1	1		0,607. Повторяя расчеты, определяем												A 2,11см2
								0,607. Повторяя расчеты, определяем												A 2,11см2
						2														c
						2										2 0,645.
,	D 3,76см ,							imin 1,26см,			95,					2 0,645.			Вычисляя			,
получаем 6,3% 5% .
	В третьем приближении										3	0,626,					A 2,05см2 ,				D 3,7см ,
								97 , 3			3						c
imin 1,24см ,								97 , 3	0,627,				0,16% 5%. Следовательно,
итерационный								процесс	по				можно				закончить			и	полагать
3				0,627, диаметр стойки								D 3,7см , минимально допустимая

площадь поперечного сечения стойки Acmin D2 1 c2 /4 2,05см2 . Таким образом, для того чтобы стойка не потеряла устойчивость, площадь поперечного сечения стойки должна удовлетворять условию

Ac 2,05см2 .

4. Определение размеров поперечного сечения стойки. По

условию задачи площадь поперечного сечения стойки Ac определяется по формуле

20Ix

20 3800

5,28см2 .

lc2

1202

Следовательно,

A Amin ,

условие

устойчивости стойки

выполняется.

Внешний диаметр поперечного сечения стойки в виде кольца

4Ac

4 5,28

5,95см .

(1 c2)

3,14(1 0,92)

Таким образом, для балки выбирается двутавр №27, а внешний диаметр стойки D 5,95cм .


Пример		2.	Определить				q	M
размеры	поперечных			сечений	А	С	D	В
балки и стойки для стержневой						l	l	l
системы, показанной на рис. 7,
для	l 1м ;			lс 1,2м;			K
q 30кН/м;				c 0,9;			K
q 30кН/м;				c 0,9;

M 20кН м;	E 2 105 МПа ;				Рис. 7
[ ] 160МПа .		Площадь

поперечного	сечения	стойки	A	20Ix	. Размеры поперечного

			c	lc

сечения балки в виде стандартного двутавра определить из условия прочности, размеры стойки – из условия устойчивости.

Решение. Данная система является один раз статически неопределимой, т. к. на нее наложено пять внешних связей и имеется шарнир в точке D, который устраняет одну связь. Получается, что на систему наложены четыре связи. Три связи являются необходимыми , одна –

		q		M
А	С	q	D	В
А	С	l	D	В	z
	l	l	Х	l
	y		Х
	y		D
			D

б)

в)

г)

д)

Рис. 8

у	F	q		RBF
RA		С	D	M
А		С	D	В
А				В
	z1 l	z2 l	l	z3
R1A		С	X~ 1	RB1
А		С	D	В
А				В
	z1	z2		z3
RAF		С	X1	RBFM
А		С	D	В
А				В
			23,27
				18,47

Qу,кН

6,73

1,5

Mх,

6,73 7,48

Рис. 9

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]