Расчет показателей надежности отдельных систем и автомобиля в целом определение параметров долговечности. Учебно-методическое пособие для практических

и зависит от двух параметров Tcp и σ, которые являются соответственно средним временем безотказной работы (математическим ожиданием) и

средним квадратическим отклонением времени безотказной работы элемента.

Согласно закону больших чисел, распределение всегда подчиняется нормальному закону, если на изменение случайной величины оказывают влияние многие примерно равнозначные факторы. Нормальному распределению подчиняются ошибки измерения деталей, дальность полета снарядов и т.п. При большом времени работы элемента и наличии восстановления среднее число отказов имеет асимптотически нормальное распределение.

Для нормального распределения функция надежности вычисляется по формуле:

(2.6)

(2.7)

где –функция нормального распределения, значения которой сведены в таблицы.

Часто в литературе встречается следующая формула функции надежности для нормального распределения:

(2.8)

где Ф0 – функция Лапласа. По своему логическому содержанию функция Лапласа близка к интегральной функции нормального распределения, их взаимосвязь:

(2.9)

Время безотказной работы, подчиняющееся нормальному закону

распределения, имеет следующие свойства:

üодинаковые положительные и отрицательные отклонения от средней арифметической Tcp равновозможны;

üменьшие отклонения более вероятны, чем большие;

üвесьма большие отклонения от Tcp маловероятны;

Закон распределения Вейбулла-Гнеденко используется при определении надежности изделий в период приработки и установления наработки на отказ неремонтируемых изделий.

Распределение Вейбулла-Гнеденко двухпараметрическое. Его параметрами являются Tcp и b – положительные постоянные.

Показатели надежности при законе Вейбулла-Гнеденко находятся по следующим формулам:

- вероятность безотказной работы

(2.10)

- частота отказов

(2.11)

- интенсивность отказов

(2.12)

- среднее время безотказной работы

(2.13)

где Г(x) – гамма-функция.

Следует отметить, что при b = 1 распределение Вейбулла-Гнеденко превращается в экспоненциальное, а при b = 2 – в распределение Релея,

при b = 3.3 распределение близко к нормальному. Оно хорошо описывает наработку деталей по усталостным нарушениям, наработку до отказа подшипников, а также используется для оценки надежности деталей и узлов машин, автомобилей.

Закон Релея может быть применен при исследовании надежности изделий, имеющих элементы с выраженным эффектом старения:

Если случайная величина распределена по закону Релея, то вероятность безотказной работы определяется из уравнения:

(2.14)

где σ – среднеквадратическое отклонение (параметр распределения).

Частота отказов (плотность распределения) будет иметь вид:

(2.15)

Интенсивность отказов находится так:

(2.16)

Средняя наработка на отказ (средний ресурс, средний срок службы,

среднее время восстановления работоспособного состояния) определяется следующим уравнением:

(2.17)

Следует также отметить, что существуют и другие законы распределения времени до отказа, однако применяются они достаточно редко и рассматриваться нами не будут.

Практическое занятие №3

Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты. Например, если имеется партия деталей, то качественным признаком может служить стандартность детали, а количественнымконтролируемый размер детали.

Иногда проводят сплошное исследование, т.е. обследуют каждый объект относительно нужного признака. На практике сплошное обследование применяется редко. Например, если совокупность содержит очень большое число объектов, то провести сплошное обследование физически невозможно. Если обследование объекта связано с его уничтожением или требует больших материальных затрат, то проводить сплошное обследование не имеет смысла. В таких случаях случайно отбирают из всей совокупности ограниченное число объектов (выборочную совокупность) и подвергают их изучению.

Основная задача математической статистики заключается в исследовании всей совокупности по выборочным данным в зависимости от поставленной цели, т.е. изучение вероятностных свойств совокупности: закона распределения, числовых характеристик и т.д. для принятия управленческих решений в условиях неопределенности.

Виды выборок Генеральная совокупность– это совокупность объектов, из которой

производится выборка.

Выборочная совокупность (выборка)– это совокупность случайно отобранных объектов.

Объем совокупности – это число объектов этой совокупности. Объем генеральной совокупности обозначается N, выборочной – n.

Пример:

Если из 1000 деталей отобрано для обследования 100 деталей, то объем генеральной совокупности N = 1000, а объем выборки n = 100.

При составлении выборки можно поступить двумя способами: после того, как объект отобран и над ним произведено наблюдение, он может быть возвращен либо не возвращен в генеральную совокупность. Т.о. выборки делятся на повторные и бесповторные.

Повторной называют выборку, при которой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность.

Бесповторной называют выборку, при которой отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.

На практике обычно пользуются бесповторным случайным отбором. Для того, чтобы по данным выборки можно было достаточно уверенно

судить об интересующем признаке генеральной совокупности, необходимо,

чтобы объекты выборки правильно его представляли. Выборка должна правильно представлять пропорции генеральной совокупности. Выборка должна быть репрезентативной (представительной).

В силу закона больших чисел можно утверждать, что выборка будет репрезентативной, если ее осуществлять случайно.

Если объем генеральной совокупности достаточно велик, а выборка составляет лишь незначительную часть этой совокупности, то различие между повторной и бесповторной выборками стирается; в предельном случае, когда рассматривается бесконечная генеральная совокупность, а

выборка имеет конечный объем, это различие исчезает.

Пример:

В американском журнале «Литературное обозрение» с помощью статистических методов было проведено исследование прогнозов относительно исхода предстоящих выборов президента США в 1936 году.

Претендентами на этот пост были Ф.Д. Рузвельт и А. М. Ландон. В качестве источника для генеральной совокупности исследуемых американцев были взяты справочники телефонных абонентов. Из них случайным образом были

выбраны 4 миллиона адресов., по которым редакция журнала разослала открытки с просьбой высказать свое отношение к кандидатам на пост президента. Обработав результаты опроса, журнал опубликовал социологический прогноз о том, что на предстоящих выборах с большим перевесом победит Ландон. И … ошибся: победу одержал Рузвельт.

Этот пример можно рассматривать, как пример нерепрезентативной выборки.

Дело в том, что в США в первой половине двадцатого века телефоны имела лишь зажиточная часть населения, которые поддерживали взгляды Ландона.

Практическое занятие №4

Способы отбора

На практике применяются различные способы отбора, которые можно

разделить на 2 вида:

1.Отбор не требует расчленения генеральной совокупности на части (а) простой случайный бесповторный; б) простой случайный повторный).

2.Отбор, при котором генеральная совокупность разбивается на части. (а) типичный отбор; б) механический отбор; в) серийный отбор).

Простым случайным называют такой отбор, при котором объекты извлекаются по одному из всей генеральной совокупности (случайно).

Типичным называют отбор, при котором объекты отбираются не из всей генеральной совокупности, а из каждой ее «типичной» части. Например, если деталь изготавливают на нескольких станках, то отбор производят не из всей совокупности деталей, произведенных всеми станками, а из продукции каждого станка в отдельности. Таким отбором пользуются тогда, когда обследуемый признак заметно колеблется в различных «типичных» частях генеральной совокупности.

Механическим называют отбор, при котором генеральную совокупность «механически» делят на столько групп, сколько объектов должно войти в выборку, а из каждой группы отбирают один объект. Например, если нужно отобрать 20 % изготовленных станком деталей, то отбирают каждую 5-ую деталь; если требуется отобрать 5 % деталейкаждую 20-ую и т.д. Иногда такой отбор может не обеспечивать репрезентативность выборки (если отбирают каждый 20-ый обтачиваемый валик, причем сразу же после отбора производится замена резца, то отобранными окажутся все валики, обточенные затупленными резцами).

Серийным называют отбор, при котором объекты отбирают из генеральной совокупности не по одному, а «сериями», которые подвергают сплошному обследованию. Например, если изделия изготавливаются

большой группой станков-автоматов, то подвергают сплошному обследованию продукцию только нескольких станков.

На практике часто применяют комбинированный отбор, при котором сочетаются указанные выше способы.

Статистическое распределение выборки Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем

значение x1–наблюдалось раз, x2-n2 раз,… xk - nk раз. n = n1+n2+...+nk–

объем выборки. Наблюдаемые значения называются вариантами, а

последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке-

вариационным рядом. Числа наблюдений называются частотами

(абсолютными частотами), а их отношения к объему выборки -

относительными частотами или статистическими вероятностями.

Если количество вариант велико или выборка производится из непрерывной генеральной совокупности, то вариационный ряд составляется не по отдельным точечным значениям, а по интервалам значений генеральной совокупности. Такой вариационный ряд называется интервальным. Длины интервалов при этом должны быть равны.

Статистическим распределением выборки называется перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.

Статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (суммы частот, попавших в этот интервал значений)

Точечный вариационный ряд частот может быть представлен таблицей:

Аналогично можно представить точечный вариационный ряд относительных частот.

Пример:

Число букв в некотором тексте Х оказалось равным 1000. Первой встретилась буква «я», второйбуква «и», третьейбуква «а», четвертой-

«ю». Затем шли буквы «о», «е», «у», «э», «ы».

Выпишем места, которые они занимают в алфавите, соответственно имеем: 33, 10, 1, 32, 16, 6, 21, 31, 29.

После упорядочения этих чисел по возрастанию получаем вариационный ряд: 1, 6, 10, 16, 21, 29, 31, 32, 33.

Частоты появления букв в тексте: «а» - 75, «е» -87, «и»- 75, «о»- 110,

«у»- 25, «ы»- 8, «э»- 3, «ю»- 7, «я»- 22.

Составим точечный вариационный ряд частот:

При построении интервального распределения существуют правила выбора числа интервалов или величины каждого интервала. Критерием здесь служит оптимальное соотношение: при увеличении числа интервалов улучшается репрезентативность, но увеличивается объем данных и время на их обработку. Разность xmax - xmin между наибольшим и наименьшим значениями вариант называют размахом выборки.

Для подсчета числа интервалов k обычно применяют эмпирическую формулу Стреджесса (подразумевая округление до ближайшего удобного целого): k = 1 + 3.322 lg n.

Практическое занятие №5

Расчеты на усталостную прочность

Параметры цикла напряжений

σ

σV

σmах

R = σmin / σmax – показатель цикла

Рассчитывая на прочность детали машин при переменных напряжениях,

котором испытывается образец, и числом циклов нагружения N до разрушения образца.

Для стальных образцов эта кривая состоит из наклонного криволинейного и горизонтального линейного участков (рис.).

Число циклов нагружения, соответствующее началу горизонтального участка, называют базовым числом циклов и обозначают NВ. Обычно NВ ≈107.