Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Основы вариационного исчисления. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

954 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Лишь в исключительных случаях, когда кривая (14) проходит через граничные точки (x0 , y0 ) и (x1, y1) , существует кривая, на которой

может достигаться экстремум.

2) F зависит от y' линейно, т. е. F = (x, y, y') = M (x, y) + N (x, y) y'.

Уравнение Эйлера в этом случае имеет вид

M		N	0.	(15)
y		x

Полученное уравнение, как и в случае 1), является алгебраическим, а не дифференциальным уравнением. Кривая, определяемая уравнени-

ем M N 0, вообще говоря, не удовлетворяет граничным услови-

y x

ям, и, значит, вариационная задача, как правило, не имеет решения в классе непрерывных функций. Если в некоторой области D плоскости

	M	N
Oxy	y	x	0 , то выражение			F(x, y, y ) M (x, y)dx N(x, y) dy
является полным дифференциалом и функционал
		x1		(x1, у1)
	V[ y] F(x, y, y ) dx				M (x, y) dx(x, y)dx N(x, y) dy (16)
		x0		(x0, у0 )

не зависит от пути интегрирования: значение функционала V [ y] одно

ито же на допустимых кривых. Вариационная задача теряет смысл.

3)F зависит лишь от y', т. е. F = F(y').

Уравнение Эйлера имеет вид

y Fy y 0 .

(17)

В этом случае экстремалями являются всевозможные прямые линии y C1x C2 , где C1 и C2 – произвольные постоянные.

4) F не зависит от y, т. е. F = F(x, y').

В этом случае уравнение Эйлера F F(x, y ) , откуда

Fy F(x,		(18)
Fy F(x,	y ) C ,	(18)
21

где C – произвольная постоянная. Уравнение (18) есть дифференци-

альное уравнение первого порядка. Интегрируя его, находим экстремали задачи.

5) F не зависит явно от x, т. е. F = F(y, y').

В этом случае уравнение Эйлера принимает вид

Fy Fyy y Fy y y 0.

(19)

Умножив на y обе части этого уравнения, в левой части получим точ-

ную производную, т. е. dxd F y Fy 0 , откуда

F y Fy C,

(20)

где C – произвольная постоянная. Это уравнение может быть проинтегрировано посредством разрешения относительно y и разделения переменных или с помощью введения параметра.

ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ

Пример 1. На каких кривых может достигать экстремума функционал

2	y 2 2xy dx,		y 2 1?
V [ y]	y 2 2xy dx,	y(1) 0,	y 2 1?
1


▲ Здесь			2	2xy , так что уравнение Эйлера имеет
▲ Здесь		F(x, y, y ) y		2xy , так что уравнение Эйлера имеет
вид y	x 0 . Общее решение уравнения Эйлера есть				y(x)	x3
						6
						6

C1x C2 .

Граничные условия дают систему линейных уравнений для определения C1 и C2 :

				1
C1	C2			6	,
					(21)
2C		C	2 .
	1	2			6
					6
		22

Отсюда C	1 ,	C	2	0 . Следовательно, экстремум может дости-
1	6		2
	6				x	1 x2 . ▲
гаться лишь на кривой y(x)					x
гаться лишь на кривой y(x)					6		3
Пример 2.							3
Пример 2.	Найти		экстремали функционала V[ y] (3x y) ydx ,
							1
удовлетворяющие граничным условиям y(1) 1,							y(3) 9 .
							2	3 x . Так
▲ Уравнение Эйлера имеет вид 3x 2 y 0 , откуда y								3 x . Так
		3 x						2
как экстремаль	y	3 x		не удовлетворяет условию y(1) 1 , то данная
		2
вариационная задача решения не имеет. ▲							2
							2	y2 dx ,
Пример 3.	Найти экстремали функционала V [ y] y 2							y2 dx ,
удовлетворяющие граничным условиям y(0) 1,							0
удовлетворяющие граничным условиям y(0) 1,							y(2 ) 1.
▲ Уравнение Эйлера имеет вид y y 0 ;							его общим решением

является y(x) C1 cos x C2 sin x . Используя граничные условия, получим y(x) cos x C sin x , где C – произвольная постоянная.

Таким образом, поставленная вариационная задача имеет бесчисленное множество решений. ▲


Пример 4. Найти экстремали функционала				2
Пример 4. Найти экстремали функционала	V[ y] y(2x y)dx ,
				0
удовлетворяющие граничным условиям y(0) 0,					.
удовлетворяющие граничным условиям y(0) 0,	y			2	.
▲ Уравнение Эйлера имеет вид 2x 2 y 0 ,		2		2		Так как
▲ Уравнение Эйлера имеет вид 2x 2 y 0 ,	т.	е.	y x .			Так как
граничные условия удовлетворяются, то на прямой			y x			интеграл

y(2x y)dx может достигать экстремума. При других граничных

условиях, например,	y(0) 0,				1 , экстремаль y x не проходит
условиях, например,	y(0) 0,		y		1 , экстремаль y x не проходит
				2
через граничные точки (0,0)			и			, так что при этих граничных
через граничные точки (0,0)			и		, 1	, так что при этих граничных
				2
условиях вариационная задача не имеет решения. ▲
Пример 5. Исследовать на экстремум функционал
x	y2 2 yy dx,
V [ y] 1	y2 2 yy dx,				y(x0 ) y0,		y(x1) y1.
x0
▲ Здесь F линейно зависит от y . Имеем
M	2 y,	N	2 y		и	M	N 0,
y		x				y	x

значит, подынтегральное выражение ( y2 2xyy )dx есть полный диф-

ференциал. Следовательно, интеграл не зависит от пути интегрирования:

x		( x , у )	d xy2 xy2
V [ y] 1	y2dx 2xydy	1 1		x1	x1 y12 x0 y02.

x0		( x0 , у0 )		x0

по какой бы кривой y(x) , проходящей через точки (x0 , y0 ) и (x1, y1) ,

мы не интегрировали. Вариационная задача не имеет смысла. ▲ Пример 6. Найти экстремали функционала

x
V[ y] 1	1 y 2 dx,	y(x0 ) y0 ,	y(x1) y1.
x0

Этот функционала определяет длину кривой, соединяющей точки (x0, y0 ) и (x1, y1) . Геометрически задача сводится к поиску кратчайшей линии, соединяющей данные точки.

▲ Уравнение Эйлера		решение
▲ Уравнение Эйлера	имеет вид y (x) 0 . Общее	решение
y C1x C2 . Экстремаль,	удовлетворяющая граничным	условиям
	24

y(x0 ) y0 и y(x1) y1 , есть, очевидно, прямая, проходящая через точ-

ки (x0, y0 ) и (x1, y1) :

y y1 y0 (x x0 ) y0 . x1 x0

Пример 7. Среди кривых, соединяющих точки A(1, 3) и B(2, 5) , найти ту, на которой может достигаться экстремум функционала

V [ y] y 1 x2 y dx.

▲ Так как

не зависит от

y , то уравнение Эйлера имеет вид

1 2x2 y 0 , откуда

1 2x2 y C.

Fy (x, y ) 0

или

Тогда

C 1

, так

что y(x)

C2 . Выделим экстремаль, проходящую

2x2

через заданные точки. Для определения постоянных C1 и C2 состав-

ляем систему

3 C1 C2 ,

1 C2 ,

откуда C 4,

C 7

. Искомая экстремаль y(x) 7 4 . ▲

Пример 8.

y 2

Найти

экстремаль функционала

V[ y]

dx ,

проходящую через заданные точки (x0 , y0 ) и

(x1, y1) ,

лежащие в

верхней полуплоскости.

▲ Так как подынтегральная функция не содержит явно x , то уравнение Эйлера согласно (20) дает

1 y 2

y 2

y 1 y

После упрощений получим y

1 y 2

C1 . Введем параметр t , по-

лагая y tgt , тогда

C1 cos t . Далее получим

1 y 2

dy tg t dx

C1 sin tdt

costdt x C

C sin t .

tg t

Исключая t , найдем

(x C )2

y2 C2 – семейство окружностей

с центром на оси Ox . Искомой будет та экстремаль, которая проходит

через заданные точки. Задача имеет единственное решение, так как через любые две точки, лежащие в верхней полуплоскости, проходит одна и только одна полуокружность с центром на оси Ox . ▲

Пример 9 (задача о наименьшей поверхности вращения). Отре-

зок кривой y y(x) с концами в точках (x0 , y0 ) и (x1, y1) вращается

вокруг оси Ox . Какой должна быть эта кривая, чтобы площадь получившейся поверхности была наименьшей?

▲ Эта кривая y y(x) (образующая поверхности вращения) будет

x
решением вариационной задачи S[ y] 2 1	y	1 y 2 dx,	y(x0 ) y0,
x0

y(x1) y1. Здесь S[ y] – площадь поверхности вращения кривой с кон-

цами в точках (x0, y0) и (x1, y1) .
Функция F y 1 y 2	не зависит явно от			x . В этом случае урав-
нение Эйлера имеет первый интеграл F y Fy C1 , т. е.
y 1	y 2	yy 2	C	,

		1 y 2	1

откуда после преобразований получаем

			y	C1.				(22)
		1 y 2

Введем в (22) параметр t , полагая y sht , тогда
y C	ch t, dx dy		C1 sh tdt		C dt x C t C		2	.

1	y		sh t	1		1

Исключая параметр t , имеем семейство цепных линий (их форму

принимает тяжелая нить) y C1 ch x C2 , от вращения которых полу-

чаются поверхности, называемые катеноидами. Постоянные C1 и C2 определяются из граничных условий. В зависимости от координат (x0 , y0 ) и (x1, y1) может быть одно, два и ни одного решения. ▲

Пример 10 (задача о брахистохроне). Определить кривую, соеди-

няющую заданные точки A и B (не лежащие на одной вертикальной прямой), при движении по которой материальная точка скатится из точки A в точку B в кратчайшее время (трением и сопротивлением среды пренебрегаем).

▲ Переместим начало координат в точку A , ось Ox направим горизонтально, ось Oy – вертикально вниз. Скорость движения матери-

альной точки	ds	2gy ,		откуда находим время, затрачиваемое на пе-
	dt
ремещение точки из положения A(0, 0) в положение B(x1, y1) :
t[ y]		1	x1		1 y 2		dx, y(0) 0, y(x1) y1.

		2g				y
		2g	0			y
Так как у этого функционала подынтегральная функция не со-
держит явно	x ,	то	уравнение				Эйлера имеет первый интеграл
F y Fy C1 или в данном случае
			1 y 2				y 2
								C,
				y			y 1 y 2	C,
							27

откудапослепреобразований имеем

C или

y 1 y 2 С1.

y 1 y 2

Введем параметр t , полагая y ctgt , тогда получим:

С1

C sin2 t C1 (1 cos 2t),

1 y 2

dx dy

2C1 sin t costdt

sin2 tdt C (1 cos 2t)dt,

ctg t

x C

t sin 2t

C1 (2t sin 2t) C

Следовательно, в параметрической форме уравнение искомой ли-

нии имеет вид

x C2

2t sin 2t ,

C1 (1 cos 2t).

Если преобразовать параметр подстановкой 2t t1

и принять во

внимание, что C2 0 , так как

x 0

при y 0 , то получим уравнения

семейства циклоид:

x C1 t

sin t ,

y C1 (1 cos t ),

где C21 – радиус катящегося круга, который определяется из условия

прохождения циклоиды через точку B(x1, y1) . Итак, брахистохроной является циклоида. ▲

ЗАДАЧИ

Найти экстремали функционалов.

	x	y 2 2 yy 16 y2		dx.
1. V [ y]	1	y 2 2 yy 16 y2		dx.
	x0
	x
2. V [ y]	1 y 1 x2 y dx.
	x0
	x1
3. V[ y]	y (x		y ) dx.
	x0

4. V[ y] x1 y 2 dx. x0 x3

Найти экстремали в вариационных задачах.

5.	0		12xy y 2 dx,
5.	V [ y]		12xy y 2 dx,		y( 1) 1,	y(0) 0.
	1
	2
6.	V [ y] y 2 2 yy y2 dx, y(1) 1,						y(2) 0.
	1
	1
7.	V[ y] yy 2dx, y(0) 1,				y(1) 3 4.
	0
8.		4 y cos x y 2 y2 dx, y(0)
8.	V [ y]	4 y cos x y 2 y2 dx, y(0)					0, y( ) 0.
	0
	1
9.	V [ y] y 2 y2 y e2 xdx, y(0) 0, y(1) e 1.
	0
10.	1		y 2	2xy dx,
10.	V [ y]		y 2	2xy dx,	y( 1) 1,	y(1) 1.
	1
11.	0		y 2	2xy dx,
11.	V [ y]		y 2	2xy dx,	y( 1) 0,	y(0) 2.
	1
					29

e	xy 2 yy dx,
12. V [ y]	xy 2 yy dx,	y(1) 0,	y(e) 1.

Найти экстремали в вариационных задачах, используя частные случаи интегрируемости уравнения Эйлера.

13. V [ y] 2xy x2 e y y dx, y(a) A, y(b) B. a

e y xy dx,

14. V [ y]

y(0) 0,

y(1) .

dx,

15. V [ y]

y(0) 1,

y 2

y2 dx,

16. V [ y]

y(0) 1,

y( ) 1.

x y 2 dx,

17. V [ y]

y(0) 1, y(1)

y2 y 2 dx,

18. V [ y]

y(0) 0,

y(1) 1.

y 2

4 y2 dx,

y(0) e2 ,

19. V [ y]

y(1) 1.

2e y y2 dx,

20. V [ y]

y(0) 1,

y(1) e.

21. V[ y]

dx.

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]