Основы вариационного исчисления. Учебное пособие

7.

y 3 (x 1)2 ,

y

2

3

(3x 1)2 .

1

8.

y (C x)sin x , C – произвольная постоянная.

9.

y 1 e x (xe x 1)

1 .

2

x1

(n)

V[ y]

(x)) dx,

(23)

F(x, y(x), y (x), , y

x0

(n 1)

(n 1)

(x0 ) y0

,

y(x0 ) y0 , y (x0 ) y0 , , y

(24)

, , y

(n 1)

(x ) y

(n 1)

.

y(x ) y , y (x )

y

1

1

1

1

1

1

Экстремалями функционала (23) являются интегральные кривые

уравнения Эйлера–Пуассона:

F

d

F

d 2

F

( 1)n

d n

F

0.

(25)

dx2

dxn

y

dx

y

y

y(n)

Общее решение (25) зависит от 2n произвольных постоянных, ко-

торые определяются из условий (24).

2. Функционалы,

зависящие

от

нескольких

функций.

Для

функционала, зависящего от m функций y1(x), y2 (x), , ym (x) ,

x1

F x1, y1,

V[ y1, y2 , , ym ]

(26)

y2 , , ym , y1, y2 , , ym dx ,

x0

yk (x0 ) yk0 ,

yk (x1) y1k

(k 1, 2, , m) ,

(27)

F

d

F

y

0

(k 1, 2, , m).

(28)

y

k

dx

k

мых переменных. Рассмотрим функционал вида

z

,

z

(29)

V[z(x, y)] F x, y, z,

x

dxdy,

D

y

где F – трижды дифференцируемая функция своих аргументов, и

предположим, что ищется функция z z(x,

y) , непрерывная вместе со

Если на поверхности z z(x, y)

реализуется экстремум функцио-

нала (29), то функция z z(x, y)

удовлетворяет уравнению Эйлера–

Остроградского

fz

Fp

Fq 0,

(30)

x

y

где

Fp и

Fq – полные частные производные по x и

y соот-

y

x

ветственно:

Fp Fpx Fpz

z

Fpp

p

Fpq

q ,

(31)

x

x

x

x

Fq Fqy Fqz

z

Fqp

p

Fqq

q .

(32)

y

y

y

y

Здесь для краткости обозначено z p,

z q .

x

y

33

частных производных, причем ищется решение

z z(x, y) ,

принима-

ющее на границе заданные значения.

ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ

Пример 1. Найти экстремали вариационной задачи

1

y (1) 5 .

V [ y] 360x2 y y 2 dx, y(0) 0, y (0) 1,

y(1) 0,

0

2

2

d 2

▲ Уравнение Эйлера–Пуассона имеет вид 360x

dx2 2y

0

или y(4) (x) 180x2 ; его общее решение

y

x6

C

x3 C

2

x2

C x

2

1

3

C 3 ,

C .

Используя граничные

условия,

получим

C

2

3,

4

1

2

x6

3x3

C 1,

C 0 Искомая экстремаль y

3x2 x . ▲

3

4

2

2

Пример 2. Найти экстремали вариационной задачи

2

V [ y, z] y 2 z2 z 2 dx,

y(1) 1, y(2)

2,

z(1)

0,

z(2)

1.

1

▲ Система уравнений (28) в данном случае имеет вид

y 0,

z z 0.

Решая эту систему, находим

y C x C

2

,

z C ex C e x .

1

3

4

1

В

силу граничных условий имеем

C1 1,

C2

0,

C3

,

e2

1

e2

C4

y x,

z

sh(x 1)

, так что искомая экстремаль:

sh1

. ▲

e2 1

34

откуда,

исключая функцию

z , получим y(4) 2y y 0 . Общее ре-

шение этого уравнения имеет вид

y(x) C1 cos x C2 sin x x C3 cos x C4 sin x .

В силу граничных условий y(0) 0,

y( ) 1 получаем

C1 0 ,

C 1

и, значит, y(x) C

2

sin x C

4

xsin x

x

cos x.

3

Постоянные

C2

и C4 находим из граничных условий z(0) 0,

z( ) 1, что

дает

C4 0 ,

C2 – произвольно. Тогда z C2 sin x

1

(2sin x x cos x).

Семейство экстремалей:

y(x) C

sin x

x

cos x,

2

z C sin x 1 (2sin x xcos x),

2

z

2

z

2

V[z(x, y)]

dxdy,

(33)

D

x

у

z(x, y)

(x, y),

граница области D.

▲ Уравнение Эйлера–Остроградского имеет вид

2 z

2 z

0

или

z 0.

(34)

x2

y2

Уравнение (34) является известным уравнением Лапласа.

Краевая задача для уравнения Лапласа

z 0,

(35)

(x, y)

z

1

dx, y(0) 0, y(1) 0, y (0)

1.

V [ y] y2 2 y 2 y 2

1, y (1) sh1.

0

2.

V [ y]

0

240 y y 2 dx,

1

y( 1)

1, y(0)

0.

0, y ( 1)

4.5, y (0)

0, y ( 1)

16, y (0)

36

y(x) sin 2x,

8.

2

2

32

x

z(x)

x

.

8

2

1

x

3

5x 6

,

9.

y(x)

6

x.

z(x)

10.

y(x) sin x,

z(x) sin x.

x

2

11.

y(x)

1,

2

z(x) x.

3

,

y(x)

x

12.

z(x)

2

1.

3

x

z 2

z 2

13.

2 z

2 z

f (x, y) .

x2

y2

x

y