Основы теории радиосистем и комплексов радиоэлектронной борьбы. Учебное пособие

21

Одним из критериев качества адаптивных алгоритмов является их сходимость при увеличении объёма обучающей выборки к оптимальным алгоритмам. Если адаптивный алгоритм сходится по вероятности к оптимальному алгоритму при неограниченном увеличении объёма обучающей выборки, то его называют состоятельным.

1.11. Критерий проверки многих гипотез

Пусть существует M гипотез Hj , j 0, (M 1) . Правильному

принятию гипотез соответствуют условия Нj Нj* rji = 0. Ошибочному предположению - Нj Нj* rji > 0.

Та гипотеза справедлива, у которой выше апостериорная плотность вероятности, т.е. критерию максимума апостериорной

вероятности соответствует max{P(Hj) W(y/Hj) j 0,M 1 } при

P(Hj) = 1/M.

Таким образом, во всех перечисленных критериях для принятия решения необходимо вычислять отношение правдоподобия,

22

однако пороги обнаружения вычисляются по различным формулам согласно табл. 2.

Таблица 2

Задача определения характеристик обнаружения сигналов в многоканальных системах является типичной для многих радиотехнических систем, использующих многоканальное построение по времени задержки, частоте или фазе, а также по угловым координатам объектов.

Для многоканальных систем введем параметры: F – ложное обнаружение в одном канале, D – правильное обнаружение в одном канале, Fm – ложное обнаружение в m каналах обнаружения, Dm – правильное обнаружение в m каналах обнаружения.

Считаем, что сигнал присутствует только в одном канале и отсутствует во всех остальных каналах. Запишем следующие очевидные соотношения для вероятностей ложной тревоги:

23

Fm = 1 – Fm ,

Fm = 1 – Fm ,

m

Fm = F i ,

i 1

m

Fm = 1 – F i .

i 1

Пусть Fi = Fi-1 = … = F1, т.е. вероятности ложной тревоги во всех каналах равны между собой. Так как F << 1, то, используя приближенное алгебраическое выражение 1 – x 1 – x при ус-

ловии (x << 1), получаем, что Fm = 1 – Fm 1 – mF и Fm = mF.

Обычно для многоканальных систем задается вероятность ложной тревоги на все m-каналов системы в целом. Тогда вероят-

ность ложной тревоги на один канал должна выбираться из условия F = Fm /m. Так, при числе каналов m=1000 и F = 10-6…10-14

Fm = 10-13…10-17.

Оценим вероятность правильного обнаружения сигнала в многоканальной системе с учетом присутствия сигнала только в одном

Dm 1 D F m 1 1 1 D 1 m 1 F 1 1 D D .

В итоге получаем, что вероятность правильного обнаружения при изменении числа каналов практически остается постоянной Dm = D, а вероятность ложной тревоги возрастает пропорционально числу каналов, Fm = mF [3].

Однако такой вывод справедлив только при условии одноцелевой ситуации, т.е. в случае, если цель является единственной в зоне, перекрываемой каналами обнаружения. Также следует иметь в виду, что нецелесообразно чрезмерно увеличивать число каналов обнаружения, так как выигрыши, достигаемые при более точной настройке на сигнал, могут оказаться меньше, чем потери в результате повышения порога обнаружения, необходимого для сохранения заданной вероятности ложной тревоги многоканального обнаружителя [4].

24

2. Алгоритмы обнаружения сигнала

Взадаче обнаружения сигналов используются следующие основные модели.

1. Детерминированный сигнал.

2. Сигнал со случайной начальной фазой.

3. Сигнал со случайной начальной фазой и флуктуирующей амплитудой.

Вкачестве общей математической модели сигнала примем следующее выражение:

Y (t) Au(t, 1, 2 ,...) n(t) ,

где 1 и 2 – случайные неизмеряемые параметры сигнала, A – детерминированная или случайная амплитуда сигнала u(t), n(t) – реализация белого гауссовского шума.

Как известно, для обнаружения детерминированного сигнала необходимо вычислить отношение правдоподобия. В оптимальном приёмнике независимо от выбранного в дальнейшем критерия должны выполняться следующие операции:

а) входное напряжение приёмника uвх(t) нужно перемножить с опорным напряжением uоп(t), представляющим собой копию излученных передатчиком РЛС колебаний;

б) результат перемножения следует интегрировать (усреднить в усредняющем сумматоре) за время существования сигнала τс;

в) выходное напряжение интегратора необходимо сравнивать с некоторым постоянным напряжением, именуемым пороговым

или просто порогом Uпор.

Для моделей случайного сигнала отношение правдоподобия(y) определяется по методу сведения сложной гипотезы к простой:

( y) ... ( y, 1, 2 ,...) W( 1, 2 ,...)d 1...d n .

При независимости неизмеряемых параметров ФПРВ имеют вид:

W ( 1, 2 ,...) W ( 1 )W ( 2 ) .

Модель сигнала с неизвестной начальной фазой имеет вид:

u(t) = u(t, ) = U(t)cos( 0t + ). Фаза сигнала – величина циклическая на интервале [- ; ] или [0; 2 ], W( ) – закон распределения

25

фазы при отсутствии априорных сведений принимается равномер-

2

ным W( ) = 1/2 , т.к. W( )d 1 .

0

2.1. Обнаружение сигнала со случайной начальной фазой

Отношение правдоподобия для сигнала со случайной начальной фазой имеет вид [5, 6]:

I '' 1 T U 2 (t) cos(2 t 2 )dt .

1 2 0 0

Слагаемое I – относительно I очень мало. Поэтому, используя метод «стационарной фазы», получаем:

27

Рис. 2.1. Структурные схемы обнаружителей На рис. 2.1 СФ – согласованный фильтр, ЛД – линейный де-

тектор, - интегратор, Х – умножитель, ПУ – пороговое устройст-

во.

2.2. Вычисление характеристик обнаружения для сигнала со случайной начальной фазой

Пусть W(ZШ) – распределение шума, W(ZСШ) – распределение смеси сигнала и шума. Модуль вектора Z определяется составляющими х1Ш и х2Ш, которые представляют собой независимые случайные величины, распределенные по закону Релея.

Математическое ожидание этих составляющих равно нулю, а дисперсия

ш2 N0Эс / 2 .

Тогда справедливы следующие выражения:

Для определения вероятности правильного обнаружения нужно найти ZСШ.

Модуль ZСШ будет распределен по закону Релея (Релея – Рай-

са)

28

Характеристика обнаружения D(q2) по сравнению со случаем известной начальной фазы смещается вправо. Это означает, что при неизвестной начальной фазе для обеспечения эквивалентного значения вероятности правильного обнаружения (по сравнению со случаем известных параметров сигнала) потребуется более высокое отношение сигнал-шум.

U(t) = AU(t)cos( 0t + ), где А – случайная величина, распределенная по закону Релея. W( ) = 1/2 , U(t) в отличие от случайного сигнала с известными параметрами является статистически усредненной по большому числу реализаций. Методика получения отношения правдоподобия аналогична методике получения сигнала со случайной фазой. В этом случае энергия сигнала заменяется на Эср в результате статистического усреднения. Отношение правдоподобия

29

Структура оптимального обнаружителя сигнала со случайной амплитудой и случайной начальной фазой также аналогична обнаружению сигнала со случайной начальной фазой.

Характеристики обнаружения сигнала со случайной амплитудой и случайной начальной фазой будут отличаться от аналогичных характеристик в случае известной амплитуды. Выражения для характеристик обнаружения F и D останутся прежними с учетом замены энергии сигнала на её усредненное значение Эср.

1

D F 1 q2 ,

где q – амплитудное значение отношения сигнал-шум. Особенностью характеристик обнаружения является следую-

щее. При малых значениях отношения сигнал-шум в области малых значений вероятности правильного обнаружения флуктуации амплитуды сигнала в сторону его увеличения приводят к росту вероятности правильного обнаружения в результате превышения порога обнаружения такими реализациями. Напротив, при больших значениях отношения сигнал-шум в области значений вероятности правильного обнаружения, приближающихся к единице, флуктуации сигнала приводят к снижению вероятности правильного обнаружения в результате пропуска части реализаций, оказавшихся ниже порога обнаружения.

3. Фильтрация сигналов

Известно несколько критериев оптимизации параметров фильтров:

1)минимума среднеквадратичной ошибки фильтрации

(СКО);

30

2)максимума отношения сигнал-шум;

3)максимума апостериорной вероятности;

4)минимума дисперсии шума.

Взависимости от законов распределения сигнала, шума (помехи) обработка может быть линейной и нелинейной. При линейных видах обработки применяется принцип суперпозиции, который в нелинейных устройствах применить нельзя. В дальнейшем будем рассматривать линейные виды обработки, то есть линейный фильтр, синтезированный по одному из вышеприведённых критериев. Будем также считать, что на вход фильтра поступает адди-

тивная смесь сигнала и шума x(t) = S [t, (t)] + n(t).

3.1. Оптимальная линейная фильтрация по критерию минимума квадрата ошибки

Математически оптимальная фильтрация по критерию минимума среднеквадратичной ошибки основана на преобразовании автокорреляционной и взаимной корреляционной матриц процессов. Пусть Rs – автокорреляционная матрица сигнала. Rsn – взаимная корреляционная матрица аддитивной смеси сигнала и шума. Если шум белый, то сигнал и шум некоррелированны, и тогда матрица Rn будет представлять собой единичную матрицу.

Средний квадрат ошибки фильтрации (мощность ошибки

(дискретной) форме параметр 2 получим, записав ошибку фильт-

зультат фильтрации исходной выборки.