Расчет показателей надежности отдельных систем и автомобиля в целом определение параметров долговечности. Учебно-методическое пособие для практических

направлению оцениваются трудоемкость, продолжительность и стоимость операций. Задача решается двумя путями: имитацией и наблюдениями при испытаниях и эксплуатации.

Испытания на сохраняемость проводятся с целью определения показателей сохраняемости. В зависимости от целей и характера получаемой информации испытания на надежность делятся на определительные и контрольные. 10.2. Определительные испытания на надежность Цель определительных испытаний на надежность определение количественных численных значений показателей надежности. По методам и стратегии проведения и способам обработки результатов нормировано 16 планов испытаний, которые определены в ГОСТ 27.410-87. Обозначение плана испытаний состоит их трех символов, заключенных в скобках. Например

[NUT], [NUT], (NMr) и т.д. Первый символ обозначения плана определяет объем выборки изделий для испытаний. Второй символ указывает на возможность восстановления или замены отказавших изделий в процессе испытаний. Третий символ указывает на принцип окончания испытаний.

Например: [N = 120, M, r =16] обозначает испытания 120 изделий с восстановлением после отказов до тех пор, пока число отказов достигнет 16.

Квадратные скобки означают одновременное, круглые скобки

неодновременное поступление изделий после отказов. Распространенными планами определительных испытаний являются: План 1. На испытание ставятся N изделий. Отказавшие изделия не восстанавливаются. Испытания продолжаются до отказа всех изделий. В качестве статистического среднего значения времени работы до отказа:

где - время работы каждого изделия до отказа. Недостаток рассмотренного плана испытаний – значительная длительность времени испытаний и необходимость поставить на испытание большое количество изделий. План 2. На испытание ставятся N изделий. Отказавшие изделия не

восстанавливаются. Испытания продолжаются либо до заданного времени t,

либо до получения заданного числа отказов n. План 3. На испытание ставятся N изделий. Отказавшие изделия восстанавливаются. Испытания продолжаются либо до заданного времени t, либо до получения заданного числа отказов n. К таким испытаниям предъявляется требование стабильности показателей надежности до первого и последующего отказов.

Использование среднего значения показателя надежности позволяют решать инженерные задачи – сравнивать оценки надежности, осуществлять расчеты надежности сложных изделий и т.п. Но средние значения содержат мало информации о случайной величине. Это вынуждает искать более информативные способы обработки результатов испытаний. Подробную информацию о надежности получают по доверительному интервалу возможных значений показателя надежности, которым накрывается определяемый показатель с заданной вероятностью. Доверительный интервал Z ZН Z0 ZВ, ZВ – нижняя и верхняя границы двухстороннего доверительного интервала; Z0 – искомая характеристика надежности.

Интервал, заключенный между верхней и нижней границами, называется доверительным. Доверительный интервал с заданной доверительной вероятностью γ накрывает истинное значение искомого показателя.

Доверительный интервал характеризует значение ошибки при оценке показателя надежности, доверительная вероятность – достоверность оценки.

Кроме двустороннего доверительного интервала могут применяться односторонние доверительные интервалы. Рассмотрим применение доверительного интервала для оценки средней наработки на отказ, если случайная величина распределена по закону χ2 – распределения. f(χ2) РН γ РВ α α 0 χ2Н χ2В χ2. Если известно, что случайная величина распределена по закону χ2 – распределения, то из площади, ограниченной f(χ2), «вырезается» площадь, соответствующая заданной доверительной вероятности γ, так,

чтобы остающиеся слева и справа части α были одинаковы. Левая и правая

границы «вырезанной» площади соответствует нижнему и верхнему и значениям доверительного интервала.

Границы доверительного интервала для средней наработки на отказ

значения χ2 ; 2 – удвоенное значение суммарной наработки исследуемого изделия. Значения χ2н и χ2В определяются по таблице χ2 – распределения.

Входными величинами в таблицу являются: - k – число степеней свободы

при n числе зафиксированных отказов; - PН и РВ – вероятности того, что χ2н

и χ2В будут больше значений χ2, указанных в таблице. Значения PН и РВ

при = 2 + 2; = 0,5.

Практическое занятие №9

Статистическая обработка результатов определительных испытаний на

надежность должна выполняться в следующей последовательности:

представление экспериментальных данных в виде вариационного ряда

времен безотказной работы или восстановления испытуемых изделий;

построение гистограммы одной из количественных характеристик

надежности;

проверка допустимости предполагаемого закона распределения с

использованием критерия согласия;

интервальная или точечная оценка параметров принятого закона

распределения.

статистических гипотез.

Применительно к задаче определения закона распределения времени до отказа по результатам определительных испытаний суть этих рекомендаций сводится к следующему. По данным полученного ряда времен безотказной

работы изделий построим гистограмму одной из количественных характеристик надежности - вероятности безотказной работы P(t) ,

экспериментальной. По ее виду выдвигаем гипотезу о справедливости того или иного закона распределения случайной величины. Наиболее распространенными в теории и практике надежности являются законы экспоненциальный, нормальный, Вейбулла, гамма распределения. Строим теоретическую функцию распределения выбранного показателя надежности,

соответствующего проверяемой гипотезе.

Для того чтобы принять или отвергнуть выдвинутую гипотезу,

рассмотрим некоторую величину U , характеризующую меру рассогласования экспериментальной и теоретической кривых. Оценку величины рассогласования определяют с помощью так называемых критериев согласия — 2 Пирсона, Фишера, А.Н. Колмогорова.

Рассмотрим один из наиболее часто применяемых критериев согласия -

2 Пирсона. Последовательность действий по оценке степени расхождения

между функциями теоретического и экспериментального распределений следующая:

1. Определяем меры расхождения U по формуле:

где k - число разрядов гистограммы, на которое разбивается весь диапазон значений времен безотказной работы или восстановления,

полученных в процессе испытаний;

mi* число значений времени, попавших i-й разряд [ti , ti 1 ] ;

Pi . - теоретическая вероятность попадания случайного значения времени в i –й разряд. Формула для вычислений Pi , выбирается в зависимости от вида проверяемого закона распределения t. При нормальном законе с параметрами M [t] ,

Для определения Ф * можно воспользоваться таблицами, приведенными в

справочниках.

2. Определяем число степеней свободы r как число разрядов k минус

проверяемая гипотеза отбрасывается как неправдоподобная. В противном случае ее можно принять как не противоречащую экспериментальным данным.

Заметим, что при применении критерия Пирсона достаточно большим должен быть, не только объем выборки, но и число попаданий случайной величины в отдельные разряды (не менее 5-10 значений).

Если указанное условие не выполняется, для оценки правдоподобности выдвинутой гипотезы используется критерий А.Н. Колмогорова. Последний

по сравнению с критерием 2 более прост, но менее достоверен. Приме-

нение критерия А.Н. Колмогорова сводится к следующим действиям:

1.Определяем максимум модуля рассогласования D между экспериментальной и теоретической функциями.

2.Вычисляем величину l D m , где m - объем выборки данных.

З. По специальной таблице определяем вероятность P(l) того, что за счет случайных причин величина D будет не менее, чем зафиксированная в испытаниях. Если P(l) весьма мала, гипотезу следует отвергнуть как неправдоподобную. При сравнительно больших значениях P(l) ее можно считать совместимой с экспериментальными данными,

Применительно к рассматриваемой задаче считаем, что проверяемая

гипотеза о законе распределения времени до отказа подтверждается, если D m 0,7 . При этом P(l) 0,711. Если гипотеза отвергнута, выдвигаем следующую и соответственно указанному порядку проверяем ее согласованность с данными, полученными в результате проведения испытаний. Эта процедура повторяется до установления вида закона распределения оцениваемой характеристики надежности. После этого приступаем к определению его параметров.

Следует помнить, что любое значение искомого параметра, вычисленное на основе ограниченного экспериментального материала, всегда содержит элемент случайности. Это приближенное, в некоторой степени случайное значение называется оценкой параметра. С задачей оценивания параметров закона распределения случайного времени приходится сталкиваться при

статистической обработке результатов определительных испытаний,

особенно при ограниченном объеме выборочных данных.

Различают "точечные" и интервальные оценки. При достаточном по объему статистическом материале (порядка нескольких сотен значений)

оценкой для математического ожидания параметра, например наработки на

времени безотказной работы. Подобная оценка называется ''точечной".

Если объем статистических данных невелик (порядка нескольких десятков значений), замена, математического ожидания средним арифметическим приводит к существенной ошибке в оценке параметров, тем

большей, чем меньше объем выборки. В подобных ситуациях следует воспользоваться интервальными оценками. При интервальных оценках определяется, какой интервал с заданной доверительной вероятностью накрывает математическое ожидание оцениваемого параметра, т.е.

где T0Н , T0В — соответственно нижняя и верхняя доверительные границы наработки на отказ;

— доверительная вероятность попадания в интервал при его

двусторонней оценке.

Вероятность того, что математическое ожидание оцениваемого параметра

Входными параметрами являются: