Проектирование электронной компонентной базы в ANSYS Workbench. Учебное пособие

объёмный. Рассмотрим подробнее процесс теплопроводности в твёрдых телах.

Теплопроводностью называется такой способ передачи энергии, при котором тепло распространяется вследствие прямого контакта между частицами веществ. В чистом виде теплопроводность наблюдается в твёрдых телах. Имеется она и в жидкостях, но в жидкостях преобладает другой процесс теплообмена – конвективный, который будет рассмотрен ниже.

Опытным путём было определено, что плотность теплового потока q прямо пропорциональна градиенту температуры, взятому с обратным знаком:

где k – коэффициент теплопроводности. Данное соотношение носит название закон Фурье, указывающий, что вектор плотности теплового потока всегда направлен из области с большей температурой в область с меньшей температурой. При этом по аналогии с магнитным потоком общий тепловой поток равен произведению плотности теплового потока q на площадь A, через которую он протекает:

где – угол между нормалью к площади A и вектором q.

При рассмотрении процесса теплопроводности нужно принять во внимание, что количество тепла в элементарном объёме тела dV может измениться двумя путями: 1) за счёт тепла, поступившего через поверхность элемента dV, и 2) за счёт тепла от внутренних источников, находящихся в элементарном объёме. В качестве таких источников может рассматриваться, например, химическая реакция или электрический ток.

Для простоты рассмотрения исключим внутренние источники тепла. Тогда закон сохранения энергии в дифференциальной форме примет вид уравнения теплопроводности

где C – удельная теплоёмкость; – плотность вещества; T – изменение температуры элементарного объёма в результате теплопроводности.

61

В такой форме записи уравнение справедливо для случая, когда коэффициент теплопроводности k зависит от координаты. Если k = const, уравнение упрощается и принимает вид

где Ck – коэффициент температуропроводности.

Уравнение (4.4) позволяет найти распределение температур в образце как в динамическом режиме, когда температура зависит от времени, так и в статическом (стационарном). Для статического случая уравнение (4.4) принимает форму уравнения Лапласа

Для нахождения распределения температуры в твёрдом теле необходимо сформировать краевую задачу, которая будет включать, помимо самого уравнения Лапласа, также и граничные, или краевые, условия. Эти условия для случая уравнения (4.5) могут быть трёх типов.

1. На всей поверхности тела задаётся распределение температуры, которое поддерживается постоянным. Этот тип граничных условий для уравнения Лапласа носит название условия Дирихле. Для простых форм твёрдых тел задача Дирихле допускает решение в аналитической форме. Это дает возможность проверять решения задач, полученные МКЭ, например, с целью выбора оптимальной сетки разбиения. Условия Дирихле имеют вид

случае она может представлять собой грань какого-либо геометрического объекта), а Ti – величина температуры, которая может быть раз-

личной для разных участков.

2. На всей поверхности тела или на отдельных его участках задаётся значение теплового потока Ф (или плотности теплового потока q). Этот тип граничных условий носит название условия Неймана. На практике краевая задача с граничными условиями Неймана также поддаётся решению в аналитической форме. Условия Неймана имеют вид

62

где n – вектор нормали к границе (в двумерном) или грани (в трёхмерном) случае; Г – граница области, на которой задаётся тепловой поток, а q0 – значение теплового потока для различных граней.

3. На всей поверхности тела или на отдельных его участках происходит теплообмен по закону Ньютона:

температура нагретого тела. Коэффициент теплообмена можно вычислить по формуле

где k – коэффициент теплопроводности, а δ – толщина приповерхностного слоя жидкости или газа, непосредственно контактирующего с нагретой поверхностью тела, в пределах которого перенос тепла осуществляется преимущественно за счёт теплопроводности. На практике выбор значения коэффициента теплообмена требует специального рассмотрения, так как он зависит от очень многих параметров жидкости или газа, омывающих нагретую поверхность тела, таких как скорость течения u, коэффициент теплопроводности k, коэффициент кинематической вязкости ν, коэффициент объёмного расширения β, теплоём-

кость Cp , а также от формы нагретого тела и его размеров. Поэтому

имеющиеся в наличии способы определения коэффициента теплообмена носят преимущественно экспериментальный характер.

Заметим, что уравнение (4.5) сходно по форме с уравнением, позволяющим проанализировать распределение электрических потенциа-

лов, 2 0 . Это означает, что для проведения теоретического анали-

за полей распределения температур в статическом случае можно воспользоваться так называемой электротепловой аналогией. Элек-

63

тротепловая аналогия позволяет рассматривать тепловые потоки аналогично электрическим токам. В рамках указанной аналогии разность

потенциалов заменяется разностью температур T, электрическое сопротивление R заменяется тепловым сопротивлением RT , электри-

ческий ток I заменяется тепловым потоком Ф, а все законы Ома и

Кирхгофа работают точно так же.

Электротепловая аналогия позволяет достаточно легко решать некоторые задачи о распределении температур в простейших структурах. Рассмотрим некоторые из них.

4.3.ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

4.3.1.Постановка задачи

Задача 1. Имеется кремниевый балочный элемент прямоугольного сечения с размерами: длина L = 80 мкм, ширина W = 40 мкм, толщина h = 15 мкм. Торцы балочного элемента находятся при следующих температурах: левый при 90 ºC, правый при комнатной температуре (22 ºC).

Коэффициент теплопроводности кремния k = 156 Вт/м К. Найти распределение температуры и теплового потока в следующих случаях:

1)на всех боковых гранях балочного элемента конвективный теплообмен отсутствует;

2)на всех боковых гранях задана естественная конвекция с коэф-

фициентом теплообмена (для естественной конвекции в воздухе он

находится в пределах от 10 до 100, примем = 25 Вт/м2 К).

В первом случае краевая задача теплопроводности имеет вид

d 2T 0,

dx2

T (0) T1, (4.10)

T (L) T2.

64

где C1 и C2 – константы интегрирования. Подставляя граничные условия при нуле, получим C2 T1 . Подставляя далее полученное значение в (4.11), получаем

Это линейная функция, в которой не учтены эффекты, связанные с охлаждением боковых граней балки путём конвекции и излучения. Однако уравнение (4.13) дает возможность оценить соответствие расчётов при помощи МКЭ и теоретических предсказаний.

Плотность теплового потока найдём из соотношения (4.1):

Формула (4.15) даёт возможность определить величину теплового потока без учёта охлаждения на боковых гранях балки.

Рассмотрим ту же балку, но теперь на её боковой поверхности будет существовать конвективный теплообмен, удовлетворяющий закону Ньютона:

где dP – мощность, отводимая с элемента dS боковой поверхности балки (Вт); T – температура (зависящая от координаты x); Tс – температу-

ра окружающей среды; – коэффициент теплообмена. Для балки с постоянным сечением условие (4.16) можно записать в виде

65

где T Tc есть перегрев балки; u – периметр бокового сечения. Краевая задача (4.5) с учётом (4.17) приобретает вид

что соответствует теплоизолированному дальнему концу балки. К грани x = 0 подводится тепловой поток Q:

Дифференциальное уравнение (4.21) является однородным уравнением второго порядка с действительными корнями, определяемыми из

характеристического уравнения 2 b2 0 , и по этой причине общее решение этого дифференциального уравнения имеет вид

66

где C1 и C2 – неопределенные коэффициенты интегрирования, опре-

деляемые из граничных условий (4.22) и (4.23).

Тогда итоговое распределение температуры по балке имеет вид

Из полученного итогового распределения перегрева можно определить распределение температуры по балке и сравнить полученный результат с результатом КЭ моделирования.

Задача 2. Для геометрии балки, указанной в задаче 1, на торцевую поверхность (x = 0) падает тепловой поток Q = 0.1 Вт, а на противоположном конце задана температура T = 0 ºC. На всех гранях балки так-

же задан коэффициент теплообмена = 25 Вт/м2 К. Рассчитать распределение температур таким образом, чтобы на одну из двух наибольших по площади граней балочного элемента падал тепловой поток 0.1 Вт, а стационарная температура была задана на одной из боковых граней.

Поскольку данная задача немногим отличается от уже рассмотренных задач, она предлагается для самостоятельного анализа и решения при помощи КЭ моделирования.

4.3.2.Методика применения ANSYS Design Modeler

Вглаве 2 мы ознакомились с методикой проектирования в ANSYS Mechanical APDL. Далее рассмотрим методику проектирования с при-

менением графического интерфейса ANSYS DesighModeler на примере решения тепловых задач. Для этого более подробно рассмотрим

левую информационную панель.

В развёрнутом виде она содержит:

1)различные системы анализа (Analysis Systems);

2)различные дополнительные (подключаемые) модули (Component Systems);

3)системы, настраиваемые пользователем (Custom Systems);

4)системы, задающие дизайн исследования (Design Exploration);

5)систему связи с внешними объектами (External Connection Sys-

tems).

Из упомянутых опций остановимся подробнее на различных системах анализа, среди которых можно выделить следующее.

67

Статический структурный анализ (Static Structural) – анализ,

позволяющий решать статические задачи, связанные с приложением механических нагрузок к объекту. В рамках статического структурного анализа можно производить расчёт полей прогибов, деформаций и механических напряжений, а также рассчитывать энергию деформации и другие физически важные параметры. В ANSYS Workbench статический структурный анализ может выполняться как на платформе

ANSYS Mechanical APDL (он обозначен, как Static Structural), так и на платформах ABAQUS или Samcef. Не вдаваясь в подробности, попутно заметим, что эти платформы отличаются друг от друга способом анализа построенной КЭ сетки.

Модальный анализ (Modal) – анализ, позволяющий производить расчёт резонансных мод различных объектов. Этот вид анализа очень полезен для решения различных динамических задач, например, задачи о колебаниях свободно висящей балки, жёстко закреплённой с одного конца, под воздействием переменной нагрузки. Такой вид задач встречается, например, при проектировании сенсоров ускорения (акселерометров), гироскопов, торсионных микрозеркал и других систем. Модальный анализ может быть реализован на платформах ANSYS Mechanical APDL (он обозначается, как Modal), а также на платформах

ABAQUS или Samcef.

Стационарный тепловой анализ (Steady-State Thermal) – анализ,

позволяющий производить расчёт полей температур, тепловых потоков и других тепловых величин в стационарном, т. е. не зависящем от времени, случае. Нагрузкой в стационарном тепловом анализе может являться постоянная температура, тепловой поток, падающий на всё тело или отдельные его поверхности (Heat Flow), плотность теплового потока (Heat Flux), излучение, а также объёмная тепловая нагрузка за счёт внутреннего тепловыделения (например, за счёт химической реакции). В качестве граничного условия на всей поверхности тела или на каких-то отдельных его гранях может быть задана температура, конвекция или излучение. Стационарный тепловой анализ можно проводить перед выполнением транзиентного теплового анализа (см. ниже) для получения распределения температур и тепловых потоков и использования этих данных в качестве начального условия. Аналогично его можно выполнять и после транзиентного теплового анализа, когда все динамическое тепловые процессы уже должны завершиться.

Транзиентный анализ (Transient) – анализ, позволяющий производить расчёты динамических, т. е. зависящих от времени, нагрузок.

68

Таким образом, он интересен прежде всего при анализе переходных процессов. К переходным процессам можно отнести широкую группу процессов, например, процесс установления или падения постоянного тока в электрической цепи при повороте выключателя, процесс нагрева консольной балки под влиянием падающего на её поверхность теплового потока постоянной величины и т. п. Транзиентный структурный анализ (Transient Structural), выполняемый на платформе ANSYS Mechanical APDL, позволяет рассчитывать прогибы, деформации и механические напряжения, возникающие в тех случаях, когда величина нагрузки, прикладываемой к объекту, зависит от времени. Например, при помощи транзиентного структурного анализа можно учесть эффекты инерции и затухания. Поэтому транзиентный анализ можно также назвать динамическим анализом. Транзиентный тепловой анализ (Transient Thermal) позволяет производить расчёт полей температур и других тепловых величин (например, полей растекания теплового потока), изменяющихся под влиянием зависящей от времени тепловой нагрузки. Простейшим случаем применения транзиентного теплового анализа при проектировании микроэлектроники и микросистемной техники является расчёт времени остывания кремниевой пластины после проведения её высокотемпературной обработки. Технология изготовления кремниевых чипов, в частности, подразумевает термическое окисление кремниевой пластины при температуре около 1200 ºC. При этом на поверхности пластины появляется слой термического окисла, поэтому в случае неоднородного остывания пластины из-за разности коэффициентов теплового расширения кремния и двуокиси кремния в пластине могут появиться термомеханические напряжения. В таком случае температуры, полученные в ходе выполнения транзиентного теплового анализа, могут использоваться в качестве начального условия для выполнения статического структурного анализа. Транзиентный тепловой анализ важен при расчёте режима работы различных электронных приборов, например, микропроцессоров, биполярных транзисторов с изолированным затвором (IGBT), применяемых в силовой электронике, различных ключей, сенсоров тока и т.п. Транзиентный анализ, как и модальный или структурный, может выполняться на платформах ANSYS Mechanical APDL, ABAQUS или Samcef.

Таким образом, ANSYS Workbench обладает богатым набором инструментов для решения большого числа задач. Опишем методику моделирования в ANSYS Workbench на примере выполнения стационарного теплового анализа.

69

После загрузки ANSYS Workbench перед разработчиком появляется окно Project Schematic, в котором можно начинать моделирование. Для начала моделирования необходимо выбрать желаемый тип анализа. В нашем случае это стационарный тепловой анализ (Steady-State Thermal). Необходимо выделить его курсором и нажать левую клавишу мыши (ЛКМ). Далее необходимо, не отпуская ЛКМ, перетащить выбранный вид анализа в окно Project Schematic и отпустить внутри рамочки, подсвеченной красным цветом. Появится панель меню, озаглавленная «Steady-State Thermal», состоящая из следующих нескольких подпунктов.

Engineering Data (инженерные данные) – пункт меню, позволяющий задавать технические (инженерные) данные для создаваемой модели. В рамках этого пункта меню можно задавать:

1)вид материала (или материалов), которые будут применяться в модели;

2)физические параметры этого материала (или этих материалов),

например, коэффициент теплопроводности, коэффициент теплообмена, плотность, модуль Юнга, коэффициент Пуассона и многие другие параметры, которые могут потребоваться при решении задачи.

Geometry (геометрия модели) – пункт меню, позволяющий задать систему координат, нарисовать требуемую модель иразбитьеё сеткойКЭ.

Model (граничные условия и нагрузки) – пункт меню, позволяющий задать для созданной геометрии модели:

1)материал (или материалы), уже определённый ранее в разделе Engineering Data. Разница состоит в том, что в рамках пункта Engineering Data разработчик определяет список используемых в модели материалов, а в пункте Model он присваивает созданным в пункте Geometry геометрическим объектам свойства одного или нескольких выбранных материалов;

2)граничные условия, например, фиксированная температура или условия конвекции;

3)нагрузки, например, тепловой поток, плотность теплового потока, излучение и т. п.

Setup (установка) – пункт меню, позволяющий нарисовать в целом всю созданную модель с указанием всех граничных условий и нагрузок. Этот пункт меню очень важен, поскольку позволяет увидеть модель в целом и определить, нужно ли ещё вносить в неё изменения.

Solution (решение) – пункт меню, запускающий решение поставленной задачи.

70