Проектирование электронной компонентной базы в ANSYS Workbench. Учебное пособие

Эти соотношения удобнее записать в матричном виде: [ ] [B][ ] ,

щая геометрические характеристики каждого конечного элемента. Переход от деформаций к механическим напряжениям осуществ-

ляется с помощью закона Гука, который в матричной форме записи имеет вид

где sij – матрица упругих постоянных (6 × 6), а j – матрица механи-

ческих напряжений (6 × 1).

В рассматриваемом случае будем предполагать, что:

1)материал упругого элемента является изотропным;

2)упругий элемент представляет собой тонкую пластину, нагруженную усилиями, приложенными к её границе параллельно плоскостям пластинки и равномерно распределёнными по её толщине (плоское напряжённое состояние).

Оба предположения сделаны для упрощения математических выражений и не влияют на идеологию МКЭ.

11

Из предположения (1.6) следует, что напряжённое состояние пластины описывается компонентами xx , yy , xy . С учётом (1.7) и (1.8)

закон Гука принимает форму:

При окончательной записи закона Гука плоского напряжённого состояния необходимо учесть, что три компоненты матрицы деформации

x , y , xy выражаются через две компоненты вектора перемещения

точки u и v . Это означает, что между компонентами деформации существует некоторая связь, которая следует из соотношений (1.6):

12

1.5.УРАВНЕНИЕ РАВНОВЕСИЯ

ВМКЭ основную роль играют смещения узлов сетки КЭ. Эти смещения возникают в результате сил, приложенных к узлам сетки со сторонами соседних КЭ, на которые, в свою очередь, воздействуют как внешние поверхностные силы, так и объёмные (например, сила тяжести), приложенные к каждому КЭ.

Введём матрицу сил, действующую на конечный элемент. Применительно к рассматриваемой структуре КЭ эта матрица будет иметь вид

Произведение Aвн [ ]T [F] имеет смысл работы внешних (по от-

ношению к КЭ) сил над конечным элементом. Символ [ ]T означает

транспонированную матрицу узловых перемещений (матрицу-строку). Внешние силы приводят к изменению потенциальной энергии деформированного КЭ, что приводит к возникновению сил внутренних, уравновешивающих внешние.

Работа внутренних сил может быть представлена в виде

рованная матрица деформаций.

Поскольку [ ] [B][ ] , то транспонированная матрица произведе-

13

В условиях равновесия работа внешних сил равна работе внутренних сил:

– матрица жёсткости конечного элемента.

Матрица жёсткостей не зависит от действующих на КЭ нагрузок и может быть вычислена для каждого КЭ отдельно.

По своей структуре уравнение (1.17) напоминает закон Гука, записанный для отдельного КЭ, где матрица сил [F] соответствует ме-

ханическому напряжению (сила на единицу площади), матрица смещения [ ] соответствует деформации, а матрица жёсткости [K] –

модулю Юнга.

Для деформированного тела, находящегося под действием внешних сил, необходимо выполнение двух условий:

1)условие неразрывности перемещений;

2)условие равновесия сил в узлах.

Представление упругого тела в виде последовательной сетки конечных элементов автоматически приводит к выполнению первого условия.

При формулировке условия равновесия в МКЭ исходят из принципа Лагранжа. Принцип Лагранжа оперирует с понятием полной потенциальной энергии, определяемой соотношением

где U – потенциальная энергия деформированного тела; Aвн – работа

внешних сил. Содержание вариационного принципа Лагранжа состоит в том, что из всех возможных состояний системы, подверженной действию внешних сил, имеющих потенциал, реализуется такое состояние, при котором полная потенциальная энергия принимает стационарное значение [2]

14

причём устойчивому состоянию системы соответствует минимум полной потенциальной энергии:

Это и есть система уравнений равновесия для одиночного КЭ.

1.6.ОСОБЕННОСТИ ОПИСАНИЯ УПРУГОГО ТЕЛА, КАК СИСТЕМЫ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

При решении задач методом конечных элементов любое упругое тело разбивается на счётное множество конечных элементов. При этом

ккаждому узлу сетки обычно примыкает несколько конечных элементов, каждый из них вносит вклад в матрицу жёсткости. Если к i-му узлу примыкает S конечных элементов, то матрица жёсткости i-го узла определяется через сумму элементов матриц жёсткости, примыкающих

кузлу:

Сумма в (1.25) берется по всем элементам, примыкающим к узлу i.

15

Для описания системы конечных элементов упругого тела вводится вектор перемещения всех узлов сетки [ C ] :

где i – вектор перемещений i-го узла, общий для прилегающих к

этому узлу конечных элементов.

Сходным образом вводится вектор [R] сосредоточенных усилий, действующих в узлах сетки:

r1

[R] , rn

где n – число неопорных узлов сетки; ri – внешние силы, действующие в узле i. Опорные узлы в МКЭ исключаются из матриц [ ] и [R] ,

поскольку предполагается, что для них перемещения равны нулю. Общая матрица жёсткости для всего упругого тела выразится в виде

k1

[K] . kn

Окончательно зависимость, связывающая усилия [R] и перемещения узлов [ C ] , будет иметь вид

Решение системы уравнений (1.26) возможно лишь с применением быстродействующих компьютеров и хорошо отработанных вычислительных алгоритмов. Знакомству с вычислительными процедурами и основам практического моделирования различных физических объектов посвящены остальные главы этой книги.

16

Глава 2

НАЧАЛО МОДЕЛИРОВАНИЯ В ANSYS

2.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Процесс реального конечно-элементного моделирования начинается с простейших операций. В данной главе читатель сможет:

1)ознакомиться с назначением панелей основного меню среды программирования ANSYS Workbench, структурой справочной системы ANSYS и научиться находить в ней нужную информацию;

2)ознакомиться с назначением панелей основного меню программы ANSYS Mechanical APDL, общим принципом моделирования в ANSYS Mechanical APDL и научиться применять команды основного меню;

3)ознакомиться с графическим интерактивным интерфейсом программы ANSYS Mechanical APDL и научиться создавать простейшие модели по принципу «шаг за шагом»;

4)ознакомиться с внутренним языком программирования ANSYS, понять смысл и формат его основных команд применительно к решению конкретной практической задачи.

2.2.ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

2.2.1. Общая характеристика ANSYS Workbench

ANSYS Workbench – это система автоматизированного проектирования (САПР), предназначенная для разработки моделей физических структур и устройств различного назначения. В качестве таковой она применяется для расчёта различных физических полей, например, поля температур, механических напряжений, скалярного электрического и векторного магнитного потенциалов.

17

За годы своего существования САПР ANSYS прошёл значительный путь эволюционного развития, обогатился множеством новых возможностей и существенно расширил класс решаемых задач. Преимуществом компьютерного моделирования в САПР ANSYS следует назвать, прежде всего, отсутствие необходимости в изготовлении реальных физических объектов, многие из которых (например, здания, сооружения) невозможно изготовить без существенных финансовых затрат.

ANSYS применяется в различных областях науки и техники, для решения задач различной степени сложности. С помощью ANSYS можно моделировать поведение конструкционных материалов, находящихся под воздействием интенсивной механической и термической нагрузки (например, фрагменты оболочки спускаемых аппаратов космических кораблей). Можно решать задачи аэрогазодинамики (например, производить расчёты режимов течения воздуха вокруг крыла самолёта) и гидрогазодинамики (производить расчёт профилей скорости течения нефти и газа по трубопроводам). В промышленном гражданском строительстве ANSYS применяется для расчётов устойчивости зданий и сооружений, а в машиностроении – для расчётов элементов и конструкционных узлов машин и механизмов (станков, автомобилей, спецтехники и т. п.).

Наличие в ANSYS возможности выполнения связанного анализа, в котором результаты, полученные в ходе расчёта одного физического поля, применяются в качестве начальных условий для расчёта другого физического поля, позволяет выполнять при помощи ANSYS и сложные комплексные расчёты. Например, таким способом можно рассчитывать электромагнитные поля, поля распределения электрических потенциалов под воздействием деформаций и т. п.

В микро- и наноэлектронике (МНЭ) и микросистемной технике (МСТ) ANSYS успешно применяется для расчётов сенсоров, актюаторов и преобразователей (трансдъюсеров), работающих на основе различных физических эффектов. В данной среде проектирования можно строить модели различных микросистем, таких как микронасосы, торсионные микрозеркала, гироскопы, акселерометры, спектрометры, газоанализаторы и многое другое.

2.2.2. Терминология ANSYS

Для успешной работы в среде ANSYS требуется в первую очередь освоить её терминологию и научиться её применять. Однако ANSYS позволяет решать самые разнообразные задачи. Поэтому наряду

18

с общими терминами, применимыми для ANSYS в целом, важно понимать физику работы того прибора, который требуется смоделировать. Соответственно нужно понимать перечень терминов, свойственных тому типу задач, который будет в дальнейшем решаться на

ANSYS.

Перечислим общие термины.

Анализ – способ или совокупность способов решения определенного класса задач. Например, структурный анализ позволяет рассматривать задачи, в ходе которых изменяется структура материала, из которого состоит моделируемый объект. В частности, структурный анализ позволяет определять поля прогибов, деформаций и механических напряжений, возникающих в каком-либо объекте под воздействием сосредоточенной или рассредоточенной нагрузки. Тепловой анализ соответственно позволяет рассчитывать поля температур и тепловых потоков, а магнитный – поля магнитных потенциалов, напряженностей магнитного поля, магнитной индукции и т. п.

Конечный элемент – геометрический примитив, например, параллелепипед или тетраэдр, наделённый определёнными физическими свойствами. Конечные элементы (в дальнейшем – КЭ) могут быть од- но-, двух- и трёхмерными и всегда состоят из некоторого числа точек (узлов).

Любая модель любого объекта в ANSYS всегда состоит из множества КЭ.

Узел – точка, наименьший задаваемый элемент в модели объекта. Узлы обладают координатами в некоей системе отсчёта, начало которой задаётся самим разработчиком. На узлы опираются линии, на линии опираются площади, на площади – объёмы. В ходе моделирования каждый узел, каждая линия, каждая площадь и каждый объём получают свой уникальный номер. Эти номера задаются разработчиком вручную или расставляются автоматически.

Любые решения, полученные в ANSYS, физически существуют только в узлах.

Это означает, что любые значения любых физических величин, полученные для точки, попадающей между узлами, есть лишь интерполяция результатов, полученных для соседних узлов.

Система координат – пространственная сетка, связанная с выбранным разработчиком началом отсчёта. Она может быть декартовой (Cartesian), полярной или сферической. Разрабочик по своему желанию может создать сколько угодно систем координат, важно лишь пра-

19

вильно их согласовать в ходе моделирования. Каждая из систем координат имеет свой номер, задаваемый разработчиком.

Система единиц – система, назначенная разработчиком для измерения физических величин. По желанию разработчика может быть назначена система интернациональная (СИ), MKS (метр, килограмм, секунда, градус Цельсия), µMKS (микрометр, килограмм, секунда, градус Цельсия) или CGS (сантиметр, грамм, секунда, градус Цельсия). В ANSYS существуют и некоторые неметрические системы единиц. Также разработчик может по собственному желанию задать систему единиц (например, измерять расстояния в ангстремах).

Метод конечных элементов (МКЭ) – метод решения вычисли-

тельной задачи, в ходе которого модель разбивается на множество конечных элементов, и для каждого узла, входящего в модель, записывается и решается система дифференциальных уравнений, описывающая смещение данного узла в пределах заданных ему степеней свободы.

Степень свободы – физический параметр, который может изменяться относительно начального значения в ходе выполнения расчёта того или иного физического поля. Например, степенью свободы могут быть длина, ширина и высота, температура, энтальпия, магнитная индукция, напряжённость электрического поля и многое другое. По своему желанию пользователь может запретить изменение тех или иных (или даже всех возможных) физических параметров, приравняв их возможные изменения к нулю.

Начальные (граничные) условия – исходное состояние модели-

руемого физического объекта, описываемое рядом физических параметров, учёт которых важен для решения данной задачи. Как следует из названия, начальные условия задаются на границах физического объекта, например, на его рёбрах или поверхностях. Различают условия жёсткого защемления (когда любые изменения любых физических параметров запрещены), свободные условия (когда любые изменения любых физических параметров разрешены) и условия ограниченного защемления (когда ряд физических параметров может изменяться, в то время как изменения других физических параметров запрещены).

Макрос – программа, написанная разработчиком на внутреннем языке программирования ANSYS и задающая последовательность операций, которые необходимо выполнить процессору, чтобы решить поставленную задачу. Выполнение макроса происходит в автоматическом режиме, как и любой программы, написанной на любом языке программирования. Запуск макроса происходит из командной строки.

20